精品解析：山东省东营市胜利第一初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试题

胜利第一初级中学2025—2026学年第一学期质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 如图，点、、都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．据此解答即可． 【详解】解：∵圆周角和圆心角同时对着， ∴，即， ∵， ∴． 故选：C． 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比函数图象与性质是解题的关键．根据反比例函数图象与性质进行比较即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∵反比例函数的图象在第二、四象限上， ∴在每个象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴，即， 故选：A． 5. 在△ABC中，若|sinA－|＋(－tanB)2＝0，则∠C的度数为( ) A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意可得：sinA－=0，－tanB=0， ∴sinA=，tanB=， ∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=120°. 故选A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数是解此题的关键. 6. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A． 考点：二次函数图象与几何变换． 7. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据AB=12求出OP的长，连接OC，在Rt△OPC中，利用勾股定理即可求出PC的长，进而可得出CD的长． 【详解】解：连接OC， ∵AB=12 ∴OB= 又BP=2 ∴OP=OB-PB=6-2=4         在Rt△OPC中，， ∵OB过圆心，OB⊥CD ∴CD=2PC=2× 故选：C 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 8. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ． 故则这栋楼的高度为． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 9. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数和比例系数几何意义得到，，然后利用面积相减即可，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点， ∴，， ∴的面积为， 故选：． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；①利用抛物线与轴有个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断；再根据④知抛物线与x轴的另一个交点为即可判断⑤． 【详解】解：①抛物线与轴有个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， , ，所以③正确； ④二次函数的图象过，， 方程的解是，，故④正确； ⑤由④知二次函数的图象过， 当时，，故⑤错误． 故选：A． 二、填空题（11－14每题3分，15－18每题4分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 12. 点和点都在反比例函数上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 直接把点和点都在反比例函数解析式即可得出结论． 【详解】解：点和点都在反比例函数上， ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知在抛物线上，则______．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据，且，进而可求解，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，对称轴为， ∴当与时，函数值都都等于， ∴当时函数值随自变量的增大而增大； ∵， ， 故答案为：． 15. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 16. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 三、解答题（共62分） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含三角函数的实数的运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先去绝对值，再计算三角函数和乘方，最后计算加减即可； （2）先化简二次根式，再去绝对值，计算三角函数和乘方，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求函数图像与坐标轴交点坐标． 【答案】（1） （2）函数图像与x轴交点坐标为，，与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入求出，即得答案； （2）令，得，求解方程得，，即得函数图像与x轴交点坐标，令，则，图像与y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 得，， 函数图像与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图像与y轴的交点坐标为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围，即可解决问题； （3）首先求出的面积，从而知道的面积，然后根据，求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∴反比例函数， 把的坐标代入，得到， 解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入，得到 解得 观察图象，可知当或，的图象在上方， 那么不等式的解集：或． 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： 当代入，得到， ， 的面积等于面积的2倍，点是轴上一点， ∴， ， ∴点坐标为：或． 22. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米， （1）求点B到地面的距离； （2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）5；（2）宣传牌CD高（20﹣10）m． 【解析】 【详解】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH==i==．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5； （2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，得到DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5+15，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5+15，即可求得结果． 试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH==i==，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5． 答：点B距水平面AE的高度BH是5米； （2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，∴DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5+15，∴CD=CF﹣DF=5+15﹣（15﹣5）=20﹣10（米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣10）米． 23. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价应提高多少元，才能在半月里获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，设销售单价为x元，销售利润为y元．根据利润列出二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元． 根据题意，得： ， ∵， ∴时，y有最大值，最大值为，， 所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润元 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的对称轴及k的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，可求，则，然后作答即可； （2）如图1，连接，与对称轴交点为，由两点之间线段最短，可知点即为所求，当时，，可求或，则，待定系数法求 直线的解析式为，当时，，进而可得； （3）如图2，设，则，，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：如图1，连接，与对称轴交点为，由两点之间线段最短，可知点即为所求， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合是解题的关键． 25. “板车”是一种以前在街头巷尾经常能看到的人力或畜力牵引的运输工具．它主要部分是一块平板，平板下面安装轮子．图1是板车把手端点着地时侧面示意图，图2是板车后尾端点着地时侧面示意图．为车轮的直径，车架过圆心，，地面与车轮相切于点． （1）如图1，连接，若． ①求证：； ②求车轮的半径长． （2）在（1）的条件下，如图2所示，当板车后尾端点着地时，求板车把手端点到地面的距离． 【答案】（1）①证明：连接，如图， 为圆的切线， ， ， ， ， ， 为圆的直径， ， ， ， ∵， ， ② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理和等式的性质解答即可得出结论； ②利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，利用相似三角形的判定与性质得到，代入数值化简运算得到，，则，结论可得； （2）利用（1）中结论得到：，，，利用圆的切线的性质定理，垂直的意义和平行线的判定定理得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 ①略 ②解：由（1）①知：，  ， 由（1）①知： ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴车轮的半径长为 ． 【小问2详解】 解：连接， 过点C作于点H， 如图， 由（1）②知：图1中，．，， ， ∴当板车后尾端点E着地时，的长度不变，圆的半径不变， ， ， ∵为圆的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当板车后尾端点E着地时，板车把手端点C到地面的距离为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 胜利第一初级中学2025—2026学年第一学期质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 如图，点、、都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若|sinA－|＋(－tanB)2＝0，则∠C的度数为( ) A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 6. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（11－14每题3分，15－18每题4分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 12. 点和点都在反比例函数上，则______． 13. 如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为______． 14. 已知在抛物线上，则______．（填“<”或“>”或“=”） 15. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 16. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 18. 如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 三、解答题（共62分） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． （1）求函数解析式． （2）求函数图像与坐标轴交点坐标． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 22. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米， （1）求点B到地面的距离； （2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 23. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价应提高多少元，才能在半月里获得最大利润？并求出最大利润． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的对称轴及k的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值． 25. “板车”是一种以前在街头巷尾经常能看到的人力或畜力牵引的运输工具．它主要部分是一块平板，平板下面安装轮子．图1是板车把手端点着地时侧面示意图，图2是板车后尾端点着地时侧面示意图．为车轮的直径，车架过圆心，，地面与车轮相切于点． （1）如图1，连接，若． ①求证：； ②求车轮的半径长． （2）在（1）的条件下，如图2所示，当板车后尾端点着地时，求板车把手端点到地面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $