精品解析：广东省深圳市南头中学2026届高三上学期8月月考数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. C. i D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某船在海上从岛（看成质点）出发，沿正北方向行驶10海里，接着沿北偏东的方向行驶10海里，最后沿北偏东的方向行驶10海里到达处，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度（单位：米/秒）与时间（单位：秒）之间的函数关系式为，则该运动员（身高忽略不计）在秒时离水面的高度为（ ） A. 9.6米 B. 9.7米 C. 9.8米 D. 9.9米 8. 已知函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（ ） A. 点的横坐标为 B. 直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C. 直线的斜率为 D. 若的周长为12，则 10. 已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 当时，三棱锥的体积最大 C. 直线与直线夹角的取值范围是 D. 若二面角的大小为，则的面积为 11. 已知函数在内的三个零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设的内角，，的对边分别是，，，若，则_____. 13. 有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有_____种不同的安排方法.（用数字作答） 14. 已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着我国人工智能（AI）的突破性发展，近期许多优秀的人工智能（AI）应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能（AI）应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得到如下列联表： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 （1）求出的值，并依据小概率值的独立性检验，请判断这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验是否存在差异； （2）先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人提出进一步改良的建议，求恰有2人的应用体验为不良好的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知等差数列满足，，数列满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 17. 如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2. （1）求四棱锥的体积； （2）若点在图2中线段上，且，证明：平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 19. 已知函数. （1）求在上的极值； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 0 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得，，， 解得或，又因为， 所以. 故选：D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，计算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 4. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 所以. 故选：A. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 6. 某船在海上从岛（看成质点）出发，沿正北方向行驶10海里，接着沿北偏东的方向行驶10海里，最后沿北偏东的方向行驶10海里到达处，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法法则与模长的运算公式求解即可. 【详解】该船沿正北方向行驶10海里记为向量， 沿北偏东的方向行驶10海里记为向量， 沿北偏东的方向行驶10海里记为向量， 则， 所以海里. 故选：D 7. 某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度（单位：米/秒）与时间（单位：秒）之间的函数关系式为，则该运动员（身高忽略不计）在秒时离水面的高度为（ ） A. 9.6米 B. 9.7米 C. 9.8米 D. 9.9米 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的逆运算求出高度与时间的函数即可求解. 【详解】设高度与时间的函数关系式为，则， 故可设，因为，所以， 则该运动员在秒时离水面的高度为米. 故选：C. 8. 已知函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（ ） A. 点的横坐标为 B. 直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C. 直线的斜率为 D. 若的周长为12，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意画出简图，根据正三角形的性质及抛物线的方程，结合图象逐个分析选项，即可得到正确答案. 【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上. 设的中点为,连接，则. 设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确. 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误. 因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确. 若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确. 或 故选：ACD. 10. 已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 当时，三棱锥的体积最大 C. 直线与直线夹角的取值范围是 D. 若二面角的大小为，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用圆锥的侧面积公式可判断A；B选项，的面积最大时，三棱锥的体积最大；C选项，设点关于圆心的对称点为，得到 为所求角，在 中用表示出，结合的取值范围可判断；D选项，取的中点，得，利用勾股定理计算出与的长度，可得的面积. 【详解】对于A，由已知可得，， 所以， 则圆锥的侧面积，A正确. 对于B，当时，，此时的面积最大，即三棱锥的体积最大，故B正确. 对于C，设点关于圆心的对称点为，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即， 在等腰三角形中， 所以，则，C错误. 对于D，可知和都是等腰三角形，取的中点，连接，，可知，， 则是二面角的平面角，，可以求得， 所以，，， 故的面积为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数在内的三个零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，可计算出三个零点判断A，B，利用二倍角公式结合积化和差化简计算可判断C，利用诱导公式结合积化和差公式、二倍角公式计算可判断D. 【详解】对于A，B，， 令，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，，， 解得，，，故A错误，B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为， ， 其中，，. 因为 ， ， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设的内角，，的对边分别是，，，若，则_____. 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，即可求解 【详解】因为， 由正弦定理可得：，又， 解得. 故答案为：5 13. 有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有_____种不同的安排方法.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】采用插空法求解. 【详解】先排3位女同学，有种方法，再在3位女同学之间形成的4个空位中任选2个安排男同学去坐，有种方法， 根据分步乘法计数原理有种不同的安排方法. 故答案为：72 14. 已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示可得，求出四边形面积关系，结合椭圆的范围求出最大值，进而求出. 【详解】在椭圆中，，设， 由，，得，，则， 两式相减得，则，而，因此， 四边形的面积，当且仅当时取等号， 由，，解得，所以. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着我国人工智能（AI）的突破性发展，近期许多优秀的人工智能（AI）应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能（AI）应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得到如下列联表： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 （1）求出的值，并依据小概率值的独立性检验，请判断这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验是否存在差异； （2）先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人提出进一步改良的建议，求恰有2人的应用体验为不良好的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），存在差异 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中已有数据列出方程组，解方程组即可求得；在独立性检验中，先进行零假设，然后将表中数据代入公式计算，最后比较与的大小关系即可得到结论； （2）根据分层抽样比得到这15名青年用户中，应用体验为良好和不良好的人数，结合组合数和古典概型概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知得青年用户的人数为， 则，解得， 列联表如下： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 120 30 150 中年用户 60 90 150 合计 180 120 300 零假设为：这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异， 根据表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由已知得分层抽样比为， 则在这15名青年用户中，应用体验为良好的有人，为不良好的有人， 所以从中随机抽取3人，恰有2人的应用体验为不良好的概率是. 16. 已知等差数列满足，，数列满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得； （2）利用裂项相消法可求得数列的前项和； （3）利用错位相减法可求得数列的前项和. 【小问1详解】 由，得. 因为，所以， 则公差为，所以， 所以. 因为，所以，则是等比数列. 设其公比为，因为，，所以，，则. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 两式相减得， 所以. 17. 如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2. （1）求四棱锥的体积； （2）若点在图2中线段上，且，证明：平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 过点作∥交于点，连接. 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以四边形是平行四边形，则，所以， 所以，同理可证平面. 因为，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，.取的中点，连接.由面面垂直的性质证得平面，并根据题设中的条件结合平面图形的性质求得于，即可求得四棱锥的体积； （2）过点作∥交于点，连接.利用比例相等证得线线平行，进而证得平面平面，即可证得平面； （3）取的中点，连接.以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设直线与平面所成的角为，求得、平面的法向量，根据公式计算即可得解. 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为点，取的中点，连接. 由，可知. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 由，，得， . 在直角梯形中，因为，， 所以，， . 所以四棱锥的体积为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接. 在中，由，，，可得. 因为，所以. 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 由点和的坐标可求得，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则取，得. 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 【答案】（1） （2） 设，，，的坐标分别为，，，. 由消去得. 因为直线与双曲线相交，所以，化简得， 所以，. 由消去得， 所以，， 所以，则与的中点重合， 所以，为线段的三等分点等价于. 又， 同理可得， 所以，即，所以， 显然当 时，. 故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义求的方程； （2）把直线方程分别与曲线的方程和曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得与的中点重合，，为线段的三等分点等价于，结合弦长公式证明结论. 【小问1详解】 因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线. 设的方程为. 由，可得，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）求在上的极值； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得在单调性，进而求得极值； （2）由对于任意的，恒成立，构造函数结合（1）可得在上恒成立，进而分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 令，得，解得，， 令，得，解得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以在，上单调递减，在上单调递增. 当时，的极小值为，当时，的极大值为. 【小问2详解】 对于任意的，恒成立， 即对于任意的，恒成立. 令，则， 再令，则. 由（1）知，在上的极大值为， 因为当时，，当时，极大值， 所以在上的最大值为1，即在上恒成立， 于是在上恒成立， 则在上单调递增，从而. 当时，，因此在上单调递增， 从而在上恒成立， 即当时，在上恒成立. 当时，令，则， 所以在上单调递增，，即当时，， 于是. 又，所以在内存在一个零点，使得， 当时，，在上单调递减，而， 即当时，，与已知矛盾. 综上，，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $