《第22章二次函数》单元测试题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象（）如下图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是（　　） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 7．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 8．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 二、填空题（满分24分） 9．函数与直线交于点，当的取值范围是 时，随的增大而增大． 10．已知函数与x轴只有一个交点，则 ． 11．已知点，在抛物线上，则，，3的大小关系是 ． 12．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 13．作抛物线关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为 ． 14．已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为 ． 15．如图，从的图像上可看出当时，函数值y的取值范围是 ． 16．如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当 时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知二次函数． (1)求出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当满足什么条件时，随增大而减小？ 18．已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式，并求出它与x轴和y轴的交点坐标． 19．已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 20．小王投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，在销售过程中发现，每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数：． (1)当销售单价x为多少时，每月获得的利润最大？ (2)要想每月获得2000元的利润，则销售单价应定为多少元？ (3)物价部门规定，护眼台灯的销售单价不得高于32元，若小王想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需多少元？ 21．多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在﹑两点进行摇绳，两位同学的摇绳点﹑高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面 为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 22．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 参考答案 1．解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2．D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴的计算公式计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为． 故选：B 5．C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象，解题关键是能从函数图象中得出正确信息． 根据二次函数的图象即可得解． 【详解】解：由图可得：当时，函数取最小值； 当时，函数取最大值． 故选：． 6．C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 7．C 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． 求出该函数对称轴，由可知该函数开口向下，则在对称轴右侧随的增大而增大，进而即可解答． 【详解】解：将代入中，得， 将代入中，得， 函数的解析式为， 当时，随的增大而增大， 故答案为：． 10．或或 【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【详解】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 11． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题． 【详解】解：由题意知，抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了抛物线的图像与性质，轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴对称的点的坐标特征． 若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：抛物线关于轴作轴对称变换，则所得抛物线为，即． 故答案为：． 14．2023 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 15． 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，即可解答． 【详解】解：由图像，可知 当时，． 故答案为：． 16． 6 【分析】此题主要考查了矩形的面积公式以及直角三角形30°定理，得出矩形面积与x的函数关系式是解题关键. 利用30°定理和勾股定理表示出的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最值求法得出即可. 【详解】解：在中，， ． ， 四边形为矩形，为直角三角形． 设，则 ． ， 当，即时，矩形的面积最大，最大面积为． 17．(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据对称轴以及开口方向，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：， ∴抛物线开口向下； ∴当时，随增大而减小． 18．，与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数解析式，再分别求出函数值为0时的自变量的值和自变量的值为0时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为． 19．，． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次方程，理解二次函数与轴的交点的含义，解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据函数图象与轴的一个交点为，把点代入得到，再解一元二次方程即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的一个交点为， ， 解得， 一元二次方程为， 解得，． 20．(1)35元 (2)30元或40元 (3)3600元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），由题意根据列出关系式； 对于（2），令可得一元二次方程，求出解即可； 对于（3），根据抛物线的图象的性质可得单价的取值范围，再结合一次函数图象的性质可得最小值. 【详解】（1）解：由题意，得 ∵， ∴抛物线的开口向下，函数有最大值， 即当（元）时，每月获得的利润最大； （2）解：由题意，得， 解得， 所以要想每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元； （3）解；∵， ∴抛物线的开口向下，当时，元， ∴当时，. ∵， ∴当时，. 设成本为P，根据题意，得， ∵， ∴函数值P随着x的增大而减小， ∴当时，， 所以他每月的成本最少需要3600元. 21．(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：点F的横坐标为，从而点G的横坐标为，将代入（1）中的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线于G， 由题意可知，点F的横坐标为，则点G的横坐标为， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 22．(1)8 (2) 的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 23．(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $