第13章 三角形 单元标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第13章三角形》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C．D． 4．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：，，，．其中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的 性． 10．若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 11．若三角形的两边长分别为和，且第三边的长为偶数，则第三边长为 ． 12．已知分别是的高和角平分线，且，则的度数为 度，的度数为 度． 13．已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为 ． 14．如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 15．如图，在中，，和的平分线相交于点，则 16．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 18．在中，，它的周长为，中线将分成的两个小三角形周长的差为，求各边的长． 19．如图，在中，，的平分线交于点， ． (1)求的度数； (2)求的度数． 20．如图，在中，分别是的高和角平分线，，求的度数． 21．如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 22．如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． (1)若，则 ； (2)如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． (3)在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 23．（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______． （2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 设第三根小棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根小棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ， 第三根小棒的最大整数值是． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质计算可求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； 故选：B． 4．C 【分析】此题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：C 5．B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解： ，，分别是的高、角平分线、中线， ，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了外角的性质和三角形的内角和定理，先根据两次外角性质得到相关角的关系，再根据三角形的内角和即可得到答案； 【详解】解：如图：， ， ∵， ∴， 故的度数是， 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题关键是要熟练掌握并能结合图形列出关系式． 依据题意，由平分平分，可得，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，平分平分， ． 根据三角形外角性质，， ， 即，故正确． 由， 根据三角形内角和定理，， 又， ， 不一定是， ，故错误． 、分别平分和， ． 根据三角形内角和定理，． 又， ，故正确． 由知，由知． ． 不一定是， ，故错误． 综上，正确的是． 故选：B． 9．稳定 【分析】本题考查三角形的稳定性．三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定． 10． 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，结合第三边的长为偶数，即可求出边长． 【详解】解：设第三边长为． 则，即， 第三边的长为偶数， ，即第三边长为， 故答案为：4． 12． 15 40或80 【分析】本题考查三角形的高与角平分线，三角形的内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当为锐角时，②当为钝角时，逐一分析求解，即可解答． 【详解】解：①当为锐角时，如图 ∵分别是的高和角平分线，且， ∴， ∴， ∴． ②当为钝角时，如图 ∵分别是的高和角平分线，且， ∴， ∴， ∴． 综上，，或． 故答案为：15，40或80． 13．或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键． 设点，根据题意可得，再由的面积为6，可得，即可求解． 【详解】解：设点， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：或4， ∴点C的坐标为或 故答案为：或 14． 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，三角形外角性质，正确计算是解题的关键． 由外角性质求出，即可再根据外角性质得到． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．12 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，据此即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线， ∴． 故答案为：12 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 18．或 【分析】本题主要考查了中线的性质与三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用中线性质可得，设，则为，，再分和两种情况分别列式求解即可，注意要验证结果是否能够组成三角形． 【详解】解：如图： 为中线， ， 设，则为，， ①当时，即，有 ， 解得：， ， 则此时，， 能够组成三角形，符合题意； ②当时，即，有 ， 解得： ， 则此时，； 能够组成三角形，符合题意； 综上，各边长为或． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据角平分线得到，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1） （2）∵是的平分线， ∴ 20． 【分析】本题考查三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，由高的定义可得，进而可得，再计算出，由角平分线的定义得，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： 是的高， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ． 21．(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【详解】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 22．(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理及外角性质等知识，熟记平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理及外角性质求解即可； （3）根据平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分三种情况讨论， ①如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∴， ③如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或或． 23．（1）；（2），证明见解析，（3），理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． （1）由三角形内角和定理得，，再根据即可得出、、、的关系式； （2）根据角平分线定义设，，由的结论得，，即，，即可得出，，之间的数量关系； （3）设，，则，，由（1）的结论得，，即，，由此即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2），，之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点， 设，， 由（1）的结论：在和中，， 即， 由（1）的结论：在和中，， 即， 得：， ， （3），，之间的数量关系是：，理由如下： 设，， ，， 由（1）的结论：在和中，， 即， 由（1）的结论：在和中，， 即， ， ， 整理得：． 学科网（北京）股份有限公司 $