精品解析：广东省广州市越秀区广州市铁一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025学年第一学期初三年级数学学科开学学情摸查问卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是108分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学模拟考试成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 5. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 7. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　） A. B. C. D. 9. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲每分钟走100米 B. 两分钟后乙每分钟走50米 C. 当或6时，甲乙两人相距100米 D. 甲比乙提前1.5分钟到达B地 10. 如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将59800000用科学记数法表示为__________． 12. 因式分解：______. 13. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 14. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 15. 如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为______． 16. 如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 18. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着AI技术的发展．越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟）（时间t为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是______人； （2）并补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是______度； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 21. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标． 22. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 23. 某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元． （1）求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价； （2）现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用、分别表示点、的坐标； （2）若四边形的面积是，且，试求点的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知正方形的边长为4，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧． （1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长； （2）如图2，连接，并延长交于点H，若，求证：； （3）如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三年级数学学科开学学情摸查问卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确； B、=，不是最简二次根式，故选项错误； C、，不是最简二次根式，故选项错误； D、，不是最简二次根式，故选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 3. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是108分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学模拟考试成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义求解即可．熟练掌握方差越小，表明数据波动越小越稳定是解题关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 这4名同学3次数学模拟考试成绩最稳定的是丙， 故选：C． 4. 已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的关键． 【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解， ∴由得， 故选：D 5. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、， ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，，， 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为6cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 8. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，即可求出的长． 【详解】∵的周长是， ∴ ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键． 9. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲每分钟走100米 B. 两分钟后乙每分钟走50米 C. 当或6时，甲乙两人相距100米 D. 甲比乙提前1.5分钟到达B地 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断A选项；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断B选项；根据图象，可以分别计算出和时，甲乙两人的距离，从而可以判断C选项．根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断D选项； 【详解】解：由图象可得， 甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意； 两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意； 当时，甲乙相距（米）， 当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意； 乙到达B地用的时间为：（分钟）， 则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 点，点， ，， 在中，由勾股定理得：， ，则， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 即第1个等边三角形的边长为：， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 即第2个等边三角形的边长为：， 同理：第3个等边三角形的边长为：， ，依次类推，第个等边三角形的边长为：， 第2024个等边三角形的边长等于． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将59800000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．关键要确定a的值以及n的值． 12. 因式分解：______. 【答案】 【解析】 【分析】原式提取3a后，再运用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了综合运用提公因式法和公式法的综合运用，熟练运用公式是解题的关键. 13. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 14. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得：（分）． 故小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键． 15. 如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】由分别是和的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题． 此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：． 又∵， ∴E、D分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 则的周长为： ， 由，得的周长为30， 故答案为：30． 16. 如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中结论正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形,全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明即可证明，故①正确；过点E作于点M，作于点N，证明，推出是等腰三角形，故③正确；过点E作交于点H，由和都是等腰三角形，，利用等腰三角形的性质求解即可推出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点E作于点M，作于点N，如图所示， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； ∵点E为对角线上一动点， ∴没办法说明，故②错误； 过点E作交于点H，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵和都是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴，故④正确． 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④， 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 随着AI技术的发展．越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间t（分钟）（时间t为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是______人； （2）并补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是______度； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）40 （2）补全频数分布直方图见解析 （3）108 （4）255人 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用A组人数除以A组人数占比得出抽样调查的人数； （2）用抽样调查的人数减去A，B，D组的人数得出C组人数，即可补全频数分布直方图； （3）用乘C组人数所占比例即可； （4）求出每天学习和使用不少于90分钟的人数占比，再乘以600即可求解． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的人数：（人）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：C组的人数：（人），补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是， 故答案为：108； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是255人． 21. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． （1）设直线的解析式为，把点与点代入直线解析式进行求解即可； （2）设点的坐标，由，可得，再由，列出方程，由此求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：，因点A、B在直线上， 依题意得：， 解得：， 所以直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：因点C在直线上，设， 由题意得：， 解得：， 所以． 22. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是菱形，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边的等长是解题的关键． （1）分别以为圆心，以大于的等长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点做直线，交于E，交于F，交于点O，以此作图即可； （2）先根据平行四边形的性质证明，然后根据垂直平分线的性质证明，，接下来证，，最后根据四边相等的四边形是菱形来证明即可． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求． ； （2）四边形是菱形． 证明：∵直线垂直平分线， ∴，，． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23. 某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元． （1）求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价； （2）现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？ 【答案】（1）购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元； （2）当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，可得，结合一次函数的增减性，不等式的取值方法求解即可． 【小问1详解】 解：设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元； 【小问2详解】 解：设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元， ， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵， 解得， ∴当时，w有最小值，，， 答：当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用、分别表示点、的坐标； （2）若四边形的面积是，且，试求点的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（）把代入函数解析式求出的值可得点的坐标． （）联立函数解析式，求出方程组的解可求出点的坐标，再求出点坐标，进而由可得，再根据列出方程求出的值即可求解． （）过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点，分三种情况，利用平行四边形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∵把代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 由（2）得：直线的表达式为，的表达式为， 如图，过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点， ①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即； ③∵， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 由，解得， ∴； 综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数几何的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识，清晰的分类讨论是解题的关键． 25. 已知正方形的边长为4，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧． （1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长； （2）如图2，连接，并延长交于点H，若，求证：； （3）如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）延长，交于点G，由题意易得，，则有，然后可得，进而可求得，最后问题可求证； （3）分两种情况进行讨论，先求出点Q的运动轨迹，然后可知当时，有最小值，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，延长，交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3，取的中点N，连接， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵点Q为的中点，点N为的中点， ∴， ∴， ∴点Q在过的中点N，且与成的直线上移动， ∴当时，有最小值， 如图4，延长，交于点H，连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ②当点E在线段的延长线上时，如图5，取的中点N，连接， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵点Q为的中点，点N为的中点， ∴， ∴， ∴点Q在过的中点N，且与成的直线上移动， ∴当时，有最小值， 如图，延长，交于点H， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 综上所述：的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质、三角函数及含30度直角三角形的性质；添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $