11.5第1课时　提公因式法 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

11.5　因式分解 第1课时　提公因式法 第11章　整式的乘除 讲授新课 因式分解 一 把下列多项式写成乘积的形式 都是多项式化为几个整式的积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1 + ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式，而不是单项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 因式分解之基本方法— 提公因式法 二 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式p 这个多项式有什么特点？ pa + pb + pc 例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是3x. 指数：相同字母的最低次幂 1 典例精析 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 知识要点 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c ) pa + pb + pc p = 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn -2xy (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式： 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b. （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 思 考 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 把3x2 - 6xy+x分解因式. 正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1). 小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 小华的解法有误吗？ 课堂小结 因式 分解 定义 am+bm+mc=m(a+b+c) 方法 提公因式法 公式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习） 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 1. 下列等式中,从左到右的变形属于因式分解的是(　D　) A. x2-5x+3=x(x-5)+3 B. (x-2)(x+5)=x2+3x-10 C. (2x+3)2=4x2+12x+9 D. x2y-2xy2+xy=xy(x-2y+1) 2. 将多项式4m2-2m6提取公因式后,剩下的因式为(　C　) A. 2m2 B. m2 C. 2-m4 D. 2m2-m4 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 将多项式m2(x-2)+m(2-x)分解因式,正确的是(　C　) A. (x-2)(m2-m) B. m(x-2)(m+1) C. m(x-2)(m-1) D. 以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 分解因式:x2y+2xy= 　xy(x+2)　.  5. 如果把多项式x2-8x+m分解因式得(x-10)(x+n),那么m+n= 　-18　.  xy(x+2)　 -18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 把下列各式分解因式: (1) 5x2y3-25x3y2. 解:原式=5x2y2(y-5x). (2) -2x2+18x2y-4xy2. 解:原式=-2x(x-9xy+2y2). (3) (2m+3n)(2m-n)-n(2m-n). 解:原式=(2m-n)(2m+2n)=2(m+n)(2m-n). (4) (x-2y)(x+3y)-(x-2y)2. 解:原式=(x-2y)(x+3y-x+2y)=5y(x-2y). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 有下列从左到右的变形:① 24x2y=4x·6xy;② x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;③ +xm=xm(+1);④ x2+1=x ;⑤ -a2b+ab-ac=-a(ab-b+c).其中,是因式分解的有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若实数a、b满足a-2b=5,2a2b-4ab2=-20,则ab的值为(　A　) A. -2 B. 2 C. -50 D. 50 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 下列因式分解正确的是 (　A　) A. mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)·(n+1) B. 6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C. 3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2) D. 3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 把多项式a3b4-abnc分解因式时,提取的公因式为ab4,则整数n的取值范围是 　n≥4　.  11. 分解因式(a+b)(a+b-1)-a-b+1的结果为 　(a+b-1)2　.  12. 多项式(x+2)(2x-1)-(x+2)可以分解因式得2(x+m)(x+n),则m-n的值为 　3或-3　.  n≥4　 (a+b-1)2　 3或-3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 易错题 把下列各式分解因式: (1) -8x4y+6x3y2-2x3y. 解:原式=-2x3y(4x-3y+1). (2) (2a-3b)(x+3)-(3b-2a)(3x-1)-(2a-3b)(5x+7). 解:原式=(2a-3b)(x+3+3x-1-5x-7)=(2a-3b)(-x-5)=-(2a-3b)(x+5). (3) a2(x-2a)2- a(2a-x)3. 解:原式= ax(2a-x)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 先分解因式,再求值: (1) m(m+n)(m-n)-m(m+n)2,其中m+n=1,mn= . 解:原式=m(m+n)(m-n-m-n)=-2mn(m+n).当m+n=1,mn= ×1=-1. (2) 7y(x-3y)2-2(3y-x)3,其中 解:原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).∵ ∴ 原式=12×6=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $