11.3第1课时　两数和乘以这两数的差 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第11章　整式的乘除 11.3　乘法公式 第1课时　两数和乘以这两数的差 讲授新课 平方差公式 探究发现 5米 5米 a米 (a-5)米 (a+5)米 相等吗？ 原来 现在 a2 (a+5)(a-5) 面积变了吗？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算：看谁算得又快又准. ②（m＋ 2)( m－2）=m2－22 ③（2x＋ 1)( 2x－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 ①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式.有时也简称为平方差公式. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 知识要点 平方差公式 = － (a+b)(a－b) a2 b2 几 何 解 释 b2 a a b b (a-b)(a+b) a2 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式,也可以是两个多项式等． (a+b)(a-b) = a2 - b2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=  _________. (2)(a-b)(b+a)= __________. (3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________. a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 例1 填一填： a b a2-b2 1 x - 3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 典例精析 例2 计算1 998×2 002. 1 998 2 002 =     =3 999 996. 解 例3 街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2 米，而东西向要缩短2 米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 解: 答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米. 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 1. 下列各式中,可以用两数和与这两数差的乘法公式计算的是(　C　) A. (2a+b)(2a+b) B. (2a+b)(2b+a) C. (2a-b)(2a+b) D. (2a+b)(-2a-b) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 下列计算正确的是(　C　) A. (x-4)(4+x)=x2-4 B. (x+2)(3x-2)=3x2-4 C. (ab-c)(ab+c)=a2b2-c2 D. (-x-2y)(x+2y)=x2-4y2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 定义一种运算:a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 　x2-1　.  x2-1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 计算: (1) (3m-2n)(-3m-2n). 解:4n2-9m2. (2) (5ab-3xy)(-3xy-5ab). 解:9x2y2-25a2b2. (3) 40 ×39 . 解:1599 . (4) 2026×2024-20252. 解:-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p、q满足的条件可能是:① p=a,q=b;② p=a,q=-b;③ p=-a,q=b;④ p=-a,q=-b中的(　C　) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 6. 易错题 若实数m、n满足(m2+2n2+5)(m2+2n2-5)=0,则m2+2n2的值为(　A　) A. 5 B. 2.5 C. 2.5或-5 D. 5或-5 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图,长方体的体积为 　a4-b4　.  8. 已知x2-y2=4,则(x+y)3(x-y)3的值为 　64　.  9. 解方程:9x(4x-7)-(6x+5)(6x-5)+38=0. 解:去括号,得36x2-63x-36x2+25+38=0.移项、合并同类项,得63x=63.系数化为1,得x=1. a4-b4　 64　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 利用平方差公式计算:99×101×10001. 解:原式=(100-1)×(100+1)×(10000+1)=(1002-1)×(1002+1)=1004-1=108-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 李某从郑某手里租了一块边长为a(a>5)m的正方形土地(如图).郑某对李某说:“我把你这块土地的一边减少5m,另一边增加5m继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”李某一听,觉得自己好像没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李某有没有吃亏?请说明理由. (第11题) 解:李某吃亏了.　理由:∵ (a+5)(a-5)=a2-25<a2,∴ 李某少种了25m2的土地.∴ 李某吃亏了. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知11a2+5a-6=0,求5a(3a+1)-(2a+7)(2a-7)的值. 解:原式=15a2+5a-(4a2-49)=15a2+5a-4a2+49=11a2+5a+49.∵ 11a2+5a-6=0,∴ 11a2+5a=6.∴ 原式=11a2+5a+49=6+49=55. 13. 如果a、b为有理数,那么计算2a2-(a-b)(a+b)-[(2-a)(a+2)+(-b-2)(2-b)]的结果与b的值有关吗?请说明理由. 解:结果与b的值无关.　理由:∵ 原式=2a2-(a2-b2)-[(4-a2)+(b2-4)]=2a2-(a2-b2)-(4-a2)-(b2-4)=2a2-a2+b2-4+a2-b2+4=2a2,∴ 结果与b的值无关. (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $