第二十二章 二次函数 题集复习2025-2026学年人教版数学九年级上册

二次函数综合 一．二次函数的定义 1．下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x（x+1） D．y＝x（x2+3） 2．下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 3．已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 4．已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 5．若函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为　 　 ． 6．若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第 　 　 象限． 二．二次函数的图象 7．函数y＝|x|﹣2的图象如图所示．类似地，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 三．二次函数的性质 10．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 0 3 4 3 … A．对称轴为直线x＝﹣1 B．当x＝3时，y＝﹣5 C．当时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 11．对于抛物线y＝x2﹣4x+5，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．有最高点 D．顶点坐标为（2，1） 12．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是（﹣2，﹣3） C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为﹣3 13．已知二次函数y＝x2+2x﹣4，当﹣3＜x≤0时，y的取值范围是（　　） A．﹣4≤y≤﹣1 B．﹣4≤y＜﹣1 C．﹣5≤y＜﹣1 D．﹣5≤y≤﹣4 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+b（a，b为常数，且a＜0），点A（﹣5，m），B（﹣1，n），C（0，b）均在该抛物线上，则m、n、b的大小关系正确的是（　　） A．b＜n＜m B．m＜n＜b C．m＞b＞n D．m＜b＜n 15．已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+4（m＞0），若点A（n，a），点B（n+2，a），点C（6，b）都在该二次函数的图象上，且a＜b＜4，则n的取值范围为（　　） A．n＜2 B．2＜n＜4或n＞6 C．1＜n＜2 D．1＜n＜2或n＞4 17．已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0），当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞﹣1，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 18．已知二次函数y＝（x﹣1）2，当自变量x分别取时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则关于y1，y2，y3的大小关系是 　 　 ． 19．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）在函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y1的大小关系为 　 　 ． 20．已知A（﹣3，y1），B（3，y2）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系是y1　 　 y2．（用“＜”、“＞”或“＝”填空） 四．二次函数图象与系数的关系 21．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点是（1，0）．下列结论正确的是（　　） A．16a+c＞4b B．16a+c＜4b C．16a+c＝4b D．16a+c与4b的大小关系不确定 22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．3a+c＞0 23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③b2﹣4ac＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2﹣4ac＜0；⑤若（，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中正确个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，现在给出下列的4个结论： ①abc＜0； ②a﹣b+c＝0； ②b2﹣4ac＜0； ④若m为任意的实数，则am2+bm＜a+b． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线顶点坐标为（2，﹣16）．则下列结论： ①abc＞0； ②4a﹣b＝0； ③a+b+c＞0； ④； ⑤ax2+（b﹣k）x+c+2k+15＝0（k为实数）有两个不等实根． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 28．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）开口向上，过A（m﹣1，0），B（3﹣m，0）两点（其中m≠2），下列四个结论： ①b＜0； ②若c＝﹣3a，则m＝4； ③对于任意实数t，总有at2﹣a≥b﹣bt； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（n＞0）必有两个不相等的数根． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 29．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），AB是等腰直角三角形ABC的一条直角边；且点C位于第一象限，若抛物线y＝ax2﹣x+1与直线AC有两个不同的交点，则a的取值范围是　 　 ． 30．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于（﹣2，0），（x1，0），其中﹣1＜x1＜0．下列五个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a﹣c＜0；④a﹣b＞0；⑤关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣x1）+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的有　 　 ． 五．二次函数图象与几何变换 31．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3 32．要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 33．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝（x﹣4）2﹣7重合，那么它平移的过程可以是（　　） A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 34．要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 35．抛物线y＝（m﹣1）x2+mx+m+3向左平移2单位，再向上平移3单位后经过（﹣2，3），则m的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．0 36．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到的函数图象的表达式是 　 　 ． 37．将抛物线y＝x2﹣4x+1向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为　 　 ． 38．已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，C（﹣2，0）是x轴上的一个定点．当A'C+CB'最短时，此时抛物线的解析式为 　 　 ． 39．如图，将抛物线C1：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点为A，点P是抛物线C2上一点，则△POA的面积的最小值为 　 　 ． 40．已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　 　 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　 　 ． 六．二次函数的最值 41．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），若当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为（　　） A． B．2 C． D． 42．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 43．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　 　 ． 44．二次函数y＝x2+x+1的最小值为　 　 ． 45．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是　 　 ． 七．待定系数法求二次函数解析式 46．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 47．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（　　） A．y（x﹣2）2+3 B．y（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2+3 48．在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表 x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …… y …… 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m …… 其中m的值（　　） A．21 B．12 C．5 D．﹣4 49．已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（　　） A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定 50．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB∥y轴，BC∥x轴，且点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（3，﹣1）．若抛物线的顶点坐标为（1，0），且经过正方形的顶点D． （1）二次函数的表达式为　 　 ． （2）将抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象M．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象M有唯一交点，则k的取值范围是　 　 ． 51．若一个二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，则这个二次函数的表达式为　 　 ． 52．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是　 　 ． 53．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为 　 　 ． 八．抛物线与x轴的交点 54．关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线的顶点坐标为（2，﹣3） B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与x轴有两个交点 D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 九．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题） 55．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 56．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+3 … ﹣5 0 3 3 0 … 下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 十．二次函数与不等式（组） 57．如图所示，一次函数y1＝kx+m（k＞0）的图象与二次函数y2＝ax2+bx+c（a＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为3．则x＝1时，y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 58．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 59．如图是抛物线（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；⑤方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根；其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．如图为和y2＝kx+b的图象，交点A（﹣1，1）和B（2，4），当y1＜y2时，x的取值范围是　 　 ． 61．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　 　 ． 62．如图，二次函数y＝x2+4x+3的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（﹣1，0），B（n，3），则不等式x2+4x+3＜kx+b的解集是　 　 ． 十一．二次函数的应用 63．如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为y（米）＝a（x﹣2）2+3，已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能a值是（　　） A．a＝﹣0.01 B．a＝﹣0.1 C．a＝﹣0.12 D．a 64．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 65．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 十二．二次函数综合 66．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 67．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确 68．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 69．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 70．如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线x； ②抛物线的最大值为； ③∠ACB＝90°； ④OP的最小值为． 则正确的结论为（　　） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 十三．二次函数综合大题 1．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． （1）若由点A、B、C组成的角∠ABC满足，求m的值及点A的坐标； （2）在（1）的条件下，点D是直线BC上方抛物线上的动点，过点D作直线BC的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段DE的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上的动点，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，求E，F两点间距离的最大值； （3）如图2，连接BC，在抛物线上存在点Q，使∠QAC+∠OCB＝45°，请直接写出符合题意的点Q坐标． 3．如图，直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）相交于A（1，﹣1）和B（m，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C是线段AB上的动点，过点C作CD⊥x轴，交抛物线于点D．是否存在这样的C点，使线段CD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）x轴上是否存在点M，使得△ABM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y'，新抛物线y'经过点C且与直线AC另一交点为点K，M为新抛物线y'上的一动点，当∠MKC＝∠ACB时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 6．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，若EP＝EG，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 7．已知，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，DE⊥BC于点E，DF∥y轴交BC于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+3沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，GP⊥y轴交新抛物线于点P，射线PO与新抛物线的另一交点为Q．当PO＝2OQ时，求点Q的坐标． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ⊥BC，交直线BC于点Q，过点Q作QM⊥y轴，交y轴于点M，点K为直线AC上一动点，当最大时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线BC方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接AE，CE，当∠AEC＝∠ACO时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线经过点A，C，点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DM∥y轴交AC于点M，过点M作MN⊥y轴于点N． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为y轴上一动点，连接AP、DP，当DM+MN取得最大值时，求出此时点D的坐标及|AP﹣DP|的最大值； （3）如图2，点E的坐标为（﹣3，0），连接EC，BC，将抛物线沿射线EC方向平移个单位得到新抛物线，请问新抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，此时P的坐标为 　 　 ； （3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C、点B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由； （4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段BC于点M，点D是直线BC上方抛物线上一点．当△MND∽△BPM时，求点N的坐标． （3）如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ，交线段BC于点E，交y轴于点F，令S＝S△BQE﹣S△CEF，求S的最大值． 12．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标． 13．如图，抛物线yx+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （2）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点A（2，0）和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，S△BOC＝2S△AOC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PO交BC于点D，连接PC，点M是直线PC上一动点，MN⊥x轴，垂足为N，连接DM，CN．当取最大值时，求DM+MN+CN的最小值； （3）在（2）的条件下，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点E，将抛物线沿射线BC方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接BF，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 16．如图，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝2． （1）求a的值； （2）若E是二次函数图象在第一象限内的一个动点，作EF⊥x轴于点F，AE与y轴交于点D． ①连接BD，BE，当时，求△BDE的面积； ②判断a•OF与CD的数量关系，并说明理由． 17．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标． 18．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，联结CD． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段BC上方抛物线上的一动点，连接PC，PB，点M是y轴上一个动点，连接PM，BM，当△PCB 的面积取得最大值时，求PM+BM的最小值； （3）将原抛物线沿着CB方向平移，使得新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一个交点记为点E，与原抛物线的对称轴的交点记为点D．已知点N为新抛物线上的一点，且∠NED+∠BCO＝∠BED，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求其中一个点N的过程． 21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，点（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线AC下方抛物线上的一动点，D在y轴上方，且OD＝2OC，连接PD与AC交于点Q，点M是y轴上的动点，连接PA，PM，AM，PC．令△CDQ的面积为S1，△CPQ的面积为S2，当有最大值时，求P点坐标及此时△PAM周长的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线x轴方向平移，使得平移后的新抛物线经过点C，将直线AC绕点C逆时针旋转45°，得到直线CA'，K为新抛物线上的一点，连接OK，若线段OK被直线CA'平分，求点K的横坐标． 22．如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标． （3）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点． （1）求抛物线Q1的表达式； （2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（2，0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线的表达式； （2）过点B作BN∥AC，交抛物线于点N，点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接NP交AC于点F．将线段OA沿x轴左右平移，线段OA的对应线段为线段O1A1．当四边形BCPF的面积最大时，求点P的坐标及PA1+CO1的最小值； （3）将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过点C，点Q在新抛物线上．在（2）中，当四边形BCPF的面积最大时，若∠ABP+90°＝∠OCA+∠QCA，求点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程． 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上第一象限内的点，连接AC，CP，BP，当四边形ACPB的面积为18时，求此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接BC，过点P作PD⊥x轴于点D，交CB于点E，将直线CP沿射线CB方向平移，使得新直线经过点E．点M为新直线上的一个动点，当∠EBM+∠BPE＝∠CPE时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 第45页 共46页 ◎ 第46页 共46页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数-综合复习（答案） 一．选择题（共39小题） 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 答案 C C D B D D B C D C C 题号 14 15 16 17 21 22 23 24 25 26 27 答案 D C B A B D B B D B B 题号 31 32 33 34 35 41 42 46 47 48 49 答案 A C D B C A C D A C C 题号 54 55 56 57 58 59 答案 C D C A B C 一．二次函数的定义（共6小题 1．下列函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x（x+1） D．y＝x（x2+3） 【解答】解：A、y＝x﹣1，自变量x的次数是1次，故它不是二次函数，此项不符合题意； B、y＝x，自变量x在分母上，它不是整式，故它不是二次函数，此项不符合题意； C、y＝2x（x+1），自变量x的次数是2次，且不在分母上，故它是二次函数，此项符合题意； D、y＝x（x2+3），自变量x的次数是3次，故它不是二次函数，此项不符合题意． 故选：C． 2．下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意； C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 3．已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数， 所以a+2≠0， 即a≠﹣2． 故选：D． 4．已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【解答】解：由条件可知a2+1＝2， 解得a1＝﹣1或a2＝1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1． 故选：B． 5．若函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为　﹣2　 ． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1是关于x的二次函数， ∴|k|＝2，解得k＝﹣2或k＝2， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 6．若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第 　四　 象限． 【解答】解：由于y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， ∴m＝1， 故一次函数的解析式为y＝x+1， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 二．二次函数的图象（共3小题） 7．函数y＝|x|﹣2的图象如图所示．类似地，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由函数y＝|x|﹣2的图象可知x为任意实数， ∴当x＞0时，函数为y＝﹣x2+4x﹣2， 当x＜0时，函数为y＝﹣x2﹣4x﹣2， 当x＝0时，函数为y＝﹣2， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：D． 9．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项A不符合题意； 选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B符合题意； 选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线中﹣ab＞0，故选项C不符合题意； 选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意； 故选：B． 三．二次函数的性质（共11小题） 10．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 0 3 4 3 … A．对称轴为直线x＝﹣1 B．当x＝3时，y＝﹣5 C．当时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 【解答】解：由题意，结合表格数据可得抛物线的对称轴是直线x1，故A错误． ∵对称轴是直线x＝1， ∴当x＝3时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等． ∵当x＝﹣1时，y＝0，则当x＝3时，y＝0，故B错误． 结合表格数据可得，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x时，y随x的增大而增大，故C正确． ∵当x＜1时，y随x的增大而增大，且对称轴是直线x＝1， ∴抛物线开口向下． ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为4，故D错误． 故选：C． 11．对于抛物线y＝x2﹣4x+5，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．有最高点 D．顶点坐标为（2，1） 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，有最低点，顶点坐标为（2，1）， ∴只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 12．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是（﹣2，﹣3） C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为﹣3 【解答】解：A、由a＝1＞0可知图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、由y＝（x﹣2）2﹣3可知图象的顶点坐标是（2，﹣3），故此选项不符合题意； C、当x＝0时，y＝1＞0，所以函数图象与y轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、由开口向上，所以y有最小值，最大值为﹣3，故此选项不符合题意； 故选：C． 13．已知二次函数y＝x2+2x﹣4，当﹣3＜x≤0时，y的取值范围是（　　） A．﹣4≤y≤﹣1 B．﹣4≤y＜﹣1 C．﹣5≤y＜﹣1 D．﹣5≤y≤﹣4 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5， ∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，函数图象开口向上，当x＝﹣1时，取得最小值﹣5， ∵﹣1﹣（﹣3）＝2，0﹣（﹣1）＝1，当x＝﹣3时y＝﹣1， ∴当﹣3＜x≤0时，y的取值范围是﹣5≤y＜﹣1， 故选：C． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+b（a，b为常数，且a＜0），点A（﹣5，m），B（﹣1，n），C（0，b）均在该抛物线上，则m、n、b的大小关系正确的是（　　） A．b＜n＜m B．m＜n＜b C．m＞b＞n D．m＜b＜n 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，开口向下，则图象上的点离对称轴越远则y的值越小， 各点到对称轴的距离是：|﹣5﹣（﹣2）|＝3，|﹣1﹣（﹣2）|＝1，|0﹣（﹣2）|＝2， ∴1＜2＜3， ∴m＜b＜n， 故选：D． 15．已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立； 当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3， 解得：a＜3， ∴2＜a＜3； 当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立． 综上所述，a的取值范围为a＜3． 故选：C． 16．已知二次函数y＝x2﹣2mx+4（m＞0），若点A（n，a），点B（n+2，a），点C（6，b）都在该二次函数的图象上，且a＜b＜4，则n的取值范围为（　　） A．n＜2 B．2＜n＜4或n＞6 C．1＜n＜2 D．1＜n＜2或n＞4 【解答】解：由题意，∵抛物线过点A（n，a），点B（n+2，a）， ∴对称轴是直线xn+1． 又∵二次函数为y＝x2﹣2mx+4（m＞0）， ∴对称轴是直线xm，且抛物线过（0，4）． ∴m＝n+1． 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵a＜b＜4， ∴n+1﹣n＜n+1﹣6|＜|n+1﹣0|． ∴2＜n＜4或n＞6． 故选：B． 17．已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0），当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞﹣1，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线， ∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小， ∴ ＝a（x1﹣x2）（x1+x2+4）， ∵x1+x2＞﹣1，x1＞x2， ∴x1+x2+4＞3，x1﹣x2＞0， ∵a＞0， 则y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（x1+x2+4）＞0， ∴y1＞y2， 故选：A． 18．已知二次函数y＝（x﹣1）2，当自变量x分别取时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则关于y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y1＜y3　 ． 【解答】解：对称轴为直线x＝1，且开口向上，根据离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴y2＜y1＜y3， 故答案为：y2＜y1＜y3． 19．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）在函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y1的大小关系为 　y1＞y2＞y3　 ． 【解答】解：原抛物线解析式配方得：y＝（x﹣1）2+m+1，a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为直线x＝1， 根据离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大可知， |﹣3﹣1|＝4，|﹣1﹣1|＝2，|0﹣1|＝1， ∵1＜2＜4， ∴y3＜y2＜y1， 故答案为：y1＞y2＞y3． 20．已知A（﹣3，y1），B（3，y2）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的两点，则y1，y2的大小关系是y1　＞　 y2．（用“＜”、“＞”或“＝”填空） 【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣2）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2， ∴抛物线上与点A（﹣3，y1）关于x＝2对称的点的坐标为（7，y1）， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵7＞3＞2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 四．二次函数图象与系数的关系（共10小题） 21．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点是（1，0）．下列结论正确的是（　　） A．16a+c＞4b B．16a+c＜4b C．16a+c＝4b D．16a+c与4b的大小关系不确定 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当x＝﹣4时，y＜0， ∴16a﹣4b+c＜0， ∴16a+c＜4b， 故选：B． 22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．3a+c＞0 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1， ∴b＝﹣2a＞0，则2a+b＝0． 又∵结合图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＞0；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0， ∴a﹣2a+c＝c﹣a＞0，4a﹣4a+c＝c＞0，9a﹣6a+c＝3a+c＞0，故C错误，D正确． ∴abc＜0，故A错误． ∵b＝﹣2a＞0， ∴b﹣2a＝﹣4a＞0，故B错误． 故选：D． 23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③b2﹣4ac＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x2， ∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故本结论正确； ②∵当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 即9a+c＜3b，故本结论错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故本结论正确； ④∵对称轴为直线x＝2， ∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大， 当x＞2时，y随x的增大而减小，故本结论错误； ⑤∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0）， ∴当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故本结论正确． 故选：B． 24．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2﹣4ac＜0；⑤若（，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中正确个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0． 当x＝0时，y＝c， ∴c＜0． ∵对称轴直线x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0． 故①正确． ②∵对称轴直线x1， ∴2a+b＝0． 故②不正确． ③根据图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， 故③正确． ④∵ax2+bx+c＝0有两个不同的实根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0． 故④不正确． ⑤∵x距对称轴x＝1的距离为1； x＝2距对称轴x＝1的距离为2﹣1＝1， ∴（，y1）与（2，y2）相比，距对称轴的距离更近， ∴y1＜y2． 故⑤正确． 故选：B． 25．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴c＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a，b＞0． ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，故②正确； ∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0． ∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0． 故③正确； ∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1， ∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n）， ∴当y＝n时，x＝﹣3或5． ∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5． 即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5． 故④正确； 综上，正确的结论有：①②③④． 故选：D． 26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，现在给出下列的4个结论： ①abc＜0； ②a﹣b+c＝0； ②b2﹣4ac＜0； ④若m为任意的实数，则am2+bm＜a+b． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：观察图象，可知a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点， ∴b2﹣4ac＞0，故③不正确； 当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c， ∴若m为任意实数，则am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm≤a+b，故④不正确， 故选：B． 27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线顶点坐标为（2，﹣16）．则下列结论： ①abc＞0； ②4a﹣b＝0； ③a+b+c＞0； ④； ⑤ax2+（b﹣k）x+c+2k+15＝0（k为实数）有两个不等实根． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴x0， ∴b＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于原点下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，①正确； ∵抛物线顶点坐标为（2，﹣16）， ∴2，即b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，②错误； 由图象可知，x＝1时，y＝a+b+c＜0，③错误； ∵抛物线顶点坐标为（2，﹣16）， ∴4a+2b+c＝﹣16， ∴4a﹣8a+c＝﹣16， ∴c＝4a﹣16， 由图象可知x＝﹣2时，y＜0；x＝﹣3时，y＞0， ∴， ∴，④正确； ∵y＝kx﹣2k﹣15＝k（x﹣2）﹣15， ∴直线y＝kx﹣2k﹣15过点（2，﹣15）， ∵抛物线顶点坐标为（2，﹣16）， ∴抛物线与直线y＝kx﹣2k﹣15有两个交点， ∴ax2+（b﹣k）x+c+2k+15＝0（k为实数）有两个不等实根，故⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 故选：B． 28．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）开口向上，过A（m﹣1，0），B（3﹣m，0）两点（其中m≠2），下列四个结论： ①b＜0； ②若c＝﹣3a，则m＝4； ③对于任意实数t，总有at2﹣a≥b﹣bt； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（n＞0）必有两个不相等的数根． 其中正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【解答】解：∵抛物线经过A（m﹣1，0），B（3﹣m，0）， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴1，即b＝﹣2a＜0，①正确； ∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）， ∴过A（﹣1，0），B（3，0）， ∴m﹣1＝﹣1，3﹣m＝3， ∴m＝0，②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥a+b+c，即at2﹣a≥b﹣bt，③正确； ∵抛物线开口向上，且与x轴有两个交点， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n（n＞0）有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（n＞0）必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 29．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），AB是等腰直角三角形ABC的一条直角边；且点C位于第一象限，若抛物线y＝ax2﹣x+1与直线AC有两个不同的交点，则a的取值范围是　且a≠0　 ． 【解答】解：由题意，如图，过C作CH⊥y轴于H， ∵已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），AB是等腰直角三角形ABC的一条直角边， ∴CH＝HA，∠ABC＝90°． ∴∠ABO+∠CBH＝90． 又∵∠CBH+∠BCH＝90°， ∴∠ABO＝∠BCH． 又∵∠AOB＝∠BHC＝90°， ∴△AOB≌△BHC（AAS）． ∴AO＝BH，OB＝HC． ∵A（﹣1，0），B（0，2）， ∴CH＝OB＝2，OH＝BO﹣BH＝2﹣1＝1． ∴C（2，1）． 又设直线AC为y＝mx+n， ∴． ∴m，n． ∴直线AC为yx． ∴令ax2﹣x+1x，则ax2x0， 又∵抛物线y＝ax2﹣x+1与直线AC有两个不同的交点， ∴Δ＝（）2﹣4a＞0． ∴a． 又∵a≠0， ∴且a≠0． 故答案为：且a≠0． 30．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于（﹣2，0），（x1，0），其中﹣1＜x1＜0．下列五个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a﹣c＜0；④a﹣b＞0；⑤关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣x1）+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的有　③④⑤　 ． 【解答】解：∵﹣1＜x1＜0，﹣3＜﹣2+x1＜﹣2， ∴， ∵图象与x轴交于（﹣2，0），（x，0）， ∴， ∵a＜0， ∴b＜0， 又由对称性，原点的对称点在﹣2的左边， ∴当x＝0时，y＝c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵﹣1＜x1＜0， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，故②错误； ∵当x＝﹣2时，y＝0，即4a﹣2b+c＝0， ∴2b＝4a+c， 当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0， 把2b＝4a+c代入②×2得，2a﹣（4a+c）+2c＞0， ∴2a﹣c＜0，故③正确； 当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴a﹣b＞﹣c＞0，故④正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣2，0），（x1，0）， ∴y＝a（x+2）（x﹣x1）， ∴函数y＝ax2+bx+c向上平移一个单位得到y＝a（x+2）（x﹣x1）+1， ∴函数y＝a（x+2）（x﹣x1）+1与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣x1）+1＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确． 故答案为：③④⑤． 五．二次函数图象与几何变换（共10小题） 31．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3 【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣2+3）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1． 故选：A． 32．要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2的顶点坐标是（3，0），抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3）， 所以将顶点（3，0）向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点（2，3）， 即将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象． 故选：C． 33．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝（x﹣4）2﹣7重合，那么它平移的过程可以是（　　） A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 【解答】解：∵y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），y＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标是（4，﹣7）， ∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 故选：D． 34．要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【解答】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象． 故选：B． 35．抛物线y＝（m﹣1）x2+mx+m+3向左平移2单位，再向上平移3单位后经过（﹣2，3），则m的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．0 【解答】解：y＝（m﹣1）x2+mx+m+3， 由条件可得m+3＝0， 解得：m＝﹣3． 故选：C． 36．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到的函数图象的表达式是 　y＝2（x﹣2）2﹣3　 ． 【解答】解；将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝2（x﹣2）2﹣3， 故答案为：y＝2（x﹣2）2﹣3． 37．将抛物线y＝x2﹣4x+1向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为　（4，﹣3）　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴其顶点坐标为（2，﹣3）， ∴平移后顶点坐标为（4，﹣3）， 故答案为：（4，﹣3）． 38．已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，C（﹣2，0）是x轴上的一个定点．当A'C+CB'最短时，此时抛物线的解析式为 　y（x）2　 ． 【解答】解：∵点B（2，n）在抛物线上， ∴n＝2， ∴B（2，2）， 如图，确定点B关于x轴的对称点M（2，﹣2）， 设直线AM的解析式为y＝kx+b，由条件可得： ，解得 直线AM的解析式为：yx， 当y＝0时，x， ∴P（，0）． 当点P平移到点C位置时，A'C+CB'最短， ∴抛物线应向左平移2个单位长度，才能使A'C+CB'最短， ∴平移后抛物线的解析式为：y（x）2． 故答案为：y（x）2． 39．如图，将抛物线C1：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点为A，点P是抛物线C2上一点，则△POA的面积的最小值为 　3.5　 ． 【解答】解：∵y（x+2）2﹣2， ∵顶点为A（﹣2，﹣2）， ∴将抛物线C1：yx2+2x沿x轴对称后的抛物线的顶点为（﹣2，2）， ∴沿x轴对称后的抛物线的解析式为y（x+2）2+2， 向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C2：y（x+2﹣3）2+2﹣5， 即y（x﹣1）2﹣3， ∵A（﹣2，﹣2）， ∴直线OA解析式为：y＝x， ∴要使△POA的面积最小，则点P在平行于直线OA，且与抛物线C2相切的直线上， 设平行于直线OA，且抛物线C2相切的直线为：y＝x+k， 解x+k（x﹣1）2﹣3， 整理得x2+k0， ∵Δ＝0， ∴0﹣4（k）＝0， ∴k， ∴切线为y＝x， 解得， ∴P（0，）， 点P到直线OA的距离为：， ∴POA的面积的最小值为：23.5， 故答案为：3.5． 40．已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　﹣5　 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　4≤k　 ． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为﹣5． 故答案为：﹣5． （2）由（1）可得，二次函数为y＝2（x+1）2﹣5， 又∵二次函数沿y轴方向平移|k|个单位长度， ∴平移后二次函数为y＝2（x+1）2﹣5+k． 又∵A（﹣2，1），B（2，3）， ∴直线AB为yx+2． 又∵平移后与线段AB有两个交点， ∴结合图象可得，当过A时有两个交点，当与AB相切时仅有一个． 联列方程组， ∴x+2＝2（x+1）2﹣5+k． ∴Δ＝49﹣16（﹣10+2k）＝0． ∴k． 又过A（﹣2，1）时，则1＝2（﹣2+1）2﹣5+k， ∴k＝4． 又∵二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点， ∴4≤k． 六．二次函数的最值（共5小题） 41．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），若当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：由题意，∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴可设y＝a（x+1）（x﹣3）． 又∵抛物线为y＝ax2+bx﹣3， ∴过点C（0，﹣3）， ∴﹣3a＝﹣3． ∴a＝1． ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴当x＝4时，y＝5； 当n＞1时，则y随x的增大而增大，这时在x＝n处取最小值5﹣6＝﹣1， ∴n2﹣2n﹣3＝﹣1， ∴（负值舍去）， ∴． 当n≤1时，当x＝1时，y有最小值为﹣4． 当x＝n时y有最大值n2﹣2n﹣3， ∵y的最大值与最小值的差为6， ∴n2﹣2n﹣3﹣（﹣4）＝6， ∴（舍去）或． ∵当x＝4时，y＝5，此时y的最大值与最小值的差为9， ∴，不合题意，舍去． 综上，n的值为． 故选：A． 42．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m； 故选：C． 43．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　﹣2　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4， ∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7， 当x＝﹣1时，y＝7， ∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m， 解得：m＝2， ∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2． 故答案为﹣2． 44．二次函数y＝x2+x+1的最小值为　　 ． 【解答】解：∵y＝x2+x+1， ∴最小值为， 故答案为：． 45．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是　3　 ． 【解答】解：当x＝﹣1时，y有最小值3， 故答案为：3． 七．待定系数法求二次函数解析式（共8小题） 46．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，∵顶点为（﹣6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2， ∵开口向下，形状与函数yx2的图象相同， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x+6）2． 故选：D． 47．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（　　） A．y（x﹣2）2+3 B．y（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝2（x+2）2+3 【解答】解：由题知， 因为抛物线的顶点坐标为（2，3）， 则令二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， 将点（0，1）代入函数解析式得， 4a+3＝1， 解得a， 所以二次函数的解析式为y． 故选：A． 48．在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表 x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …… y …… 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m …… 其中m的值（　　） A．21 B．12 C．5 D．﹣4 【解答】解：从表格看：函数的对称轴为：x＝2， x＝5与x＝﹣1是关于对称轴的对称点， 其y值相同，故m＝5， 故选：C． 49．已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（　　） A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定 【解答】解：∵y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4）， ∴4＝a2，a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故选：C． 50．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB∥y轴，BC∥x轴，且点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（3，﹣1）．若抛物线的顶点坐标为（1，0），且经过正方形的顶点D． （1）二次函数的表达式为　y＝（x﹣1）2　 ． （2）将抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象M．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象M有唯一交点，则k的取值范围是　k＞2或　 ． 【解答】解：（1）由条件可知点D（3，4）， ∴设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2， 把点D（3，4）代入，得4＝a（3﹣1）2， 解得a＝1， ∴抛物线表达式为y＝（x﹣1）2． 故答案为：y＝（x﹣1）2； （2）设抛物线与正方形ABCD边长的另一个交点为E，如图， 当y＝（x﹣1）2＝4时， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴点E（﹣1，4）． ∵直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2， ∴直线过定点F（2，2）． 当x＝2时，y＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1＜2， ∴直线与y＝（x﹣1）2必有两个交点． ∵直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象M有唯一交点， ∴当x＝3时，抛物线过点D（3，4）， y＝kx﹣2k+2＞4，即3k﹣2k+2＞4， 解得k＞2． 当x＝﹣1时，抛物线过点E（﹣1，4）， y＝kx﹣2k+2＞4，即﹣k﹣2k+2＞4， 解得， 综上所述，k＞2或． 故答案为：k＞2或． 51．若一个二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，则这个二次函数的表达式为　　 ． 【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由条件可得 ，解得． 则抛物线解析式为． 故答案为：． 52．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是　（﹣1，4）　 ． 【解答】解：由条件可知， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）． 故答案为：（﹣1，4）． 53．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为 　y＝﹣x2﹣2x+3　 ． 【解答】解：由二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：﹣5＝9a+4， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3， 故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 54．关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线的顶点坐标为（2，﹣3） B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与x轴有两个交点 D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 【解答】解：A、抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），原结论错误； B、抛物线可由经过平移得到，原结论错误； C、∵，， ∴抛物线与x轴有两个交点，原说法正确； D、当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，原结论错误； 故选：C． 九．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题） 55．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 【解答】解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小， ∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 56．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+3 … ﹣5 0 3 3 0 … 下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：将（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+3得， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4）， ∴对称轴为直线x＝1，函数的最大值为4， ∴点B的坐标是（2，3）；故①正确，②错误． 把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得，y＝3， 把x＝3代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝0， ∴抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝2交点的横坐标在2与3之间， ∴ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间，故③正确； ∵当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时， ∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离， ∴y1＞y2．故④正确． 故选：C． 十．二次函数与不等式（组）（共4小题） 57．如图所示，一次函数y1＝kx+m（k＞0）的图象与二次函数y2＝ax2+bx+c（a＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为3．则x＝1时，y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法判断 【解答】解：由图象可得x＝1时，直线在抛物线上方， ∴y1＞y2， 故选：A． 58．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴当x＝0，则y＝c＜0． 又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3， ∴1＜﹣1+x1＜2． ∴1． ∴对称轴是直线x0． ∴b＜0． ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， 又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c． ∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0． ∴2a+c＜0，故②正确． ∵1，且对称轴是直线x0， ∴1． ∵a＞0， ∴a＜﹣b＜2a． ∴2a+b＞0． ∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0． ∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误． 由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）． ∵当x＝0时，y＝c， ∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称． 如图所示， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确． 由题意，∵yx+c过（0，c），（x1，0）， ∴可以作图如下． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是x＜0或x＞x1，故⑤错误． 综上，正确的有①②④共3个． 故选：B． 59．如图是抛物线（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；⑤方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根；其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴在y轴右边， ∴0， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①错误； ②由题意，∵其顶点坐标为A（﹣1，﹣3）， ∴1． ∴b＝2a，故②正确； ③由题意，∵抛物线的顶点A为（﹣1，﹣3）， ∴对称轴是直线x＝﹣1． 又∵与x轴的一个交点为B（﹣3，0）， ∴另一个与x轴的交点为（﹣1+2，0），即（1，0），故③错误； ④由题意，∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A，B两点， ∴当ax2+bx+c＜mx+n时，﹣3＜x＜﹣1，即不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1，故结论④正确； ⑤∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为A（﹣1，﹣3）， ∴抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y＝﹣3只有一个交点， ∴方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故结论⑤正确． 综上，正确的有②④⑤共3个． 故选：C． 60．如图为和y2＝kx+b的图象，交点A（﹣1，1）和B（2，4），当y1＜y2时，x的取值范围是　﹣1＜x＜2　 ． 【解答】解：由图象得出：当﹣1＜x＜2时，y1＜y2， 故答案为：﹣1＜x＜2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/30 12:35:24；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 61．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　﹣3＜x＜0　 ． 【解答】解：由图象可知，当﹣3＜x＜0时，抛物线位于直线上方， ∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是：﹣3＜x＜0， 故答案为：﹣3＜x＜0． 62．如图，二次函数y＝x2+4x+3的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（﹣1，0），B（n，3），则不等式x2+4x+3＜kx+b的解集是　﹣4＜x＜﹣1　 ． 【解答】解：将B（n，3）代入y＝x2+4x+3， 得n2+4n+3＝3， 解得n＝﹣4或0（舍去）， ∴B（﹣4，3）， ∴不等式x2+4x+3＜kx+b的解集为﹣4＜x＜﹣1． 故答案为：﹣4＜x＜﹣1． 十一．二次函数的应用（共3小题） 63．如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为y（米）＝a（x﹣2）2+3，已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能a值是（　　） A．a＝﹣0.01 B．a＝﹣0.1 C．a＝﹣0.12 D．a 【解答】解：当x＝0时，y＝4a+3， ∵足球能射进球门， ∴0＜y＜2.44， ∴ 解得﹣0.75＜a＜﹣0.14， 故选：D． 64．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），则点E的坐标为（0，0.6）， 设解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），由条件可得a（0+1）×（0﹣1）＝0.6， 解得a＝﹣0.6， ∴y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）． ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8， ∴点C到AD的距离为1.8m． 故选：B． 65．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【解答】解：， ∵， ∴当x＝2时，y取得最大值2， ∴羽毛球飞出的最大高度为2米， 故选：A． 十二．二次函数综合题（共5小题） 66．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E， 当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（1，0），E（3，0）， ∴BE＝2， ∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE， ∴CD＝2， 点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF， ∴AF＝2， ∴AF＝CD， ∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上， ∴CD∥AF，BC＝CE， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝CF+CE≥EF， ∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小， 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（0，3）， 由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1， ∴F（0，1）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为， 在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线， 要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足， 解得：， ∴， 故选：C． 67．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（，0） C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确 【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴， 解得． ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5， ∴M（﹣3，5）． ∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小． 如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）． 设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则， 解得， 故该直线的解析式为y＝x+2． 当x＝0时，y＝2，即P（0，2）． 同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（，0）． 如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长； 所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小． 综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）． 故选：A． 68．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【解答】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3， 即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大， 此时的A点坐标为（﹣1，0）， 当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0）， 此时A点的坐标最小为（﹣3，0）， 故点A的横坐标的最小值为﹣3， 故选：A． 69．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）． ∴二次函数的对称轴为直线x1，即1， ∴2a+b＝0． 故①正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）． ∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0． 又∵b＝﹣2a． ∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0． ∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a． ∴2c＝3b． 故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1． ∴x＝1时，二次函数有最小值． ∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c． 即a+b＜am2+bm． 故③正确； ④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形． ∴AD2+BD2＝42． 解得，AD2＝8． 设点D坐标为（1，y）． 则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2． 解得y＝±2． ∵点D在x轴下方． ∴点D为（1，﹣2）． ∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）． 设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2． ∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2． 解得a． 故④正确； ⑤由图象可得，AC≠BC． 故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误） 故①③④正确，②⑤错误． 故选：C． 70．如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线x； ②抛物线的最大值为； ③∠ACB＝90°； ④OP的最小值为． 则正确的结论为（　　） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入， ∴， 解得， ∴yx2x+2， ∵yx2x+2（x）2， ∴抛物线的对称轴为直线x， 故①正确； 当x时，抛物线有最大值， 故②不正确； ∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）， ∴AB＝5，AC＝2，BC， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 故③正确； 设直线AC的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴yx+2， 设P（t，t+2）， ∴OP， ∴当t时，OP有最小值为， 故④正确； 故选：D． 十三、二次函数综合大题（答案） 1．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． （1）若由点A、B、C组成的角∠ABC满足，求m的值及点A的坐标； （2）在（1）的条件下，点D是直线BC上方抛物线上的动点，过点D作直线BC的垂线，垂足为E，是否存在某个位置D使得线段DE的长度等于．若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）现将点C向右平移4个单位得到点M，若抛物线与线段CM有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围　m＞1或m＝0　 ． 【解答】解：（1）当x＝0时，， ∴点C的坐标为（0，4）， ∴OC＝4， 在Rt△BOC中，， ∴OB＝8， ∴点B的坐标为（8，0）， 把（8，0）代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 当y＝0时，得：， 解得x1＝﹣2，x2＝8， ∴点A的坐标为（﹣2，0）； （2）存在某个位置D使得线段DE的长度等于．理由如下： 如图，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点H， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设点D的坐标为，则点H的坐标为， ∴， ∵∠DHE＝∠BHF，∠BHF+∠CBO＝90°， ∴∠DHE+∠CBO＝90°， ∵∠BCO+∠CBO＝90° ∴∠DHE＝∠BCO， ∵∠DEH＝∠COB＝90°， ∴△DEH∽△BOC， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴存在某个位置D使得线段DE的长度等于，点D的坐标为或； （3）∵点C向右平移4个单位得到点M， ∴点M的坐标为（4，4）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2m， 令x＝4，则y＝4m， 当m≤0时，C在抛物线对称轴右侧，其向右平移与抛物线没有交点，故符合题意； 当m＞0时，若CM与抛物线只有一个交点， 则（4，4）在抛物线下方， ∴4m＞4， ∴m＞1； 综上所述，m≤0或m＞1． 故答案为：m≤0或m＞1． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上的动点，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，求E，F两点间距离的最大值； （3）如图2，连接BC，在抛物线上存在点Q，使∠QAC+∠OCB＝45°，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴OA＝OC， ∴△CAO为等腰直角三角形，则∠ACO＝∠CAO＝45°， ∵PE∥x轴，PF∥y轴， ∴∠PFE＝∠ACO＝45°，∠PEF＝∠CAO＝45°， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴EFPF， 由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝x+3， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点F（x，x+3）， ∴PF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∵﹣1＜0， 故PF有最大值，当x时，PF的最大值为：， 则EF的最大值为：； （3）当点Q在AC下方时，如图，设AQ交y轴于点H， ∵∠QAC+∠QAB＝45°，∠QAC+∠OCB＝45°， ∴∠OCB＝∠QAB， ∴tan∠OCB＝tan∠QAB， ∴，即， ∴OH＝1， 则直线AH的表达式为：y（x+3）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2﹣2x+3（x+3）， 解得：x＝﹣3（舍去）或x， 则点Q（，）； 当点Q在AC上方时，如图，过点A作AM⊥x轴，使AM＝OA＝3，连接CM，在线段MC上截取MN＝1，连接AN， ∵∠OAM+∠AOC＝90°+90°＝180°， ∴AM∥OC， ∵AM＝OC， ∴四边形AOCM是平行四边形， ∵∠AOC＝90°， ∴四边形AOCM是矩形， 则∠M＝90°＝∠BOC， ∵MN＝OB＝1， ∴△AMN≌△COB（SAS）， ∴∠MAN＝∠OCB， ∵∠CAM＝90°﹣∠CAO＝45°， ∴∠MAN+∠CAN＝45°， ∵∠QAC+∠OCB＝45°， ∴∠CAN＝∠QAC， ∵A（﹣3，0），N（﹣2，3）， ∴直线AN的表达式为：y＝3（x+3）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2﹣2x+3＝3（x+3）， 解得：x＝﹣3（舍去）或﹣2， 则点Q（﹣2，3）； 综上，点Q的坐标为（，）或（﹣2，3）． 3．如图，直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）相交于A（1，﹣1）和B（m，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C是线段AB上的动点，过点C作CD⊥x轴，交抛物线于点D．是否存在这样的C点，使线段CD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）x轴上是否存在点M，使得△ABM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把B（m，2）代入y＝x﹣2，得m﹣2＝2， 解得：m＝4， ∴B（4，2）， 把A（1，﹣1）和B（4，2）代入y＝ax2+bx+2，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2；（2）设C（t，t﹣2），则D（t，t2﹣4t+2），如图1， ∴CD＝t﹣2﹣（t2﹣4t+2）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t）2， ∵﹣1＜0，1≤t≤4， ∴存在点C，使线段CD的长有最大值，最大值为； （3）x轴上存在点M，使得△ABM为等腰三角形．理由如下： 设M（m，0），又A（1，﹣1），B（4，2）， 则AB2＝（1﹣4）2+（﹣1﹣2）2＝18， AM2＝（1﹣m）2+（﹣1﹣0）2＝m2﹣2m+2， BM2＝（m﹣4）2+（0﹣2）2＝m2﹣8m+20， ∵△ABM为等腰三角形， ∴AM＝AB或BM＝AB或AM＝BM， 当AM＝AB时，即AM2＝AB2， ∴m2﹣2m+2＝18， 解得：m1＝1，m2＝1， ∴M1（1，0），M2（1，0）； 当BM＝AB时，即BM2＝AB2， ∴m2﹣8m+20＝18， 解得：m3＝4，m4＝4， ∴M3（4，0），M4（4，0）； 当AM＝BM时，即AM2＝BM2， ∴m2﹣2m+2＝m2﹣8m+20， 解得：m5＝3， ∴M5（3，0）； 综上所述，x轴上存在点M，使得△ABM为等腰三角形，点M的坐标为（1，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）或（3，0）． 4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3， 则a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点Q（x，x2﹣4x+3），则点P（x，﹣x+3）， 则PQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值， 此时x，则y＝x2﹣4x+3， 即点Q（，）； （3）存在，理由： 由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：yx+3， 过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO， ∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQC＝∠QCO， 则∠CQT＝∠DQT， 即直线CQ和DQ关于直线QT对称， 则直线DQ的表达式为：y（x）， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3（x）， 解得：x（舍去）或5， 即点D（5，8）； 设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2， 当DE＝BD时， 则68＝25+（y﹣8）2， 解得：y＝8±，即点E（0，8±）； 当DE＝BE或BD＝BE时， 同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68， 解得：y＝5或±， 即点E（0，5）或（0，±）； 综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）． 5．抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y'，新抛物线y'经过点C且与直线AC另一交点为点K，M为新抛物线y'上的一动点，当∠MKC＝∠ACB时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）过点Q作QD⊥y轴于点D． ∵A（﹣3，0），C（0，3） ∴OC＝OA，直线AC：y＝x+3， ∴∠ACO＝45°， 在Rt△CDQ中，∠ACO＝45°， ∴， ∴， 设P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3）， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣2时，有最大值为4，此时P（﹣2，3）； （3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣3x+3， 将抛物线沿射线AC方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则y'＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+3+m， 当x＝0时，y'＝﹣（0﹣m）2﹣2（0﹣m）+3+m＝0，则m＝3， 则y'＝﹣x2+4x+3， 联立上式和直线AC的表达式得：﹣x2+4x+3＝x+3，则x＝0（舍去）或3， 即点K（3，6）， 当点M在AC下方时， ∵∠MKC＝∠ACB，则MK∥BC， 则直线MK的表达式为：y＝﹣3（x﹣3）+6＝﹣3x+15， 当点M在AC上方时， 同理可得：直线MK的表达式为：y（x﹣3）+6x+7， 分别联立MK和新抛物线的表达式得：﹣x2+4x+3＝﹣3x+15或x+7＝﹣x2+4x+3 解得：x＝4或， 故M1（4，3），． 6．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，若EP＝EG，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中令x＝0，得y＝3， 即C（0，3），由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），则G（m，﹣m+3）， ∴PG＝﹣m2+3m， ∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∵PF∥CO， ∴∠PGE＝∠OCB＝45°， ∵EP＝EG， ∴∠EPG＝∠EGP＝45°， ∴△AFP是等腰直角三角形， ∴AF＝PF， ∴m+1＝﹣m2+2m+3， 解得m＝2，m＝﹣1（舍） ∴点P的坐标为（2，3）； （3）如图所示： 将直线BC向下平移n个单位所得直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣n， 当直线l过点A时，﹣1×（﹣1）+3﹣n＝0， 解得n＝4； 将抛物线y＝﹣x2+2x+3位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（﹣1＜x＜3）， 当直线y＝﹣x+3﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣3（﹣1＜x＜3）相切时， 令x2﹣2x﹣3＝﹣x+3﹣n， 整理得x2﹣x﹣6+n＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6+n）＝25﹣4n＝0， 解得n， 如图所示： ∴当4＜n时，直线l与新的图形有四个不同交点， ∴n的取值范围为4＜n． 7．已知，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，DE⊥BC于点E，DF∥y轴交BC于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+3沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，GP⊥y轴交新抛物线于点P，射线PO与新抛物线的另一交点为Q．当PO＝2OQ时，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），则OB＝OC，则△BCO为等腰直角三角形， ∴∠EDF＝∠BCO＝45°，则△EDF为等腰直角三角形， 则DE＝EFDF，则△EDF的周长＝（1）DF， 故当DF最大时，△DEF的周长最大， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（x，﹣x2+2x+3），则点F（x，﹣x+3）， 则EF＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1.5）2， 则x＝1.5时，DF最大，即△DEF的周长最大，此时，点D（，）； （3）设平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x2+2x+t，则点G（0，t），则点P（2，t）， 则直线OP的表达式为：yx， ∵PO＝2OQ， ∴Q（﹣1，）， ∴1﹣2+t， ∴t＝2， ∴Q（﹣1，﹣1）． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ⊥BC，交直线BC于点Q，过点Q作QM⊥y轴，交y轴于点M，点K为直线AC上一动点，当最大时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线BC方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接AE，CE，当∠AEC＝∠ACO时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过P作PE1⊥x轴交于E1交BC于F，延长MQ交PE1于G， ∴PE1∥y轴， ∴∠PFQ＝∠BCO， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3，OB＝4， ∴5， 在Rt△BOC 中，，， ∴sin∠PFQ，cos， ∴， ∴， 设直线BC的解析式为y＝kx+b1， 则有， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 设， ∴， ∴ ， ∴， ∵∠PQG+∠FQG＝90°，∠PFQ+∠FQG＝90°， ∴∠PQG＝∠PFQ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴MQ＝MG﹣QG ， ∴ ， ∵， 时，取最大值， 此时， ∴， 如图，过AA2⊥x轴，过P作PA2⊥AA2，过K作KH⊥x轴交于H，作KA1⊥AA2交于A1， ∴KH∥y轴，四边形AHKA1、A1KK1A2、AEPA2均是矩形， ∴△AHK∽△AOC，AH＝A1K，A2P＝AE＝3， ∴， 在Rt△AOC 中，， ∴ ∴， ∴， ∴PK+A1K， 如图， 当P、K、A1三点共线时，PK+A1K的值最小，此时PK+A1K＝A2P＝3， ∴的最小值为3； （3）∵， 该抛物线沿射线BC方向平移个单位， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度，， ∴平移后的对称轴为直线 ①当E在x轴上方时，如图，过E作EN⊥y轴交于N，过A作AT⊥x轴交EC于T，交EN于S， ∴AS∥ON，四边形ONEW、ASEW、AONS是矩形， ，， ∴∠ACO＝∠TAC，△EST﹣△ENC，，，EW＝ON， ∴， ∴， 设ET＝5n，则EC＝13n， ∴TC＝EC﹣ET＝8n， ∵∠AEC＝∠ACO， ∴∠AEC＝∠TAC， ∵∠ACE＝∠TCA， ∴△ACE∽△TCA， ∴， ∴TC•CE＝AC2＝13， ∴8n×13n＝13， 解得：，n2（舍去）， ∴EC， 设E（，c），EW＝c， ∴CN＝ON﹣OC＝c﹣3， 在Rt△ENC中，EN2+CN2＝EC2， 即（）2+（c﹣3）2＝（）2， 解得：c1，（舍去）， ∴； ②当E在x轴下方时，如图， 同理可求：EN2+CN2＝EC2， ∴， 解得：，c4（舍去）， ∴E（，）； 综上所述，E的坐标为（，）或（，）． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线经过点A，C，点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DM∥y轴交AC于点M，过点M作MN⊥y轴于点N． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为y轴上一动点，连接AP、DP，当DM+MN取得最大值时，求出此时点D的坐标及|AP﹣DP|的最大值； （3）如图2，点E的坐标为（﹣3，0），连接EC，BC，将抛物线沿射线EC方向平移个单位得到新抛物线，请问新抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵OC＝3， ∴C（0，﹣3）， ∵直线yx+b经过点C， ∴b＝﹣3， ∴直线AC的解析式为yx﹣3， 令y＝0，得x﹣3＝0， 解得：x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∵抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴交于点A， ∴16a﹣12a﹣3＝0， 解得：a， ∴抛物线的函数表达式为yx2x﹣3； （2）设D（m，m2m﹣3），则M（m，m﹣3），N（0，m﹣3）， ∴DM+MNm﹣3﹣（m2m﹣3）+（0﹣m）m2﹣4m（m）2， ∵0， ∴当m时，（DM+MN）取得最大值，此时，点D的坐标为（，）， 如图1，连接AD， ∵|AP﹣DP|≤AD， ∴当且仅当A、D、P三点共线时，|AP﹣DP|＝AD为最大值， ∵A（﹣4，0），D（，）， ∴AD， ∴|AP﹣DP|的最大值为； （3）∵yx2x﹣3（x）2， ∴原抛物线的顶点坐标为（，）， ∵E（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴OE＝OC＝3， ∴将抛物线沿射线EC方向平移2个单位相当于向右平移2个单位，向下平移2个单位， ∴平移后的新抛物线解析式为y（x2）22（x）2， ∴新抛物线的对称轴为直线x， 如图2，在y轴负半轴上取点F，连接BF，使∠FBO＝∠ACO，在y轴负半轴上取点G，连接EG交新抛物线的对称轴于点P，使∠CEG＝∠CBF，作点G关于直线CE的对称点H，连接EH交新抛物线的对称轴于点P′，连接GH交CE于K， ∵tan∠FBO＝tan∠ACO， ∴，即， ∴OF， ∴CF＝3， 在Rt△BFO中，BF， ∴BF＝CF， ∴∠CBF＝∠BCO， ∴∠CBA＝∠FBO+∠CBF＝∠ACO+∠BCO， ∵∠CBA＝∠ACO+∠PEC， ∴∠PEC＝∠BCO， ∴tan∠PEC＝tan∠BCO， ∵点G点与点H关于直线CE对称， ∴GH⊥CE，GK＝HK，∠HEC＝∠GEC， ∴∠GKC＝∠EKG＝90°， ∵∠OCE＝45°， ∴△CGK是等腰直角三角形， ∴GK＝CKCG， ∵CE＝3， ∴EK＝3CG， ∵tan∠PEC， ∴EK＝3GK， ∴3CG＝3CG， 解得：CG， ∴G（0，）， ∴直线EG的解析式为yx， 当x时，y， ∴P（，）； ∵点G点与点H关于直线CE对称， ∴H（，﹣3）， ∴直线EH的解析式为y＝﹣2x﹣6， 当x时，y＝﹣26＝﹣7， ∴P（，﹣7）； 综上所述，新抛物线的对称轴上存在点P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC，点P的坐标为（，）或（，﹣7）． 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，此时P的坐标为 　（2，3）　 ； （3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C、点B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由； （4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）， 则﹣5a＝5， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝2， 点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC交抛物线对称轴于点P，点P为所求点，理由： PA+PC＝PB+PC＝BC为最小， 由点B、C（0，5）的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5， 当x＝2时，y＝3， 即点P（2，3）， 故答案为：（2，3）； （3）能，理由： 当直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分时，即EF或DF， 设点D（m，﹣m2+4m+5），点E（m，﹣m+5）， 则﹣m+5（﹣m2+4m+5）或﹣m+5（﹣m2+4m+5）， 解得：m或， 则点D（，）或（，）； （4）设点M（2，m）， 由点M、B、C的坐标得，BC2＝50，BM2＝9+m2，CM2＝4+（m﹣5）2， 当BC是斜边时， 则50＝9+m2+4+（m﹣5）2， 解得：m＝6或﹣1， 即点M（2，6）或（2，﹣1）； 当MB或MC为斜边时，同理可得： 9+m2＝4+（m﹣5）2+50或4+（m﹣5）2＝50+9+m2， 解得：m＝7或﹣3， 即点M（2，7）或（2，﹣3）， 综上，点M的坐标为：（2，6）或（2，﹣1）或（2，7）或（2，﹣3）． 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段BC于点M，点D是直线BC上方抛物线上一点．当△MND∽△BPM时，求点N的坐标． （3）如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ，交线段BC于点E，交y轴于点F，令S＝S△BQE﹣S△CEF，求S的最大值． 【解答】解：（1）由题意得：x2x+2； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，2）， 由点B、C的坐标得：， 设点N（t，﹣t2t+2），则点M（t，t+2），点D（t，﹣t2t+2）， ∴． ∵PM∥OC，则△BOC∽△BPM， ∵△MND∽△BPM， ∴△MND∽△BOC， ∴MN：ND＝BO：OC，即， 解得：（舍去）或1或7（舍去）， ∴； （3）设点， 由点A、Q的坐标得，AQ的表达式为：y＝﹣（m﹣4）（x）， 则点F（0，2m）， 则 ， ∴当时，． 12．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）存在，理由： 点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点M，此时，△ACM的周长值最小， 理由：△ACM的周长＝AC+AM+CM＝AC+BM+CM＝AC+BC为最小， 由抛物线的表达式知，点C（0，﹣2），其对称轴为直线x， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2， 当x时，y＝x﹣2， 即点M（，）； （3）如图，∵PQ⊥x轴于Q， ∴∠PQA＝90°， ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PQ， ∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上， ∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2）， ∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|， ∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|， ∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2）， 即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1， 当m2﹣2m﹣3＝0时， 解得，m＝3或m＝﹣1（舍去）， 此时P（3，4）， 当m2＝1时， 解得，m＝1或m＝﹣1（舍去）， 此时P（1，﹣2）， 综上，点P的坐标为（3，4）或（1，2）． 13．如图，抛物线yx+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （2）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）①抛物线yx+4与坐标轴分别交于A，B，C三点， 当y＝0时，得：x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝3， 当x＝0时，得：y＝4， ∴A（﹣2，0），B（3，0），C（0，4）， ∴AB＝5； ∵CP∥x轴，C（0，4）， ∴， 解得x＝0或1， ∴P（1，4）， ∴CP＝1， ∵CP∥x轴， ∴； ②如图1，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， 设直线BC的解析式为y＝ax+4．把点B的坐标代入得： 3a+4＝0， 解得， ∴直线BC的解析式为． 设点P的横坐标为m， 则． ∴， ∵PQ∥AB， ∴， ∴当时，的最大值为． （2）存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°；理由如下： 假设存在点P使得∠BCO+2∠PCB＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M（8，0）； 设直线CM的解析式为：y＝kx+4，把点M的坐标代入得： 8k+4＝0， 解得， ∴直线CM的解析式为， 令， 解得或x＝0（不合题意，舍去）， ∴存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°；此时． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 把（6，0）代入得， 解得， ∴； （2）令x＝0，则y＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把（6，0）和（0，﹣6）代入得， 解得， ∴y＝x﹣6， 设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，如图， 则点F的坐标为（x，x﹣6）， ∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x， ∵PF∥y轴， ∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ， ∴△QPF∽△QOC， ∴， ∴当x＝3时，取得最大值为，这时点P的坐标为（3，﹣12）， 把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为（3，﹣8），连接GD， 则四边形DEPG是平行四边形， ∴DG＝PE， 即BD+PE＝BD+DG， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为（﹣1，0）， 连接AG，则BD+PE＝BD+DG的最小值为AG长， 即， 即BD+PE的最小值为； （3）∵AB＝AC＝6， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移个单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线y′， 即， 过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连接PM， 设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14）， 由平移得∠QPM＝45°， ∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB， 如图1， ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即， 解得a＝﹣5（舍去）或a＝2， ∴点N的坐标为（2，﹣12）； 如图2， ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即， 解得或（舍去）， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为（2，﹣12）或． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点A（2，0）和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，S△BOC＝2S△AOC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PO交BC于点D，连接PC，点M是直线PC上一动点，MN⊥x轴，垂足为N，连接DM，CN．当取最大值时，求DM+MN+CN的最小值； （3）在（2）的条件下，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点E，将抛物线沿射线BC方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接BF，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 【解答】解：（1）由A（2，0）得OA＝2， ∵S△BOC＝2S△AOC， ∴OB＝2OA＝4，则B（﹣4，0）， 由条件可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）由条件可知C（0，6），OC＝6， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+t， 则，解得， ∴直线BC的函数表达式为， 如图，过P作PH∥y轴交直线BC于H， 则△PDH∽△ODC， ∴，则当PH最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵，﹣4＜m＜0， ∴当m＝﹣2时，PH取得最大值，即取得最大值，此时P（﹣2，6）， 连接PC，则PC∥x轴， 由条件可知MN＝6， 如图，过D作DD′∥MN，且DD′＝MN＝6，连接D′N，D′C， ∴四边形DD′NM是平行四边形， ∴D′N＝DM， ∴DM+MN+CN＝D′N+CN+6≥CD′+6，当D′、N、C共线时取等号， ∴DM+MN+CN的最小值为D′C+6， 设直线OP的函数解析式为y＝k′x，则k＝﹣3， ∴直线OP的函数解析式为y＝﹣3x， 联立方程组， 解得， ∴，则， ∴， 故DM+MN+CN的最小值为； （3）如图，连接OP， 由（2）知，P（﹣2，6），直线BC的函数表达式为， 由条件可知BQ＝OQ＝2，，E（﹣2，3）， 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为：， ∵， ∴∠PBF＝∠BPO， 设直线BF与直线OP交点为M，M（n，﹣3n），则MB＝MP， ∴， 解得，则， 设直线BF的函数表达式为y＝px+q， 将B（﹣4，0），代入，得， 解得， ∴直线BF的函数表达式为， 联立方程组，整理得13x2﹣14x﹣108＝0， 解得， ∴满足条件的点F横坐标为． 16．如图，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝2． （1）求a的值； （2）若E是二次函数图象在第一象限内的一个动点，作EF⊥x轴于点F，AE与y轴交于点D． ①连接BD，BE，当时，求△BDE的面积； ②判断a•OF与CD的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：﹣2＝﹣5a，则a； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y（x2﹣4x﹣5）， 则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（5，0），则AB＝6， ①当时，则直线AE的表达式为：y（x+1），则点D（0，）， 联立上式和抛物线的表达式得：（x2﹣4x﹣5）（x+1）， 解得：x＝﹣1（舍去）或6，即点E（6，）， 则△BDE的面积＝S△ABE﹣S△ABDAB×（yE﹣yD）6×（）； ②a•OF＝CD，理由： 设点E（m，am2﹣4am﹣5a）， 由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y＝a（m﹣5）（x+1），则点D（0，a（m﹣5））， 则CD＝a（m﹣5）﹣（﹣5a）＝am， 而a•FO＝am＝CD． 17．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2， 设P（a，a2﹣2a﹣3）， ∴M（a，a﹣3）， ∴， 当时，， ∴， ∴△PBC面积的最大值为， ∴； （3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， y′的对称轴为x＝2． ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°， 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F， ∵D在y′的对称轴上， ∴FD＝2， ∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠DCF＝45°， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）； 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4， ∵D在y′的对称轴上， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， FD＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为， 依意得：， 解得：， 又∵DE＝BC， ∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或． 18．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3， ∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）在直线AC下方的抛物线上，存在一点N，使得△CAN的面积最大；理由如下： 设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0，得出x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∴S△ABCAB•OC4×3＝6， 如图1，作NE∥y轴交AC于E， 设点N（n，n2+2n﹣3）（﹣3＜n＜0），则E（n，﹣n﹣3）， ∴EN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n﹣3﹣n2﹣2n+3＝﹣n2﹣3n， ∴S△ACNEN•（xC﹣xA）（﹣n2﹣3n）×3， ∵a0， ∴当n时，S△ACN最大，为； （3）在线段AC上存在一点M，使△AOM和△ABC相似；理由如下： ∵∠OAM＝∠BAC， ∴当△AOM和△ABC相似有两种情形， ①当△BAC∽△OAM时，如图2， ∴∠AOM＝∠ABC， ∴OM∥BC， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（1，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3， ∴直线OM的解析式为y＝3x， 联立得：， 解得：， ∴M（，）； ②当△BAC∽△MAO时，如图3， ∴， ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）， ∴AB＝4，AO＝CO＝3，AC3， ∴AM2， 设M（t，﹣t﹣3）， ∴AM2＝（t+3）2+（﹣t﹣3）2， 解得：t＝﹣1或t＝﹣5（舍去）， ∴M（﹣1，﹣4）， 综上所述，M（，）或 M（﹣1，﹣2）． 19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，联结CD． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），把点A、点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，连接BC， ∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点， ∴AD＝BD， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵S△ACP＝2S△ACD， ∴S△ACP＝S△ABC， 此时，点P与点B重合，即P（﹣1，0）； ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 直线y＝kx+b1经过点A、C，把点A和点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过B（﹣1，0）点作PB∥AC交抛物线于点P， 则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②， 联立①②解得或， ∴P（4，﹣5）， ∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上；理由如下： 由（1）可知，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 把x＝1代入直线AC解析式y＝﹣x+3，得y＝﹣1+3＝2， ∴AC与抛物线对称轴的交点M（1，2），如图2： ∴， 又∵AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∴BM2+AM2＝AB2， 则△MAB是等腰直角三角形，符合题意， ∴M点即为所求Q点的一种情况； 当Q点在x轴下方时， 设Q为（1，m），m＜0， 线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，过A1作直线DQ的垂线于E点， ∴∠AQA1＝90°，∠ADQ＝∠QEA1＝90°， ∴∠AQD+∠A1QE＝90°，∠QA1E+∠A1QE＝90°， ∴∠QA1E＝∠AQD， 在△ADQ和△QEA1中， ， ∴△ADQ≌△QEA1（ASA）， ∴AD＝QE＝2，DQ＝EA1＝﹣m， ∴A1（1﹣m，m﹣2）， ∵点A1恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴m﹣2＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3， 解得m＝﹣3或m＝2（舍去）， ∴Q（1，﹣3）， 综上，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上；Q点坐标为（1，2）或（1，﹣3）． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段BC上方抛物线上的一动点，连接PC，PB，点M是y轴上一个动点，连接PM，BM，当△PCB 的面积取得最大值时，求PM+BM的最小值； （3）将原抛物线沿着CB方向平移，使得新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一个交点记为点E，与原抛物线的对称轴的交点记为点D．已知点N为新抛物线上的一点，且∠NED+∠BCO＝∠BED，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求其中一个点N的过程． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 过点P作PQ∥y轴交于Q点， 设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3）， ∴△PCB的面积3（﹣t2+2t+3+t﹣3）（t）2， 当t时，△PBC的面积最大，此时P（，）， 作B点关于y轴对称点B'，连接B'P交y轴于点M， ∵BM＝B'M， ∴PM+BM＝PM+B'M≥PB'， 当P、B'、M三点共线时，PM+BM的值最小， ∵B（3，0）， ∴B'（﹣3，0）， ∴PB'， ∴PM+BM的最小值为； （3）设抛物线向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+4﹣m， ∵抛物线经过点B， ∴0＝﹣（3﹣1﹣m）2+4﹣m， 解得m＝0（舍）或m＝3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+1； 当y＝0时，﹣（x﹣4）2+1＝0， 解得x＝5或x＝3， ∴E（5，0）， ∵原抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴D（1，﹣8）， 取F（0，﹣5），连接FE， ∴∠OEF＝45°， ∵OB＝OC＝3， ∴∠BCO＝45°， ∵∠NED+∠BCO＝∠BED， ∴∠NED+∠BCO＝∠NED+∠OEF＝∠BED， ∴∠NED＝∠FED， ∴N点在直线EF上， 直线EF的解析式为y＝x﹣5， 当x﹣5＝﹣（x﹣4）2+1时，解得x＝2或x＝5， ∴N（2，﹣3）； 作点F关于直线DE的对称点G，过点G作GH⊥x轴， 直线DE的解析式为y＝2x﹣10， 设直线DE与y轴的交点为M（0，﹣10）， ∵DE⊥FG， ∴∠FME+∠GFM＝90°， ∵∠HFG+∠FGH＝90°， ∴∠FGH＝∠FME， ∴△MEO∽△GFH， ∴， 设FM＝n，则HG＝2n， ∵EF＝EG＝5， ∴（5+n）2+（2n）2＝（5）2， 解得n＝2或n＝0（舍）， ∴G（4，﹣7）， ∴直线EG的解析式为y＝7x﹣35， 当7x﹣35＝﹣（x﹣4）2+1时， 解得x＝﹣4或x＝5， ∴N（﹣4，﹣63）； 综上所述：N点坐标为（2，﹣3）或（﹣4，﹣63）． 21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，点（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线AC下方抛物线上的一动点，D在y轴上方，且OD＝2OC，连接PD与AC交于点Q，点M是y轴上的动点，连接PA，PM，AM，PC．令△CDQ的面积为S1，△CPQ的面积为S2，当有最大值时，求P点坐标及此时△PAM周长的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线x轴方向平移，使得平移后的新抛物线经过点C，将直线AC绕点C逆时针旋转45°，得到直线CA'，K为新抛物线上的一点，连接OK，若线段OK被直线CA'平分，求点K的横坐标． 【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C， 当x＝0时，得：， ∴， ∴； ∵， ∴OB＝1， ∴B（1，0）； 把点B（1，0）及点（﹣2，﹣3）分别代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 当y＝0时，得：， 解得：x1＝﹣6，x2＝1， ∴A（﹣6，0）； 设直线AC的解析式y＝kx+p（k≠0），把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式； ∵， ∴； 如图1，过点P作PN∥y轴交直线AC于点N， 设，则点N的坐标为， ∴； ∵PN∥y轴， ∴△PNQ∽△DCQ， ∴； ∵， ∴， 当t＝﹣3时，取得最大值，此时， 即P（﹣3，﹣3）； 作点A关于y轴的对称点G，连接PG交y轴于点H，则GM＝AM，G（6，0）， 此时PM+AM＝PM+GM≥PG， 当M与点H重合时，PM+AM取得最小值，从而△PAM周长取得最小值； ∵，， ∴△PAM周长最小值为； （3）如图2，设AC绕点C逆时针旋转90°后的直线为DC，其中点D为点A的对应点，连接AD，取AD中点F，连接CF，过点D作DE⊥y轴于点E， ∵CA＝CD，AF＝DF，∠ACD＝90°， ∴， ∴直线CF就是直线AC绕点C逆时针旋转45°后的直线； ∵∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠DCE＝90°， ∴∠CAO＝∠DCE， 在△AOC和△CED中， ， ∴△AOC≌△CED（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线CF的解析式为y＝k1x+p1，将点C，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CF的解析式为； 设直线CF交线段OK于点T； 当时，解得：x1＝0，x2＝﹣5； ∵将抛物线沿射线x轴方向平移，使得平移后的新抛物线经过点C， ∴将抛物线沿射线x轴方向向右平移5个单位长度，平移后的新抛物线经过点C， ∴平移后抛物线的解析式， 即； 设K（m，n），其中， 由中点坐标得T点的坐标为； ∵点T在直线CF上， ∴，且， ∴5m2﹣37m+30＝0， 解得：， 则点K的横坐标为或． 22．如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标． （3）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（4，0）、C（0，6）， 则， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为yx2x+6； （2）∵yx2x+6， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵点A和点B（4，0）关于直线x＝1对称， ∴A（﹣2，0）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6， ∵C（0，6）， ∴OC＝6， ∴S△ABCAB•OC6×6＝18， 如图2，过点P作PE∥y轴交BC于点E， 设P（t，t2t+6），则E（t，t+6）， ∴PEt2+3t， ∴S△PBC＝S△PBE+S△PCEPE•（xB﹣xP）PE•（xP﹣xC）（t2+3t）×4＝﹣t2+6t， ∴S四边形ABPC＝S△PBC+S△ABC＝﹣t2+6t+18＝﹣（t﹣3）2+27， ∵﹣1＜0， ∴当t＝3时，S四边形ABPC有最大值，最大值为27． 此时，点P的坐标为（3，）； （3）由抛物线的表达式知，P（3，），B（4，0）， ∵点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点， ∴设M（m，0），N（n，n2n+6）， 当BP、MN为对角线时，BP与MN的中点重合， 则m+n＝3+4且n2n+6， 解得：m＝8或4（舍去）， ∴M（8，0）； 当BM、PN为对角线时，BM与PN的中点重合， 则m+4＝n+3且n2n+60， 解得：m＝±， ∴M（，0）或（，0）， 当BN、PM为对角线时，BN与PM的中点重合， 同理可得：M（0，0）； 综上所述，点M的坐标为（8，0）或（，0）或（，0）或（0，0）． 23．已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点． （1）求抛物线Q1的表达式； （2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标． 【解答】解：（1）由条件可得1+3+c＝0， 解得c＝﹣4， ∴y＝x2﹣3x﹣4； （2）在y＝x2﹣3x﹣4中标，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4）． 设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 由条件可得， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝x﹣4， ∵抛物线表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在y＝x﹣4中，当时，， ∴点D的坐标为， ∴． 如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E． 设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4）， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴当m＝2时，S四边形ACPD取最大值， 当m＝2时，y＝m2﹣3m﹣4＝﹣6， ∴四边形ACPD面积的最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣6）； （3）∵Q1：， ∴Q2：， ∴抛物线Q2的对称轴为直线x＝3， ∴点M的横坐标为3， 设， 由（2）得，P（2，﹣6）， 分以下三种情况讨论： ①当AP为▱AMPN的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴， 解得n＝﹣2， ∴， ∴； ②当AP为▱APMN的边，且AM为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴﹣1+3＝2+n， 解得n＝0， ∴，∴； ③当AP为▱APNM的边，且AN为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴﹣1+n＝2+3， 解得n＝6， ∴， ∴． 综上所述，点N的坐标为或或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（2，0），点B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线的表达式； （2）过点B作BN∥AC，交抛物线于点N，点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接NP交AC于点F．将线段OA沿x轴左右平移，线段OA的对应线段为线段O1A1．当四边形BCPF的面积最大时，求点P的坐标及PA1+CO1的最小值； （3）将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过点C，点Q在新抛物线上．在（2）中，当四边形BCPF的面积最大时，若∠ABP+90°＝∠OCA+∠QCA，求点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为：y； （2）如图1﹣1， ∵A（2，0），C（0，﹣1）， ∴直线AC的解析式为：y， ∵BN∥AC，B（﹣1，0）， ∴直线BN的解析式为：y， 由得， x1＝﹣1，x2＝3， 当x＝3时，y， ∴N（3，2）， 设P（m，）， ∴PN的解析式为：y， 由得， ， ∴F（）， ∴S△ABF， 作PG⊥AB，交AC于G， 则G（m，）， ∴GP＝（m， ∴S△PCF， ∴S△ABC， ∴S四边形BCPF＝S△ABC+S△PCF﹣S△ABF ， ∴当m时，S四边形BCPF 最大， 当m时，y， ∴P（）， 如图1﹣2， 作点C关于x轴的对称点E（0，1），交E向右平移2个单位至F（2，1），连接PF，交x轴于A1， 则PA1+CO1最小， ∵PF， ∴PA1+CO1的最小值为：； （3）如图2， ∵y沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过点C， ∴新抛物线的解析式为：y， 作PE⊥AB于E，交CQ于F，设BP交OC于G， ∵∠ABP+90°＝∠OCA+∠QCA，∠BPF＝∠ABP+∠BEP＝∠ABP+90°， ∴∠BPF＝∠OCF， ∵PF∥OC， ∴∠CGP+∠BPF＝180°， ∴∠OCF+∠CGP＝180°， ∴PG∥CF， ∵B（﹣1，0），P（）， ∴直线BP的解析式为：y， ∴CQ的解析式为：y， 由得， ， ∴Q（）， 作点Q关于AC的对称点Q′， ∴直线QQ′的解析式为：y＝﹣2x， 由得， ， ∴Q′（），即：（1，）， ∴直线CQ′的解析式为：y， 由得， ， ∴Q（）， 综上所述：Q（1，）或（）． 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上第一象限内的点，连接AC，CP，BP，当四边形ACPB的面积为18时，求此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接BC，过点P作PD⊥x轴于点D，交CB于点E，将直线CP沿射线CB方向平移，使得新直线经过点E．点M为新直线上的一个动点，当∠EBM+∠BPE＝∠CPE时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴y＝a（x+1）（x﹣4）， 当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， 将C点代入，﹣4a＝4， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）连接BC，过点P作PQ∥y轴交于Q， 设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∴4k+4＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 设P（t，﹣t2+3t+4），则Q（t，﹣t+4）， ∴PQ＝﹣t2+3t+4+t﹣3＝﹣t2+4t， ∴四边形ACPB的面积＝△ABC的面积+△BCP的面积（﹣t2+4t）＝10﹣2t2+8t＝18， 解得t＝2， ∴P（2，6）； （3）∵P（2，6）， ∴E（2，2），D（2，0）， ∴BD＝2，PD＝6，ED＝2， 过点C作CF⊥PD交于F点， ∴CF＝2，PF＝2， ∴∠CPE＝45°， 设直线CP的解析式为y＝k'x+4， ∴2k'+4＝6， 解得k'＝1， ∴y＝x+4， 设直线CP向右平移m个单位长度，则向下平移m个单位长度， ∴平移后的直线解析式为y＝x+4﹣2m， ∵平移后的直线经过E点， ∴6﹣2m＝2， 解得m＝2， ∴平移后的直线为y＝x， ∵DE＝BD， ∴∠DEB＝45°， ∵∠BPD+∠PBE＝45°，∠CPE＝45°， ∴∠BPD+∠PBE＝∠CPE， ∵∠EBM+∠BPE＝∠CPE， ∴M点在BP上， 设直线BP的解析式为y＝nx+c， ∴， 解得， ∴直线PB的解析式为y＝﹣3x+12， 当﹣3x+12＝x时，解得x＝3， ∴M（3，3）； ∵PC＝2，BC＝4，BP＝2， ∴BP2＝PC2+BC2， ∴△BPC是直角三角形，且∠BCP＝90°， ∴EM⊥BC， 点M关于直线BC的对称点在直线y＝x上， 此时对称点为（1，1）； 综上所述：M点坐标为（3，3）或（1，1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/30 12:33:58；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 第3页 共134页 ◎ 第4页 共134页 学科网（北京）股份有限公司 $