精品解析：北京市第五中学分校2025－2026学年上学期九年级开学考数学试题

北京五中分校2025~2026学年度第一学期第一次阶段性练习 初三数学 考生须知： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、单项选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果反比例函数的图象经过点P（﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（　　） A. y＝ B. y＝﹣ C. y＝x D. y＝﹣x 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 4. 如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A. B. C. 4 D. 7. 下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积随着边长的变化而变化 B. 圆的周长随着半径的变化而变化 C. 面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D. 矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 8. 如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 平分 D. 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，是反比例函数的图象上的一点，则_____________． 11. 请写出一个图象与直线y=x无交点的反比例函数的表达式：_____． 12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么的面积与的面积的比是___________． 13. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是：__________．（填“”、“”或“”） 14. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是______ 15. 如图，正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是_______________． 16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少________天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元． 三、解答题（共12道大题，其中第17题每问4分，第18-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为1，求m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 19. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． （1）求证： （2）若，，求的长． 20. 列方程解应用题．某小区在宽为22，长为30的矩形地面上铺560的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度 21. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角； （2）在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线． 22. 如图，在中，，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）． （1）点的坐标是___________，点的坐标是____________； （2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 26. 小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛A和蜡烛B），蜡烛A为圆柱形．同时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为t（单位：）时，小林分别记录了蜡烛A的剩余高度（单位：）和蜡烛B的剩余高度（单位：），部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 0 11.0 10.6 9.6 8.0 5.9 3.2 0 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系．如图，在给出的平面直角坐标系中，画出了与t的函数图象，并描出了与t对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 （结果保留小数点后一位）； ②当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为 （结果保留整数）． 27. 如图，正方形中，点分别在的延长线上且，连接，连接并延长交于点． （1）求的大小 （2）点在射线上，，连接，的角平分线交于点．依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且仅有2个公共点，那么称点P为图形W的“相关点”．已知点． （1）当时， ①在中，是折线的“相关点”的是_______； ②点M为直线上一点，如果M为折线的“相关点”，求点M横坐标的取值范围． （2）正方形的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标为，如果正方形的边长为2，正方形上任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京五中分校2025~2026学年度第一学期第一次阶段性练习 初三数学 考生须知： 1．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、单项选择题（共8道小题，每小题2分，共16分） 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如果反比例函数的图象经过点P（﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（　　） A. y＝ B. y＝﹣ C. y＝x D. y＝﹣x 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法即可得． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式为， 由题意，将点代入得：， 则这个反比例函数的表达式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 4. 如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据得出，然后直接代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得出． 5. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可． 【详解】解：记AC与BD的交点为， 菱形, 菱形的面积 菱形的面积 故选D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键． 7. 下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积随着边长的变化而变化 B. 圆的周长随着半径的变化而变化 C. 面积为20的三角形的一边，随着这边上的高的变化而变化 D. 矩形的一边长为，比它的邻边短2．矩形的周长随着边长的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的定义．先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A.，是二次函数； B.，是正比例函数； C.，是反比例函数； D.，是一次函数； 故选：B． 8. 如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知和旋转的性质可判断A项，进一步可判断C项；利用可证明，可得，根据三角形三边关系和等量代换即可判断D选项，容易证明是直角三角形，但是、不一定相等，所以、不一定相等，由此可判断B项，于是可得答案． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴，所以A正确，不符合题意； ∴， ∴平分，所以C正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 所以D正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， 但是、不一定相等，所以、不一定相等，所以B不正确，符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，是反比例函数的图象上的一点，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，理解反比例函数比例系数k的几何意义并熟练运用是解题关键． 根据反比例函数比例系数k的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵矩形的面积为2，是反比例函数的图象上的一点， ∴． 故答案为：2 11. 请写出一个图象与直线y=x无交点的反比例函数的表达式：_____． 【答案】y＝﹣（答案不唯一）． 【解析】 【分析】由直线y=x经过第一、三象限，且与反比例函数图象没有交点，则可求反比例函数的解析式. 【详解】∵直线y=x经过第一、三象限， ∴与直线y=x无交点的反比例函数的图象在第二、四象限， ∴与直线y=x无交点的反比例函数表达式为：y=- 故答案为y=-（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是关键． 12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么的面积与的面积的比是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为： 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是：__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案． 【详解】∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 因为点，点都在反比例函数的图像上，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题的关键． 14. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键会是综合应用这些知识解题． 15. 如图，正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交的延长线于H，连接，，证明，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于H，连接，， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少________天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元． 【答案】 ①. 86 ②. 38 【解析】 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算． （1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可； （2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可． 【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天， ∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要： （天）； 故答案为：86； （2）（天）， ∴至少需要将整个任务缩短6天， ∵B，E，F，G不可缩短， ∴工序最多可以缩短天， ∵天， ∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天， ∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为： （万元）， 故答案为：38． 三、解答题（共12道大题，其中第17题每问4分，第18-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 解得：． 18. 关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为1，求m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）m=1； （2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8 ∵（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+8＞0，即△＞0， ∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）代入x=1求出m值即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出此方程总有两个不相等的实数根． 【详解】解：（1）把x=1代入原方程得1+m+m-3=0  解得：m=1 （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是代入x=1求出m值，并牢记当△＞0时，方程有两个不相等的实数根． 19. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴． ∴． ∴ （2）5 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． （1）证明，根据等角对等边即可得到结论； （2）设，则．得到，．在中，由勾股定理，得，据此列方程并解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得．即． 20. 列方程解应用题．某小区在宽为22，长为30的矩形地面上铺560的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． 设道路的宽度为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． 21. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角； （2）在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线． 【答案】（1） 等腰直角即为所求： （2） 角平分线即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． （1）取格点D，使，即可解答； （2）取格点F，连接交网格线于点E，即可解答． 【小问1详解】 解：理由：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：理由：由作法得：， ∵， ∴， ∴平分． 22. 如图，在中，，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，即可求证． （2）根据菱形对角线互相平分可求出的长，再根据三角形的中位线定理，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 在中，∵，点分别是边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解： ∵四边形是菱形．，， ∴， ∵D、E分别是边的中点， ∴， ∵， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出函数得解析式为，函数得解析式为，当时，，得到需在当时，满足，求出；当时，，当时，，得到且，求出，推导出当，时，和恒成立，故符合题意，则m得取值范围为，即可解答． 【小问1详解】 解：把点和代入得： ，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：函数得解析式为，函数得解析式为， 当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴需在当时，满足，即， 当时，，当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴且， 解得， 当，时，和恒成立，故符合题意； 综上所述，m得取值范围为． 24. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到； （2）由勾股定理求得，得到，由得到，则，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）． （1）点的坐标是___________，点的坐标是____________； （2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质解答即可； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，如图，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由旋转作图可知，点的坐标为，点的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点重合，如图， ． 26. 小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛A和蜡烛B），蜡烛A为圆柱形．同时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为t（单位：）时，小林分别记录了蜡烛A的剩余高度（单位：）和蜡烛B的剩余高度（单位：），部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 0 11.0 10.6 9.6 8.0 5.9 3.2 0 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系．如图，在给出的平面直角坐标系中，画出了与t的函数图象，并描出了与t对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 （结果保留小数点后一位）； ②当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为 （结果保留整数）． 【答案】（1） （2） 根据表格描点如下， 随时间的增加，逐渐减小 （3）①；②燃烧时长约为或 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象获取信息，描点，连线绘制函数图象，理解表格系数，函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息求解； （2）运用描点连线作图，结合函数图象分析即可； （3）①根据函数图象判定即可；②根据函数图形判定即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每10分钟记录一次燃烧后剩余的高度，的变化情况是逐渐减少， ∴表格中空缺的数值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据图象得到，随时间的增加，逐渐减小； 【小问3详解】 解：①根据（2）中的函数图象可得，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为； ②根据图形可得，当时，， ∴当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为； 当时，， ∴当两支蜡烛的剩余高度的差为时，其燃烧时长约为； 综上所述，燃烧时长约为或． 27. 如图，正方形中，点分别在的延长线上且，连接，连接并延长交于点． （1）求的大小 （2）点在射线上，，连接，的角平分线交于点．依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 依题意补全图形如图2．数量关系：． 证明：过点作交的延长线于点，连接，如图． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵，平分， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先根据正方形的性质证明，等量代换即可得到答案； （2）补全图形，过点作交的延长线于点，连接，根据正方形的性质证明，由角平分线得到，进而证明，，即可求出与的数量关系． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点P与图形W给出如下定义：如果存在以点P为端点的一条射线与图形W有且仅有2个公共点，那么称点P为图形W的“相关点”．已知点． （1）当时， ①在中，是折线的“相关点”的是_______； ②点M为直线上一点，如果M为折线的“相关点”，求点M横坐标的取值范围． （2）正方形的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N的坐标为，如果正方形的边长为2，正方形上任意一点都是折线的“相关点”，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键． （1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解； ②根据题意画出，结合定义可知当与点重合时取得最小值，与直线相交时，取得最大值，进而即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式为，直线的解析式为，正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段外），当正方形有一点在或上时，根据点的坐标以及正方形的性质求得点的坐标，分别代入直线的解析式即可求得点的坐标，结合函数图像即可求解． 【小问1详解】 当时，， ①如图，在平面直角坐标系中描出点，，，，连接， 由图像可知，为折线的“相关点”； 故答案为： ②如图， 点M是直线上一点， 根据定义可知：点为折线的“相关点”， 当与点重合时，此时取得最小值，为， 当在直线上时，取得最大值， 设直线解析式为， ， 则， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得， 即的最大值为， ； 【小问2详解】 点，，． 设直线的解析式为，解析式为, 则，， 解得，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”； 正方形上的任意一点都不在所围成的锐角之内以及边上（除线段外）， 当正方形有一点在或上时，如图， 当点在上时，，正方形的边长为2， 则， 代入直线解析式，可得， 解得； 当点在上时，，正方形的边长为2， 则， 代入直线解析式，可得， 解得， 结合图像可知，当正方形上的任意一点都是折线的“相关点”，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $