重庆市第一中学校2026届高三上学期第一次数学周考试题

重庆一中高2026届高三第一次数学周考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，则 A． B． C． D．（］ 2．已知，则＂＂是＂且＂的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线，其渐近线方程为，则的离心率为 A． B． C．2 D． 4．已知函数，则的图象可能是 A． B． C． D． 5．已知函数，若直线与的图象分别交于两点，则的最小值为 A． B．2 C． D．1 6．由组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足3和4相邻，则这样的八位数有（ ）个。 A．432 B．257 C．216 D．504 7．已知是正实数，若函数的图象与的图象相切，则的最小值是 A． B． C． D．3 8．若函数满足，且，则的极大值是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．下列命题正确的是 A．若事件与事件相互独立，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大 D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型拟合效果越好 10．已知，则 A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．当时，有唯一解 B．都存在极值点 C．当时，若在上单调递减，则 D．当时，若有两个不同实根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数是____________（结果用数字作答）。 13．已知函数，则关于的不等式的解集为___________． 14．已知函数在上单调递增，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知. (1)已知为锐角，若，求； (2)若，求的值。 16．（15分）在减肥界，碳水化合物一直是个备受争议的角色.俗话说，减肥八分靠吃，两分靠动.而在吃上，“少吃碳水”被奉为圭臬，米饭､馒头､面条……这些传统主食，早已成了减肥人士眼中的洪水猛兽.相对应地，在谈及身边肥胖情况越来越普遍时，主食也就理所当然被归成了“罪魁祸首”.世界卫生组织的标准中，大于等于的成人属于肥胖人群.某健身机构为研究碳水化合物与肥胖是否有关联，在该机构的健身学员中随机抽取200名学生调查，列表如下： 肥胖 碳水 合计 不控制碳水摄入 控制碳水摄入 肥胖 40 60 不肥胖 合计 135 200 (1)完善列联表，根据概率值的独立性检验，分析不控制碳水摄入是否会增加变肥胖的风险； (2)以样本频率估计概率，从该健身机构肥胖的学员中随机抽取5名学生，用表示这5名学生中恰有名不控制碳水摄入的概率，求取最大值时的值. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题。已知，甲、乙答对每道题的概率分别为。假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响。 （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 18．（17分）椭圆的上顶点为，左右焦点分别为为坐标原点，为上动点，已知，且当垂直于长轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）若一条直线与椭圆交于不同两点，且直线斜率乘积为，直线垂直于点． （i）求动点的轨迹方程； （ii）已知为线段上靠近的四等分点，求面积的最大值． 19．（17分）已知函数． （1）讨论函数在定义域内的单调性； （2）若存在唯一一组实数，使得在上的值域为。 （i）求证：； （ii）求实数的取值范围． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三第一次周考 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 A B C B A D B B AC BD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 7．B【解析】设切点，则在点处切线为 所以 所以当且仅当时取等，故B正确． 8．B【解析】令，由题意得，所以，又，则，所以，则，又在上单调递增，上单调递减，所以的极大值为，故B正确。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．AC【解析】根据事件独立的定义可知A选项正确，而，所以B错．标准差衡量了一组数据与其平均数的偏离程度，标准差越大则数据越分散，离散程度越大，所以C对，对于D选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型拟合效果越差，所以D错。 10．BD【解析】令在R上单减，所以A错；对于B选项，要比较与的大小关系，等价于比较与的大小关系，而在上单调递增，所以B对。构造函数可知C错，，而，所以D对． 11．ABD【解析】当时，有唯一零点对，对于当时，，当时，，所以存在变号零点，B对．当时，恒成立，即，而在上单调递减，，所以C错． 当时，过原点的切线为，过的切线为，设直线与两切线交与两点，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．14 【解析】，令，则，所以的系数是． 13． 【解析】显然上单增，又，所以为奇函数．原不等式即为，即 等价于，所以原不等式的解集是． 14． 【解析】由题意函数在上单调递增，所以在上恒成立，则，所以．令，在上单调递减，上单调递增，则，所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：由于， （1），得，由， 因为为锐角，故，解得. （2）由于，所以，则，即， 解得，则 16．（15分） 【详解】（1） 肥胖 碳水 合计 不控制碳水摄入 控制碳水摄入 肥胖 40 60 100 不肥胖 25 75 100 合计 65 135 200 设：不控制碳水化合物摄入与肥胖无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为不控制碳水化合物摄入与肥胖有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05， （2）从肥胖的学员中任意抽取1名学生为不控制碳水的概率， 则. ， ， . 时，有最大值. 17．（15分） 解：（1）可能的取值为． 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 0 1 2 . （2）设甲乙获得纪念品的概率为，则 ， 而， , 当且仅当时取得最小值． 18．（17分） 解：（1）由题意，，所以，故的方程为 （2）（i）当斜率不存在时，设 由，又因为 所以，则矛盾 则可设，与椭圆联立有 由可得 则由有 所以，韦达定理代入有 ，所以或（舍） 所以直线过定点，则点在以为直径的圆上，其方程为 （ii）由（i）可得，正好为圆心，所以最大的高为， 因为 当时，有最大值，所以 19．（17分） 解：（1）记，定义域为 ①当即时，，所以在上单增 ②当时，因为，所以在上单增 ③当时，单增，单减 单增 （2）（i）用题，所以 记 单调递增，单调递减 又，则有 方法一： 要证，即证，因为，故只需证即 带入变形即证 记， ，因为， 所以在，所以，所以在单调递增，得证 方法二：先考虑证明，即是证，由于，故只需证即变形有记因为， 所以在单增，所以，则，又取＂＂，所以得证。 （ii）由，由，故有 因为，所以 易知在单调递增，所以，其中，则在且时有且仅有一解，记 （1）当时，，记，所以在单增，，所以在单增，，所以无零点，舍 （2）当时，，记， 所以在单调递减，在单调递增 因为，所以存在 使得增，减， 因为，所以 又 时所以存在唯一使得且 综上： 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $