24.2　直角三角形的性质课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第24章　解直角三角形 24.2　直角三角形的性质 问题1 什么是直角三角形？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角形． 直角三角形可表示为：Rt△ABC A C B 斜边 直角边 直角边 想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之间有什么关系？ 导入新课 观察与思考 （1）直角三角形的两个锐角_________； 互余 （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的 平方. 等于 下面我们探索直角三角形的其他性质 问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？ 1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？ ∠A＋∠B=90° 2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º ，那么△ABC是直角三角形吗？ 是 3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间 有什么关系？ AB2=AC2+BC2 A B C 讲授新课 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 一 问题引导 任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？ 我们来验证一下！ A B C D 探究归纳 直角三角形的性质之一 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 数学语言表述为： 在Rt△ABC中 ∵CD是斜边AB上的中线, ∴CD＝AD＝BD＝ AB. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) C B A D A B C ∟ D 【证明】 思路引导： 中线辅助线作法：将中线延长一倍. 延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE. E ∵ CD是斜边AB的中线， ∴ AD=BD. 又∵ DE=CD， ∴ 四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90⁰， ∴ ACBE是矩形， ∴ CE=AB. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：CD= AB. 例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：BC= AB. 证明： 作斜边上的中线CD， 则CD=AD=BD= AB （在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） ∵ ∠A=30° ∴ ∠B=60° ∴ △CDB是等边三角形， ∴ BC=BD= AB C B A D 对此，你能得出什么结论？ 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 二 我们学习了直角三角形哪些性质？ 性质1 直角三角形两个锐角互余 性质2 直角三角形的勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 性质4 直角三角形30⁰角所对直角边等于斜边的一半 课堂小结 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，E为AB上一点，连结DE，则下列结论中，不一定成立的是（　D　） A. ∠CAD＝30° B. AD＝BD C. BD＝2CD D. CD＝ED （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ 　70°　. （第2题） 70°　 3. （2023·荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC＝8，CD＝5，则DE＝ 　3　. （第3题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，上午8时，一艘轮船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.若以同样的速度继续向正北方向航行，则上午什么时间轮船与灯塔C的距离最短？ （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：过点C作CD⊥AN于点D. ∵ ∠NBC＝60°，∠BAC＝30°，∠NBC＝∠ACB＋∠BAC，∴ ∠ACB＝∠BAC＝30°.∴ BC＝AB＝（10－8）×15＝30（海里）.∵ ∠DCB＝90°－∠NBC＝30°， ∴ BD＝ BC＝ ×30＝15（海里）.∵ 15÷15＝1（时），10时＋1时＝11时，∴ 上午11时轮船与灯塔C的距离最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，与x轴的正半轴的夹角为30°，C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　B　） A. （ ， ） B. （ ，1） C. （2，1） D. （2， ） （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，F、E分别是AB、CD的中点.若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　B　） A. 12 B. 30 C. 27 D. 32 （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED的度数为 （　A　） A. 175° B. 145° C. 125° D. 190° （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连结OH. 若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的面积为 　64　. （第8题） 64　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至点F，使CF＝ BC，连结FE并延长，交AB于点M. 若BC＝a，则△FMB的周长为 　 a　. （第9题） a　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE. （1） 连结DE，求证：BD＝DE. 解：（1） ∵ CD是AB边上的高，∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°.∵ BE是AC边上的中线，∴ DE＝AE＝CE. ∵ BD＝CE，∴ BD＝DE. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若∠ABE＝25°，求∠BEC的度数. 解：（2） ∵ BD＝DE，∴ ∠DBE＝∠DEB＝25°. ∵ ∠ADE＝∠DBE＋∠DEB＝50°，DE＝AE，∴ ∠A＝∠ADE＝50°.∴ ∠BEC＝∠A＋∠ABE＝50°＋25°＝75°. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM、CE. 已知∠A＝50°，∠ACE＝30°. （1） 求证：CE＝CM. 解：（1） ∵ ∠ACB＝90°，M为边AB的中点， ∴ MC＝MA＝MB. ∴ ∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B. ∵ ∠A＝50°，∴ ∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°.∴ ∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.∵ ∠ACE＝30°，∴ ∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°.∴ ∠MEC＝∠EMC. ∴ CE＝CM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若AB＝4，求线段FC的长. 解：（2） ∵ AB＝4，∴ CE＝CM＝ AB＝2. ∵ EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴ EF＝ CE＝1.∴ 在Rt△EFC中，FC＝ ＝ ＝ . （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $