精品解析：海南省海口市海南中学2025-2026学年高三上学期第0次月考数学试题

海南中学2026届高三年级第0次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再利用并集的定义求解. 【详解】由，得，则，而， 所以. 故选：A 2. 已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和模的概念即可计算． 【详解】由，得 ， 则， 故选：D 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，，进而求离心率. 【详解】由椭圆的定义及题意，得，所以． 因为，所以，所以， 所以离心率． 故选：B． 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 5. 已知数列中，，，则（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式求出数列前几项的值，找出周期，进而求出 【详解】由于，且. 当时，；当时，；当时，.所以数列是周期为3的数列． 由于，因此． 故选：D. 6. 若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 7. 已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与的夹角为，根据向量夹角公式先求出，再求夹角即可. 【详解】则， 因为，所以，即与的夹角为. 故选：A. 8. 现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，由此得这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为2，再结合古典概型即可求解. 【详解】由题意可知，设平均数为，方差为， 则，则， 即， 整理得：， 显然最大的数不可能为5，若最大的数为4，剩余的四个数均为1， 此时，不合要求； 若最大的数为4，剩余的四个数分别为1，1，1，2， 此时，不合要求； 故该组数据中最大的数不可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2， 则这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为， 所以从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分． 9. 公比为的等比数列的前项和为，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断选项. 【详解】由已知等比数列的公比为，且， 则，解得，所以， 故选：AB 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式得，即可得，再利用余弦定理求，正弦定理求的外接圆直径，利用三角形面积公式求面积和内切圆半径. 【详解】由二倍角公式，可得， 因为，所以， 由余弦定理有， 解得，故A正确； 三角形的面积，故B正确； 的外接圆直径是，故C错误； 设内切圆半径为，结合B选项，三角形面积 ， 解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（ ） A. B. C. ，C的离心率为 D. 四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意作图，根据三角形全等以及平行四边形性质，可得其正误；对于B，联立圆的方程和渐近线方程，解得的坐标，可得其正误；对于C，根据渐近线的倾斜角的正切值，利用离心率的计算公式，可得其正误；对于D，由题意作图，根据面积组合以及三角形面积公式，可得其正误. 【详解】对于A，由题意可作图如下： 在与中，因为，，， 所以，则，，即， 所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 对于B，以为直径的圆的方程为， 联立，解得，又， 则，故B正确； 对于C，由，，则， 所以离心率，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 因为，，所以， 由图可知四边形的面积，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为___________________ （写出一个满足条件的的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解． 【详解】的图象向右平移个单位长度，得到， 得到的函数图象关于轴对称，则：，， 解得：，当时，． 故答案为：（答案不唯一） 14. 一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为______；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】记表示第次取到黑球，，根据已知条件结合全概率公式即可求解；根据已知条件利用样本空间法即可求解. 【详解】记表示第次取到黑球，， ； ，， ， . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为“AI达人”与性别无关； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，应用独立检验基本思想得结论； （2）应用分层抽烟的等比例性质确定男女人数，进而有X的所有可能取值为0，1，2，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设：“AI达人”与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此认为成立，因此认为“AI达人”与性别无关． 【小问2详解】 在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人，其中男“AI达人”抽取人，女“AI达人”抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2． 则，，． 所以，X的分布列如下： X 0 1 2 P X的数学期望． 16. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】（1）62； （2）71； （3）455. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. 【小问3详解】 由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 17. 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． （1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】（1）更适宜作为回归模型，理由见解析 （2）（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【解析】 【分析】（1）从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得，结合数据和公式求出剩余电量y与使用时间t的回归方程； （ⅱ）在（i）基础上，令得，故会报警提示. 【小问1详解】 更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； 【小问2详解】 （i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. 18. 系统中每个元件正常工作的概率均为，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记表示“系统中共有个元件时，系统正常工作的概率”. （1）若，求； （2）若，系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为，求的均值； （3）若，，证明：. 【答案】（1） （2）1 （3）证明：令， 则， 所以， 所以， 所以. 注解： . 【解析】 【分析】（1）当时，有3个或4个元件正常工作时系统正常工作，利用独立重复试验及互斥事件概率求和公式得解； （2）记正常工作的元件个数为，根据二项分布的期望公式及期望的性质求解； （3）由题意可得，将表达式中部分式子可转化为， 移项后由作差比较即判断二者大小，命题得证. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 记正常工作的元件个数为，则， 所以， 又因为， 所以. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． （1）求曲线的方程； （2）若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； （3）设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是，定值2304． 【解析】 【分析】（1）方法一：由题意上任意一点到直线的距离等于点到点的距离，然后由抛物线定义求解方程即可； 方法二：由题意，设点的坐标为，利用距离关系列式化简即可求解轨迹方程. （2）四边形的面积，根据点与圆的位置关系求得的最小值，即可得解. （3）设点的坐标为，则切线方程为，利用相切关系得关于的二次方程，设过点所作的两条切线的斜率分别为，根据韦达定理得，设点的纵坐标分别为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，同理可得，从而代入化简得. 【小问1详解】 方法一：由题意，到直线的距离比点到点的距离小1， 上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意，设点的坐标为， 由题意得，易知点位于直线的右侧， ，化简得，曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意得，的圆心为，半径， 又四边形的面积， 当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为， 四边形面积的最小值为． 【小问3详解】 当点在直线上运动时，设点的坐标为．又， 过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点，则切线方程为， 即，所以，整理得①. 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ． 联立得，③. 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ． 同理可得，⑤. 联立①③⑤三式，得 ， 当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2026届高三年级第0次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则为（    ） A. 2 B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知数列中，，，则（　　） A. 5 B. C. D. 6. 若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分． 9. 公比为的等比数列的前项和为，若，则（　　） A. B. C. D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的外接圆直径是 D. 内切圆半径是 11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（ ） A. B. C. ，C的离心率为 D. 四边形的面积为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为___________________ （写出一个满足条件的的值即可） 14. 一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为______；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 17. 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． （1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 18. 系统中每个元件正常工作的概率均为，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记表示“系统中共有个元件时，系统正常工作的概率”. （1）若，求； （2）若，系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为，求的均值； （3）若，，证明：. 19. 在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． （1）求曲线的方程； （2）若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； （3）设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $