精品解析：四川省成都成华区嘉祥外国语学校成华校区2024-2025学年上学期 八年级第9月考数学真卷

成都嘉祥外国语学校八年级第一次月考数学真卷 （满分：120分时间：120分钟） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2. 如图，点A(﹣2，1)到y轴的距离为（ ） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为点A的坐标为(﹣2，1)， ∴点A到y轴的距离为2． 故选C． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．掌握点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值是解题关键． 3. 已知和关于轴对称，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，根据关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而求出答案． 【详解】解：∵和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故选：B． 4. 若点在第二象限，则点所在象限应该是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用第二象限内点的坐标特征得出a，b的符号进而得出结果． 【详解】解：∵点M（a，b）在第二象限， ∴a＜0，b＞0， ∴b+1＞0，3-a＞0， ∴点N（b+1，3-a）所在象限应该是第一象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题关键． 5. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为3，则的值为（ ）． A. 5 B. C. 5或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解绝对值方程，由点到直线的距离为3，得，解方程即可． 【详解】解：因为到直线的距离为3， 所以， 解得或． 故选：C． 6. 如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 7. 对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】根据点在平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点解答即可，注意分情况讨论． 解：（1）当0＜x＜2时，x＞0，x2-2x=x（x-2）＜0，故点P在第四象限； （2）当x＞2时，x＞0，x2-2x=x（x-2）＞0，故点P在第一象限； （3）当x＜0时，x2-2x＞0，点P在第二象限． 故对任意实数x，点P可能在第一、二、四象限，一定不在第三象限， 故选C． 8. 在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为，与轴正方向的夹角为，则用表示点的极坐标，显然，点的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点的坐标为，，则其极坐标为[，]．若点的极坐标为，则点的坐标为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，则，， ∴， ， ∴点的坐标为，． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形以及解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 第二象限内的点P（x，y），满足｜x｜＝9，y2＝4，则点P的坐标是___________ 【答案】（9，2） 【解析】 【分析】点在第二象限内，那么其横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据所给的条件判断具体坐标． 【详解】解：∵点P（x，y）在第二象限， ∴x＜0，y＞0， 又∵|x|=9，y2=4， ∴x=9，y=2， ∴点P的坐标是（9，2）． 故答案为：（9，2）． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（，+）． 11. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，将△ABC翻折，是顶点A与顶点B重合，折痕为MH，已知AH＝2，则BC等于_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到HB=HA，根据三角形的外角的性质得到∠CHB=30°，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】由折叠的性质可知，HB＝HA＝2， ∴∠HAB＝∠HBA＝15°， ∴∠CHB＝30°， ∵∠C＝90°， ∴BC＝BH＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 12. 已知在中，，若，，则的面积是______． 【答案】##11平方厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键． 根据勾股定理可得，再根据完全平方公式求出，最后根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的面积为． 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形APQE的周长最小． 【详解】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形 ∴PA=FQ=GQ ∵E为CD边的中点 ∴DE=EC=2 ∴ ∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴， ∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP =+EQ+2+AP =+EQ+2+QG =+EG+2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出过程） 14. 计算． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、零次幂、负整数次幂、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用二次根式的性质、零次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用负整数次幂、绝对值、分母有理化、完全平方公式计算，然后再合并同类二次根式即可； （3）先运用完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的运算法则计算，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 15. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图即为所求： （2） 如图即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变化、平面直角坐标系、三角形的面积等知识点，根据轴对称的性质正确作图成为解题的关键． （1）根据A点、C点坐标确定原点位置，然后再画出坐标系即可； （2）先根据轴对称的性质确定A、B、C的对应点的位置，然后再顺次连接即可； （3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 16. 已知点P(a﹣2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【答案】（1）P(﹣6，0)；（2）P(1，14)；（3）P(﹣12，﹣12)或(﹣4，4)． 【解析】 【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案； （2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案； （3）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案． 【详解】解：（1）∵点P(a﹣2，2a+8)在x轴上， ∴2a+8＝0， 解得：a＝﹣4， 故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6， 则P(﹣6，0)； （2）∵点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3， 故2a+8＝14， 则P(1，14)； （3）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0， 解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2， 故当a＝﹣10时，a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12， 则P(﹣12，﹣12)； 故当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4，2a+8＝4， 则P(﹣4，4)． 综上所述：P(﹣12，﹣12)或(﹣4，4)． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质等知识，属于基础题，要熟练掌握点的坐标性质． 17. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M， 求：(1)线段CE的长度； (2)求点E到直线AC的距离． 【答案】（1）；（2）距离为 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质、折叠的性质得到EA=EC，根据勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）∵AD∥BC， ∴∠EAC=∠ACB， 由折叠的性质可知，∠ACE=∠ACB， ∴∠EAC=∠ACE， ∴EA=EC， 在Rt△EDC中，DE2+CD2=CE2，即（8-EC）2+62=CE2， 解得，； （2）设点E到直线AC的距离为h， 则, 由三角形的面积可知，×AE×CD= ×AC×h， 则． 【点睛】本题考查的是翻转变换、矩形的性质等知识，解题时注意折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 18. 如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E是的中点，在上取一点D，连接，点A关于的对称点恰好落在线段边上的点F处． （1）直接写出点E，F的坐标； （2）在线段上是否存在一点P，使为等腰三角形；若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M，N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，点E是的中点，利用矩形的性质即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得，，即可得到点F的坐标； （2）用平面坐标系中两点间的距离公式即可得出线段，再分三种情况用边相等建立方程求解即可得出结论； （3）E关于x轴的对称点，作点F关于y轴的对称点，连接，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接、、，此时四边形的周长最小，求出线段的长度，进而可得四边形的周长的最小值． 【小问1详解】 解：∵，，四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由（1）知，，， 设， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， ∴或（舍）， ∴； ③当时，， ∴或（舍）， ∴， 综上所述：满足条件的点P的坐标为或或； 【小问3详解】 解：存在点M，N，使得四边形的周长最小． 如图2， 作点E关于x轴的对称点，作点F关于y轴的对称点，连接，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接、、，此时四边形的周长最小， ∴，， 设直线的解析式为， 有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴M点的坐标为， 当时，， ∴N点的坐标为， ∵E与关于x轴对称，F与关于y轴对称， ∴，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即四边形的周长最小值是． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题． B卷（20分） 一、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 19. 已知，在平面直角坐标系中有，两点，若在轴上找一点，使的周长最小，此时的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称-最短路径问题、勾股定理、三角形三边关系等知识点，灵活运用轴对称的性质成为解题的关键． 如图：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则，，由三角形三边关系可得当共线时，最小为，即的周长最小，再运用勾股定理求得，最后根据三角形周长公式即可解答． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则， ∵， ∴当共线时，最小为，即的周长最小， ∴， ∴的最小值为=． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到第（1）个三角形、第（2）个三角形、第（3）个三角形、第（4）个三角形……，则第（2021）个三角形的直角顶点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，根据图形找到坐标的变化规律是解题的关键．观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商和余数的情况确定出第（2021）个三角形为第674循环组的第2个三角形，然后利用勾股定理列式求出的长，再根据图形写出第（2）个三角形的直角顶点的坐标，即可确定第（2021）个三角形的直角顶点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环，一个循环组旋转过的长度为， ∵， ∴第（2021）个三角形是第674个循环组的第2个三角形， 如图，第（2）个三角形，过作轴于，由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即第（2）个三角形的直角顶点的坐标是； ∴第（2021）个三角形的直角顶点的横坐标为，纵坐标为， 即第（2021）个三角形的直角顶点的坐标为， 故答案为：． 21. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【解析】 【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)， ∴OA=BC=10，OC=AB=4， 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； 如图所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=， ∴此时点P坐标为（3，4）； 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 二、解答题（本大题共1小题，共8分．解答应写出过程） 22. 已知四边形是正方形，等腰直角的直角顶点在直线上（不与点重合），，交射线于点． （1）当点在边上，点在边的延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，交边的延长线于点．） （2）当点在边的延长线上，点在边上时，如图②；当点在边的延长线上，点在边上时，如图③．请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1），（2）的条件下，若，，则 ． 【答案】（1）如图①，延长，交边的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）图②：，图③：； 当点在边的延长线上，点在边上时，与交于点，如图② ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 当点在边的延长线上，点在边上时，与交于点，如图③， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，得到，再证明，得到，即可得到； （2）同上题思路一样，证明，利用全等三角形的对应边相等把已知线段进行等量代换，图②和图③需要注意线段关系不一样； （3）按照（1）（2）图形，分3种情况讨论，结合结论分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图①， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴此情况不存在； 如图②，由（2）可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴； 如图③，由（2）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都嘉祥外国语学校八年级第一次月考数学真卷 （满分：120分时间：120分钟） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A(﹣2，1)到y轴的距离为（ ） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 3. 已知和关于轴对称，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 4. 若点在第二象限，则点所在象限应该是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为3，则的值为（ ）． A. 5 B. C. 5或 D. 或1 6. 如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为，与轴正方向的夹角为，则用表示点的极坐标，显然，点的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点的坐标为，，则其极坐标为[，]．若点的极坐标为，则点的坐标为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：______． 10. 第二象限内的点P（x，y），满足｜x｜＝9，y2＝4，则点P的坐标是___________ 11. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，将△ABC翻折，是顶点A与顶点B重合，折痕为MH，已知AH＝2，则BC等于_____． 12. 已知在中，，若，，则的面积是______． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出过程） 14. 计算． （1）； （2）； （3）． 15. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）求出的面积． 16. 已知点P(a﹣2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 17. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M， 求：(1)线段CE的长度； (2)求点E到直线AC的距离． 18. 如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知，，点E是的中点，在上取一点D，连接，点A关于的对称点恰好落在线段边上的点F处． （1）直接写出点E，F的坐标； （2）在线段上是否存在一点P，使为等腰三角形；若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M，N，使四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． B卷（20分） 一、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 19. 已知，在平面直角坐标系中有，两点，若在轴上找一点，使的周长最小，此时的周长是________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到第（1）个三角形、第（2）个三角形、第（3）个三角形、第（4）个三角形……，则第（2021）个三角形的直角顶点的坐标是________． 21. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 二、解答题（本大题共1小题，共8分．解答应写出过程） 22. 已知四边形是正方形，等腰直角的直角顶点在直线上（不与点重合），，交射线于点． （1）当点在边上，点在边的延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，交边的延长线于点．） （2）当点在边的延长线上，点在边上时，如图②；当点在边的延长线上，点在边上时，如图③．请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1），（2）的条件下，若，，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $