重难点01：勾股定理（10大类型+拔优特训）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

重难点01：勾股定理专题训练 导 航 类型1：利用勾股定理求线段的长……………………………………1 类型2：与勾股定理有关的面积问题…………………………………2类型3：与勾股定理有关的证明（含证明勾股定理）………………3 类型4：勾股定理与弦图问题…………………………………………6类型5：勾股数（树）问题……………………………………………8 类型6：直角三角形的判断……………………………………………9 类型7：利用勾股定理逆定理解决问题………………………………11 类型8：勾股定理与折叠问题…………………………………………14 类型9：利用勾股定理解决实际问题…………………………………16 类型10：利用勾股定理解决最短路径问题…………………………20拔 优 特 训……………………………………………………………23 类 型 类型1： 利用勾股定理求线段的长 1．如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F．若，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 3．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 4．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 5．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 类型2：与勾股定理有关的面积问题 1．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 3．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 4．已知，如图，，，，，， (1)求的长； (2)求图形中阴影部分的面积． 5．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积． 类型3：与勾股定理有关的证明（含证明勾股定理） 1．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 5．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 6．阅读理解： 我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明． 帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵， 即　　　 ∴． 7．勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（    ） A． 统计思想    B． 分类思想    C． 数形结合思想    D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 类型4：勾股定理与弦图问题 1．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 2．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 3．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 4．如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 5．将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 类型5：勾股数（树）问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 4．有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 5．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 6．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为 ． 7．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 类型6：直角三角形的判断 1．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，分别以它们为边长能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B． C．0.8，0.6，0.5 D． 3．若一个三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 5．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 6．如图，在边长为1的正方形网格图中有一个． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）． (2)是直角三角形吗？请说明理由． 7．如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 类型7：利用勾股定理逆定理解决问题 1．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 2．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 4．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 5．在三角形ABC中，，，．点D在直线AC上，且，则线段BD的长为 ． 6．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 7．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 8．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 9．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 类型8：勾股定理与折叠问题 1．如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 2．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，折痕为，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 3．如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 5．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 6．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 7．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 8．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 类型9：利用勾股定理解决实际问题 1．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 2．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 7．在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 8．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 9．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 10．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 类型10：利用勾股定理解决最短路径问题 1．一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（     ） A．17cm B．22cm C．13cm D．25cm 2．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　） A．8米 B．9米 C．1米 D．1米 3．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 4．如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸 ． 5．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 6．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 7．如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 8．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 9．如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为，高为．蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿的点爬到容器内壁离容器底部的点处（点与点A相对），求蚂蚁爬行的最短路程． 拔优特训 1．在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 2．下列四组线段中，可以首尾相接构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，12 3．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 4．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 5．如图，在中，，点、分别为和的中点，，，则（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 6．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 8．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中于点尺，尺．则的长度为（　　） 诗文： 波平如镜一湖面 半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里 突遭狂风吹一边 离开原处二尺远 花贴湖面象睡莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 10．如图，，，，，，取的中点，连接，则 ． 11．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 12．如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 13．周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ． 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 15．如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 16．一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 17．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． (1)求证： (2)如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积． 18．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 19．的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________； (2)设，，，试判断的形状并说明理由； (3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 20．如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若； (1)求证：平分； (2)求点D到直线的距离． 21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 22．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 23．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足时，求出此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求的值； (3)在运动过程中，求出当为何值时，是等腰三角形，请直接写出结果． 24．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 25．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01：勾股定理专题训练 导 航 类型1：利用勾股定理求线段的长……………………………………1 类型2：与勾股定理有关的面积问题…………………………………4 类型3：与勾股定理有关的证明（含证明勾股定理）………………7 类型4：勾股定理与弦图问题…………………………………………14 类型5：勾股数（树）问题……………………………………………17 类型6：直角三角形的判断……………………………………………22 类型7：利用勾股定理逆定理解决问题………………………………25 类型8：勾股定理与折叠问题…………………………………………31 类型9：利用勾股定理解决实际问题…………………………………39 类型10：利用勾股定理解决最短路径问题…………………………45 拔 优 特 训……………………………………………………………52 类 型 类型1： 利用勾股定理求线段的长 1．如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F．若，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【解析】解：如图，连结． ，，， ． 由作图步骤可知平分， ． 在和中， ∴ ∴，，． ， ． 设，则． 在中，，解得， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 【答案】C 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 4．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【解析】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 类型2：与勾股定理有关的面积问题 1．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 2．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴； 故选：B． 3．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【答案】B 【解析】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 4．已知，如图，，，，，， (1)求的长； (2)求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【解析】（1）解：在中，； （2）解：在中，， ． ∵， ． 5．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积． 【答案】 【解析】解：如图所示，∵正方形A，B的边长分别为12，16， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴正方形F的边长为20， 同理可得正方形G的边长为， ∴正方形E的边长为， ∴正方形E的面积为． 类型3：与勾股定理有关的证明（含证明勾股定理） 1．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 4．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ） A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【解析】解：甲得出的结果为：， 即，符合题意； 乙得出的结果为：，不符合题意； 故选：A． 5．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 6．阅读理解： 我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明． 帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵， 即　　　 ∴． 【答案】见解析 【解析】证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，， ∴． ∵， 即 ∴ ∴ 即 ∴． 7．勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（    ） A． 统计思想    B． 分类思想    C． 数形结合思想    D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 【答案】（1）见解析；（2）C；（3）见解析 【解析】解：（1）如图1所示，大正方形的边长为，则其面积为， 又由大正方形面积为四个全等的直角三角形的面积加上一个边长为c的正方形面积，即大正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，同理根据面积相等可得， ∴， ∴； （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （3）如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型4：勾股定理与弦图问题 1．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 2．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【答案】B 【解析】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 3．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【解析】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 4．如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C． 5．将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【解析】解：， 故选：C． 类型5：勾股数（树）问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【答案】C 【解析】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C．∵，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 3．下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【答案】D 【解析】解：A、，不符合勾股数的定义； B、0.3，0.4，0.5不是整数，不符合勾股数的定义； C、，，，，不符合勾股数的定义； D、，符合勾股数的定义； 故选：D． 4．有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图， 正方形的面积为， 由勾股定理得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A． 5．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解析】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 6．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为 ． 【答案】3 【解析】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，为“整弦数”，则c为正整数，不符合题意； ④∵，≠，且均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为（n为正整数）， ∵且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为，较大的正整数为， ∵ ， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． ∴正确的个数为3， 故答案为：3． 7．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【解析】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 类型6：直角三角形的判断 1．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，不符合题意； B．∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，不符合题意； C．∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，不符合题意； D．∵，即， ∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选D． 2．下列各组数中，分别以它们为边长能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B． C．0.8，0.6，0.5 D． 【答案】A 【解析】解：选项A，，，因为，所以能构成直角三角形． 选项B，，，因为，所以不能构成直角三角形． 选项C，，，因为，所以不能构成直角三角形． 选项D，，，因为，所以不能构成直角三角形． 故选：A． 3．若一个三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】解：∵一个三角形的三边满足， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 4．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 5．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【解析】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 6．如图，在边长为1的正方形网格图中有一个． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）． (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不是直角三角形．理由见解析 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：不是直角三角形．理由如下： 由勾股定理得，，， ， ， 不是直角三角形． 7．如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． (1)求的面积； (2)猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)是直角三角形，理由见解析 【解析】（1）， ， ． （2）是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 类型7：利用勾股定理逆定理解决问题 1．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【解析】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 3．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 4．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 5．在三角形ABC中，，，．点D在直线AC上，且，则线段BD的长为 ． 【答案】或20/20或 【解析】解：，， ， 是直角三角形，， 如图：当点D在AC的延长线上时，   ，， ， ； 如图：当点D在CA的延长线上时，   ，， ， ； 故答案为：或20． 6．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 【答案】的长为 【解析】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 7．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 8．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【解析】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 9．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【解析】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 类型8：勾股定理与折叠问题 1．如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 【答案】C 【解析】∵在长方形的长，宽， ∴，， ∵把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点D和B重合，设， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， 故选：C． 2．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，折痕为，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解析】解：根据折叠的性质可知，， 设，则， ， ， 解得：， ， ∴. 故选：A． 3．如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 4．如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】B 【解析】解：设与交于点H， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可知：， ∴HF=CF-CH=， 在△BCH中， =， 设，则=， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：B． 5．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 【答案】/0.8 【解析】， ， ， ， ， 将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ， 且， ，且， ， ， 故答案为：． 6．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【解析】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 7．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2） 【解析】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 8．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【解析】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 类型9：利用勾股定理解决实际问题 1．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    2．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 3．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 4．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 5．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 【答案】45 【解析】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 故答案为：45． 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线米 【解析】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 7．在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【解析】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 8．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【解析】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 9．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【解析】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 10．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】会受到影响，影响时间为4分钟 【解析】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴学校会受到影响． 设直线上点到点的距离为，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴受影响时间为（分钟）， 答：学校会受到影响，受4分钟影响． 类型10：利用勾股定理解决最短路径问题 1．一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（     ） A．17cm B．22cm C．13cm D．25cm 【答案】C 【解析】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 故选：C． 2．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　） A．8米 B．9米 C．1米 D．1米 【答案】C 【解析】解：因为两点之间线段最短，所以为从到C的最短距离， 根据题意得：米， 根据勾股定理，得，米． 故选：C． 3．如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ． 【答案】 【解析】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 4．如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸 ． 【答案】2 【解析】解：如图，将圆筒展开后成为一个矩形，整个油纸也随之分成相等4段只需求出长即可， 在中， ，， ， ， ∴最短需裁剪油纸． 故答案为：2． 5．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【解析】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 6．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【解析】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 7．如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3) 【解析】（1）解：如图所示： （2）解：依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：根据题意可知，侧面展开图中，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为． 8．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值千米 【解析】（1）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 如图点P即为所求，    （2）解：如（1）图，作的延长线于点， 则， ∵千米，千米，千米， ∴千米， 千米， 在中，， 千米， 的最小值千米． 9．如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为，高为．蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿的点爬到容器内壁离容器底部的点处（点与点A相对），求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】 【解析】解：容器侧面部分展开图如下，作点A关于的对称点，连接． 根据对称性质可知，则． 当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长． 容器高为，底面周长为， 所以， 所以， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程是． 拔优特训 1．在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 【答案】A 【解析】解：A、都不是整数，不符合勾股数定义，符合题意； B、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； C、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； D、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； 故选A． 2．下列四组线段中，可以首尾相接构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，12 【答案】C 【解析】解：A、，1，2，3不能构成三角形，故不符合题意； B、，2，3，4不能构成直角三角形，故不符合题意； C、， ，，能构成直角三角形，故符合题意； D、， ，，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 3．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【答案】C 【解析】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 4．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ） A．7 B．10 C．20 D．34 【答案】B 【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图， 由勾股定理可得， ∴正方形F的面积为， 同理可得正方形H的面积为， ∴正方形E的面积为． 故选：B． 5．如图，在中，，点、分别为和的中点，，，则（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】解：∵，分别为和的中点，，， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 故选：B． 6．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 7．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 【答案】C 【解析】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 8．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 9．表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中于点尺，尺．则的长度为（　　） 诗文： 波平如镜一湖面 半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里 突遭狂风吹一边 离开原处二尺远 花贴湖面象睡莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 【答案】B 【解析】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的长度为尺． 故选：B． 10．如图，，，，，，取的中点，连接，则 ． 【答案】 【解析】解：延长交于点，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 【答案】 【解析】解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 12．如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【答案】10 【解析】解：如图所示， ∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：10． 13．周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ． 【答案】3 【解析】解：等腰三角形，高，宽， ∴， 由勾股定理，得， ∴长方形的面积． 故答案为：3． 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 【答案】 【解析】解：连接．    为的垂直平分线， ． 在中，，，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． 的长为． 15．如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 【答案】3 【解析】解：设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形为长方形，∴． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故的长为3． 16．一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【解析】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米， 由勾股定理得，， 解得， 答：梯子顶端到地面的高度为米； （2）解：设底端将水平滑动米， 由题意得，， 解得， 答：底端将水平滑动米． 17．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． (1)求证： (2)如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵ 三角板是等腰直角三角板， ∴ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （）． （2）解：∵ 每块砖的厚度， ∴ ，． 由（1）知， ∴ ，， 在中，根据勾股定理， ∴ ． 18．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【解析】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 19．的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________； (2)设，，，试判断的形状并说明理由； (3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：①当，为直角边时： ， ； ②当为斜边时： ， ， 综上所述，或， 故答案为：或； （2）是直角三角形 理由： 是直角三角形 （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为， 是以为斜边的直角三角形， ， ，， ． 20．如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若； (1)求证：平分； (2)求点D到直线的距离． 【答案】(1)证明见解答 (2)3 【解析】（1）证明：中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是三角形的高线， ， ， ， 平分； （2）解：过点作于， 平分， ， 设点到直线的距离是， 则， 解得． 故点到直线的距离是3． 21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)受台风影响，理由见解析； (2)台风影响海港持续的时间为． 【解析】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以台风影响海港持续的时间为． 22．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)5880元 【解析】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为12米． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． （3）解：根据题意，得（元）． 23．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足时，求出此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求的值； (3)在运动过程中，求出当为何值时，是等腰三角形，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3)当x为或时，为等腰三角形 【解析】（1）解：∵中，，，， ∴， 由题意得：点在上时，，则， ， ， ， 解得：； （2）当点恰好在的角平分线上，作于点H， 又∵， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ， ， 解得：； 当点P在上时，不存在； 当点P在上时，是等腰三角形，有三种情况： ①若使， 则P点运动路程为， 故时，为等腰三角形； ②若，作于点D， ， ， 在中，， ， ∴P运动的路程为， 则，为等腰三角形； ③若， ， ， ， ， 此时P运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当x为或时，为等腰三角形． 24．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【解析】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 25．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $