安徽省部分学校2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题

姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x∈Rx2≤2x},则A∩B= A.{0} B.{0,2} C.[0,2] D.{0,1,2} 2.已知复数z满足(1-i)z=1+3i,则复数z的虚部为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.已知向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a=2,b=(sina,cos),则向量a,b的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知a=log32,b=log23,c=log46,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 曲线C:2y=1(a>0)过点P(2,),则双曲线C的 A.√2 B 6 2 c D. 6.将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为6，底面为直角三角形直角边 长分别为6m和8m,则该球的最大半径为 A.2m B.3m C.4m D.5m 7.已知函数f(x)=x3-3x2+2x,则下列说法错误的是 A.y=f(x+1)是奇函数 B.y=f(x)是偶函数 C.y=f(x)的图象关于x=1对称 D.y=f(x)+1的图象关于x=1对称 8.已知△ABC内角A,B,C的对边a,b,c成等比数列，2a+c=2 bcosC,若b=2,则△ABC的面积为 A.√2 B.√3 C.√6 D.2 【A-026】数学试卷第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知函数f代x)=2sin(ax+p)o>0,e<2)的部分图象如图，则 A.f(x)的最小值为-2 B.f(x)的最小正周期为π cr+)是奇函数 √2+√6 2 10.在正三棱台ABC-A,B1C1中，D,E分别为BC,AC的中点，则 A.AD⊥平面BCC1B, B.BC⊥平面ADA1 C.C,D∥平面ABB1A1 D.AB平面C,DE 11.已知函数f(x)=e'cosx在区间(0,2m)内有两个极值点x1,x2,且x1<x2,则 A.x+x2=T B.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减 C.f(x1)+fx2)>0 D.fx1)-fx2)|>e2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小 张、小明分配到A,B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率 为 13.已知抛物线y=ax2过点A(4,4),其焦点为F,则直线AF的方程为 14.已知直线l:y=kx+m与曲线y=】+lnx相切，则实数m的取值范围是 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知{an}是公差为2的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，满足b2=a1-1,b3=a2-1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式； (2)记{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若Sn=Tg,求n的值： 【A-026】数学试卷第2页（共4页） 16.(15分) 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注。某兴趣小组随机调查了某市100天中 每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量 [0,200] (200,400] (400,600] 优良 7 26 37 轻度污染 6 个 8 中度污染 7 3 0 (1)求空气质量优良的概率的估计值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次>400 合计 优良 污染 合计 (3)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气 质量有关？ n(ad-bc)2 =(a+b)(c+d)(a+e)(b+d)' PX2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17.(15分) 已知函数)号 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数g(x)=f(x)+lnx-x有三个极值点，求实数a的取值范围. 【A-026】数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2BC=√2AB=2,E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起至△PBE的位置，PC=1. (1)求证：平面PEC⊥平面ABCD; (2)求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值， 55- 19.（17分) 已知椭圆E。+1(o>b>0过点P,其离心率为)四动形ABCD的顶点均在椭圆E上 直线AB过E的左焦点F,对角线AC,BD交点为椭圆E的右焦点F2 (1)求椭圆E的方程； (2)若AB,CD的斜率存在且分别为k1,,求证：为定值； (3)过点P作PH LCD,垂足为H,求|PH的最大值 【A-026】数学试卷第4页（共4页）高三数学参考答案 题号 1 2 5 6 7 9 10 11 答案 D B C B D A D B ABC BD BD 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【解析】B={x∈R0≤x≤2}，A∩B={0,1,2},故选D 2【架所】长 =-1+2i,故选B 3.【解析】由已知得a=2d=1.a-b=-1,c0s(a,b)=故选C 4.【解析】由已知a=1og2<1,b=10g3>1,c=1og,6>1,又么-1oe93=3×2m2=e>1,故6> c log 6 In2 1n6 In6 c,所以a<c<b,故选B. 5.【解析】由已知得a=V2,c=√3，故e=6,所以选D 2 6.【解析】由已知得，底面直角三角形的斜边为10m,底面内切圆的半径为号×(6+8-10)=2，因为高度 为6m,故该球的最大半径为2m,所以选A 7.【解析】f(c)=c(x-1)(c-2),满足f(1+x)=-f1-c),所以y=f(c)图像关于(1,0)对称. 故y=f(x十1)是奇函数，y=fx)是偶函数，y=f(x川的图像关于x=1对称均正确，故选D, 8【解折】2a+c=2bo0 C.osC=-+,所以2心+c2-8=-ac,故cosB=号：b=冬，又ae= 2ab =4△1BC的面积为S=号acsin行=V3,故选B 3 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【解析】由图像可知f()的最小值为-2最小正周期为元，可求得f()=2sin(2红-否)，fc+受)= 2n2e是奇函数f号)=2sim(行若)=622，放选ABC 10.【解析】因为BC⊥AD,BC⊥AA,BC⊥平面ADA1,故B正确；AB∥DE,故AB∥平面CDE,故D正确 1业【解析】由o)=e(cos-sim)-0故=至=买，所以西+=号：由x∈（任，5平）回)< 0.所以f(回在区间)上单调递减f✉)=号。，f(a-兰e产，所以fa)+f)<0. 2 f(m,)-fm川=2(e+e)>2e>e2,故选BD 三.填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 卫【答案】片【解析】P=一专 C3A3-3 13.【答案】y=星+1【解析】由已知得a=},抛物线的方程为2=，所以0,1.直线AF的方程 为g=是知+1 14【答案】n2,十四)【解析】由记f)=上+1nfa)=士，设切点为（心六+lhn小则切线方程 为：g(+ln)=需-.故m=品-1+hw令g到-是-1+hmag国=2.ge在 m (0,2)递减，在(2，+∞)递增.因为g(x)min=ln2,故实数m的取值范围是[ln2,+o∞. 数学参考答案第1页（共4页） 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)由已知得a2=a1十2，b3=2b2,… …2分 又b2=a1-1,b3=a2-1,则a2=2a1-1, 解得a1=3,a2=5… …4分 所以数列{an}的通项公式am=2n十1，… …6分 又b2=a1-1=2 数列{bn}的通项公式bn=2n-1,…8分 》由已知得：S=3十2m十1n∈见视十2……10 2 由可知第=卡号-2-1-25 …12分 由Sn=T,所以n(n十2)=255，解得n=15… …13分 16.【解析】(1)该市一天的空气质量优良的天数7+26+37=70， 空气质量优良的既率的估计值为P-浪 =0.7.… …4分 2 空气质量 人次≤400 人次>400 合计 优良 33 37 70 污染 22 30 合计 55 45 100 …8分 (3)零假设为H:空气质量对公园锻炼人次无关， n(ad-be) 100(33×8-37×22)2 由列联表得到x2= ≈5.802>3.841 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 70×30×55×45 …13分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H不成立， 故根据小概率值α=0.05的独立性检验， 认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关…5分 17.【解析】(1fo)-号的定义域为(-o,0)U(0,+o,f"e)=z-1e …3分 m x2 当x>1时，f(x)>0;当x<1且D≠0时，f'(x)<0.…5分 所以f(x)在(1，十∞)上单调递增，在(-∞，0)和(0,1)上单调递减…6分 (2)g(c)=af(x)+lnx-c定义域为(0，+o∞)， d'(w)-a(+-l)e-+1_1=(z-1)(ae'-+) …8分 x2 2 当a≤0时，g'(x)=0,得c=1 此时函数f(x)只有一个极值点，不符合题意；…10分 当a>0时g田=oa1.(g由g)-0得a=1或fa-日 又9如)有三个极值点，放f)=日有两个不为1的零点 …13分 所以>f(1),即上>e,解得0<a<上故实数a的取值范围是(0，上 …15分 数学参考答案第2页（共4页） 18.【解析】(1)由已知得：∠EPB=∠ABC=90?,AD=2BC=√2AB=2, E为AD的中点，故BCLEC…2分 在△PBC中，BC=1,PC=1PB=AB=√2， 所以PC十BC2=PB2,所以BC⊥PC.…4分 又PC∩BC=C,所以故BC⊥平面PEC.… …… 6分 又BCC平面ABCD,所以平面PEC⊥平面ABCD·8分 (2)在△PEC中，PC=1,PE=AE=1,EC=AB=√2， 所以PC2+PE2=EC”,所以PE⊥PC 取C的中点O,连接OP,则OP⊥EC, 由(1)知，平面PC⊥平面ABCD, 故OP⊥平面ABCE… …10分 以OC,OP所在直线分别为y,z轴，建立空间直角坐标系，如图 则(0-20.c0,竖.oa(-1,2o.p1-号ora0竖〉 放d=1a0)PG=a号-号1bd=(-12.0 …12分 设平面PBC的法向量为m=(c,,2),m·B乙=0，m·P乙=0， 即负=0取m=1.) …14分 设平面PDC的法向量为n=(2,2,z2),则n·P℃=0，n·DC=0, 即/欧22=0 {-V2h=0取n=(2,11) 所以osm)微调受， …6分 设平面PBC与平面PDC夹角为U, 则cos6= 2 …l7分 19.【解析】山由已知得。之十=乙， 2’ …2分 即1是=方得答=是放。=4=3 、所以椭圆E的方程为子+等与1…………… …4分 (2)由(1)可得(-1,0)，(1,0) 设AB的方程为：x=my-1,k=1(m≠0)，A(,),B(2,)。 m 则x1=my-1,m2=m-1,3c2+4划=12 设AC方程为：=ny十1n=1,C(,y,DW y1 与椭圆方程联立得：(3m2+4)y2+6y-9=0, 9 所以= 9y 3 …6分 3m2+43(1-1)2+41 2c1-5' %‘2a5+1= 故=3必5因此购=%4一1.3 5m1-8 …8分 2x1-5 同理产器 3 ._5a2-8 Γ2c2-5 数学参考答案第3页（共4页） CD斜率为向=4一班= 32(2my-7)-3y1(2my2-7） -7-h-k x4-r3(5c2-8)(2c1-5)-(5m1-8)(2x2-5)3(c1-2) 故会=号 Γ7 …12分 3)由(2)知：CD的方程为y2,5= 341_75x1-8） 3mx-2m,-5 +)品爱号即g品。9) 所以直线CD过定点Q9,0…………l5分 因为PH1CD,由几何意义知：PH≤PQ=3,故1PH的最大值为3俪.…17分 14 14 数学参考答案第4页（共4页）