第22章《二次函数》章末练习题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章《二次函数》章末练习题-2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、选择题(共8题；共24分) 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．图象过原点 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．有最小值1 3．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表： x … -3 -2 -1 0 1 … y … -1 -4 -1 8 23 … 则方程 ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（　　） A．-3<t<-2 B．-2<t<-1 C．-1<t<0 D．0< t <1 4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 6．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动.过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，则对角线的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共6题；共18分) 9．将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为　 　． 10．已知小金同学掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小金同学本次投掷实心球的成绩为　 　米． 11．已知二次函数的图象如图，该函数在自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是　 　． 12．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是　 　． 13．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为． 14．如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于两点，则关于的不等式的解集为　 　． 三、解答题(共6题；共58分) 15．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 16．某超市购入一批进价为12元/盒的巧克力进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x … 20 22 24 … 销售量y … 40 36 32 … （1）求y与x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种巧克力日销售获得的最大利润为288元，求m的值． 17．如图，已知抛物线的顶点坐标是，与x轴的交点A的坐标是． （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （3）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集为______． 18．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为米，平行于墙的边BC为米，围成的矩形面积为S. （1）求S与的关系式. （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值. （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值. 19．如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于B，C两点. （1）求抛物线的解析式，并求出B，C两点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，求出点的坐标. 20．如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（2，0），C（0，4）两点，与x轴交于点B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标。 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：C 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵当x=0时，y=0+1=1≠0，故A不正确； ∵，∴对称轴是直线，顶点是(0，1)，故B正确，C错误； ∵-2＜0，∴抛物线开口向下，有最大值1，故D错误． 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：由所给表格可知，当 时， y取值为负， 当 时， y取值为正， 所以 的一个解的取值范围为： 故答案为：C. 【分析】根据所给表格，得出当 时， y取值为负， 当 时，y取值为正，据此可得出方程 的一个解的取值范围. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故答案为：D． 【分析】根据二次函数二次项系数大于0，可得出抛物线开口向上，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，再根据对称轴为x=1，即可得出。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵的图象与轴有两个交点， ∴当时，此时使得成立的的值有两个， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：． 【分析】根据二次函数图象与x轴交点与对应二次方程之间的关系即可求出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴， ∵次函数的图象经过一、三、四象限， ∴，， 对于二次函数的图象， ∵，开口向上，排除A、B选项； ∵，， ∴对称轴， ∴D选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据的开口方向可得出a＞0，根据一次函数的图象经过一，三，四象限可得出b＞0，c＜0，进而可得出答案。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，即取得最小值时，取得最小值， ∵点在抛物线上， ∴当点在抛物线的顶点时，点到轴的距离最小，此时轴， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴对角线的最小值为1， 故答案为：D． 【分析】根据矩形的性质得，即可得对角线的最小值为抛物线的顶点坐标的纵坐标的值，然后将抛物线解析式化为顶点式，据此即可求解. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间， ②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根， ③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴． ④错误． 综上所述，①③正确，共2个． 故答案为：B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点、二次函数的图象与性质结合题意对①②③④逐一判断即可求解。 9．【答案】 【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位后，得到新的抛物线， 新的抛物线的表达式是：． 故答案为：． 【分析】平面直角坐标系中图形的平移规律：上加下减、左加右减。 10．【答案】9 【解析】【解答】解：由题意可知，将代入，得： ， 解得（舍去）或， 小朱本次投掷实心球的成绩为9米， 故答案为：9． 【分析】 由于实心球落地时的高度，则解一元二次方程并根据实际情况对根进行取舍即可． 11．【答案】 【解析】【解答】解：由图可知，时， 该二次函数时，有最小值， 时，有最大值3． 故答案为：． 【分析】根据二次函数图象的最值问题并结合图象即可求解． 12．【答案】或 【解析】【解答】解：∵一次函数与二次函数的图象分别交于点，， ∴不等式成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的的取值即为不等式的解， ∴的取值范围是或， 故答案为：或 【分析】根据一次函数和二次函数的在坐标轴上的图像，然后再结合不等式，即可求解。 13．【答案】解：如图， ∵水面离桥顶的高度为， ∴点A、B的纵坐标为：， ∴当时，，解得， ∴点A、B的坐标分别为， ∴． ∴ 水面的宽度为16． 【解析】【分析】根据水面离桥顶的高度为得点A、B的纵坐标为：，从而得出点A、B的坐标分别为，进而求出水面的宽度为16． 14．【答案】或 【解析】【解答】由，得 ， ∴， 由图可知关于的不等式的解集为：或， ∴关于的不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【分析】 由，得，其实质是找抛物线在直线上方时对应的x的取值范围． 15．【答案】（1）解：∵二次函数的图象顶点坐标是， ∴设二次函数的表达式为， 将代入表达式，得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得二次函数的表达式为， ∴把代入表达式，得， ∴点在这条抛物线的图象上． 【解析】【分析】（1）根据二次函数顶点式，利用待定系数法进行求解； （2）将代入二次函数表达式得到此时的函数值，再与点坐标进行对比即可作出判断. （1）解：∵二次函数的图象顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：把代入，得， ∴点在这条抛物线的图象上． 16．【答案】（1）解：设，由题意得 ， 解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：设日销售利润为w元，由题意得， ∴当时，w有最大值392元． 即当销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元． （3）解：由题意得，当时， ，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w有最大值288元． ∴． 解得，． 当时，，每盒巧克力的利润， ∴不合题意，舍去． ∴． 【解析】【分析】 （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，则w是销售单价x的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则函数w有最大值，再求出这个最大值即可； （3）由于每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品，则单件利润减少m元，则日销售总利润w变为，由于二次项系数不变，则w仍然有最大值，利用二次函数的性质求出这个最大值即得到关于m的一元二次方程，再解这个方程并对根进行适当取舍即可. （1）解：设，由题意得 ， 解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：设日销售利润为w元，由题意得 ， ∴当时，w有最大值392元． 即当销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元． （3）解：由题意得， 当时， ，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w有最大值288元． ∴． 解得，． 当时，，每盒巧克力的利润， ∴不合题意，舍去． ∴． 17．【答案】（1） （2）解：∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是． （3）或 【解析】【解答】 （1） 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线为， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （3） 解：根据图象可得：的解集为或． 【分析】 （1）先由顶点坐标和抛物线的开口方向可得解析式为，则在对称轴的右侧y随x的增大而减小 ； （2）由抛物线的对称性可得A、B两点到对称轴的距离相等； （3）观察图象可得抛物线在x轴下方对应的自变量的取值范围． （1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线为， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （2）解：∵抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是． （3）解：根据图象可得：的解集为或． 18．【答案】（1）解：由题意， 2x+y=80， ∴y=-2x+80. 由0<-2x+80≤42， 且x >0， ∴19≤x<40. 由题意， S = AB·BC =x(-2x+80)， （2）解：由题意， 令 ∴x=15(舍去)或x =25. 答：当x = 25时，围成的矩形花圃的面积为750米2 （3）解：由题意，根据 又∵-2<0， 且19≤x<40， ∴当x =20时， S取最大值为800. 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2， 此时x的值为20 【解析】【分析】(1)依据题意， 2x+y=80， 从而y=-2x+80，再由0<-2x+80≤42， 且x > 0， 可得x的范围， 又S = AB·BC =x(-2x+80)，进而可以得解； (2)依据题意，令 解方程即可判断得解； (3)依据题意，根据 从而依据二次函数的性质即可判断得解. 19．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，代入点，解得， 抛物线的解析式为. 令，解得， . （2）解：由抛物线解析式知对称轴为直线， 根据与关于抛物线的对称轴直线对称，连接BE，与对称轴交于点，即为所求，设直线BE的解析式为， 将与代入得 解得 直线BE的解析式为， 将代入得，则. 【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，根据x轴上点的坐标特征令y=0，解方程即可求出答案. （2）由抛物线解析式知对称轴为直线，根据与关于抛物线的对称轴直线对称，连接BE，与对称轴交于点，即为所求，设直线BE的解析式为，根据待定系数法将点B，E坐标代入直线解析式可得直线BE的解析式为，再将x=-1代入解析式即可求出答案. 20．【答案】（1）解：∵抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1， ∴即 ∵抛物线经过A（2，0），C（0，4）两点，与x轴交于点B． 解得： ∴抛物线解析式为：， 令则 ∴ ∵直线y＝mx+n经过B，C两点， ∴ 解得： ∴直线解析式为： （2）解：设直线BC与对称轴的交点为M，则此时MA+MC的值最小， 把代入直线解析式， ∴点M的坐标为： （3）解：P（-1，5）（-1，-3）（-1，2+）（-1，2） 【解析】【解答】解：设∵ ∴ ①若点B为直角顶点，则 即 解得： ∴ ②若点C为直角顶点，则 即 解得： ∴ ③若点P为直角顶点，则 即 解得： ∴ 综上所述， P的坐标为：. 【分析】（1）将点B和点C的坐标代入直线解析式中，即可求出直线的解析式，将点A、点B和点C代入抛物线解析式中，即可求出抛物线的解析式； （2）设直线BC与对称轴的交点为M，根据三角形三边关系定理得到此时MA+MC的值最小，把代入直线解析式得到y，即可求出M的坐标； （3）设根据点A、点B和点C的坐标规律得到分三种情况讨论，①若点B为直角顶点，②若点C为直角顶点，③若点P为直角顶点，分别根据勾股定理列方程，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $