第一章 勾股定理 单元检测-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理单元检测-2025-2026学年北师大版八年级数学上册 一、选择题(共10题；共30分) 1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C． D．，， 2．如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合。若AB=6，AC=8，则折痕 DE 的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 3．如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（　　） A． B．5 C． D．6 4．如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（　　） A． B． C． D． 5．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．8 B． C． D．1 6．如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（　　） A．7 B．5 C． D． 7．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 9．如图，四边形中，，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（　　） A．6 B．9 C．11 D．12 10．在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形的边长为（　　） A．3 B． C． D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，AD⊥BC于D，∠ACB＝45°，则BC的长为　 　． 12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点，结果他在水中实际游了，则该河流的宽度为　 　m． 13．如图，将长方形ABCD的长AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，若，，则　 　． 14．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm． 15．如图，一块形如“”字形的铁皮，每个角都是直角，且，，则　 　． 16．如图，在中，，将沿翻折，使点与点重合若，，则的长为　 　 ． 17．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝　 　米. 18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米. 三、解答题(共6题；共46分) 19．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝3米，AD＝4米，CD＝13米，BC＝12米，又已知∠A＝90°，求这块四边形ABCD土地的面积． 20．如图，在中，是边BC的中点，是边AC的中点，连结AD，BE. （1）CD=8，CE=6，AB=20，求证：. （2）若，求的面积. 21．如图，一架25m长的梯子（AC）斜靠在与地面（OA）垂直的墙（OC）上，梯子底端离墙7m. （1）这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 22．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为。 （1）求，间的距离。 （2）这辆小汽车超速了吗?请说明理由。 23．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'． （1）求证：△ADE是直角三角形； （2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形． 24．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，求： （1）△ABC的面积； （2）AD的长； （3）△ACE和△ABE的周长的差． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A、∵，， ∴， ∴此三角形不是直角三角形，故A符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解： 由折叠的性质得到： 设 则 故答案为：B. 【分析】由勾股定理求出. 由折叠的性质得到 由勾股定理得到 求出 的值，即可得到 长，由勾股定理求出 长. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：延长到点F，使得，连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴=， 根据垂线段最短，的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 【分析】先证明直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，，从而有=，根据垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，利用勾股定理求得BC，再利用三角形面积求出即可． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，由题意可知，， 则蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：D． 【分析】将立体几何转化为平面几何，先将正方体展开图，再利用勾股定理求出AB的长即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 【分析】 观察图形知，连接AC后可构造两个直角三角形即和，再利用勾股定理分别求出斜边BC和AE，剩余线段可直观得到，再依次相加即可． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：连接，，，如图所示， 由，设， ，， ∵，，，， ∴，即， ∴为的角平分线， 又∵， ∴， ∴为的中线， ∵， ∴、、三点共线， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】连接，，，设， ，，先利用勾股定理求出，再结合，可得，求出，最后求出即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长=， ∴彩带长至少是， 故答案为：． 【分析】将圆柱表面切开展开呈长方形，可得圆柱高米，底面周长米，再利用勾股定理求出彩带长即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由翻折而成， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，则， 设，则， 在中，， 即， 解得． 故答案为：B． 【分析】根据图形折叠的性质，利用勾股定理列式计算即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接AC， ∵三个等腰直角三角形的面积分别为2，5，9， ∴三个等腰直角三角形的直角边长分别为=2，=，=， ∴AB==， BC==6， AD==， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴AC=， ∴CD==， 则第四块三角形的直角边为：=， 则第四块三角形的面积为：=12， 故答案为：D． 【分析】连接AC，根据三个等腰直角三角形的面积算出AB、BC、AD，再利用勾股定理算出CD的长，从而可计算第四个三角形的面积． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：八边形的面积为， ∴正方形②的边长为 ∴正方形②的面积为， ∵正方形①的面积为1， ∴四个全等的五边形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为=， 故答案为：B． 【分析】利用图形可求出八边形的面积，利用勾股定理可得到正方形②的边长，由此可得到正方形②的面积；利用正方形①的面积可求出四个全等的五边形的面积，然后求出大正方形的面积，即可求出大正方形ABCD的边长. 11．【答案】21 【解析】【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠ACB=45°，∴∠DAC=90°-∠ACB=45°， ∴AD=DC， 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，AC=9， ∴AD=CD=9， 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，AB=15， ∴BD=12， ∴BC=BD+DC=12+9=21， 故答案为：21. 【分析】由∠ACB=45°可得知△ADC是等腰直角三角形，利用用勾股定理可以求得AD、DC的长，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长，通过BC=BD+CD即可解答. 12．【答案】 【解析】【解答】解： 该河流的宽度为(m). 故答案为：. 【分析】 该河流的宽度为直角边长，利用勾股定理求解. 13．【答案】8 【解析】【解答】解：∵将长方形ABCD的长AD沿折痕AE折叠，， ∴AF=AD=10， 在Rt△ABF中，∠B=90°，AB=6， ∴， 故答案为：8. 【分析】利用折叠的性质可得AF=AD=10，再利用勾股定理求出BF的长即可. 14．【答案】15 【解析】【解答】 解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE=A′E，A′P=AP， ∴AP+PC=A′P+PC=A′C， ∵（cm），A′Q=12-4+4=12（cm）， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：（cm）， 故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm. 故答案为：15. 【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，根据两点之间相等最短可得AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 15．【答案】5 【解析】【解答】解：延长AH于K，使HK=GF，则三角形AKF为直角三角形 AK=4，KF=3，由勾股定理AF=5 故答案为：5. 【分析】延长AH于K，使HK=GF，则三角形AKF为直角三角形，再由 勾股定理求解即可。 16．【答案】 【解析】【解答】解：将沿翻折，使点与点重合， ， ，，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【分析】根据题意先求出AD=BD，再利用勾股定理求出AC=12，最后计算求解即可。 17．【答案】1 【解析】【解答】解：∵AB=5， BC=3， ∴AC=， ∵AD＝1， ∴CD=AC-AD=3， ∴CE=， ∴BE=CE-CB=米， 故答案为：1. 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算. 18．【答案】9 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB-AD＝15-6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9. 【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算. 19．【答案】解：如图，连接BD ∵∠A＝90°，AB＝3米，AD＝4米 ∴BD=米 在△DBC中，BD2+BC2=52+122=169米2 DC2=132=169米2 ∴BD2+BC2=DC2 ∴△DBC是直角三角形 ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=36米2 答：四边形ABCD面积为36平方米 【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，先求出BD的长，再证得△DBC是直角三角形，利用两个直角三角形的面积之和求出四边形的面积. 20．【答案】（1）证明：∵D是边BC的中点，是边AC的中点，8，， ， 是直角三角形，且； （2）解：是边AC的中点，， . 在Rt中，， ， ， 的面积. 【解析】【分析】（1）先根据中点的定义求出AC、BC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠C=90°； （2）先根据中点的定义求出AC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，由中点定义求出BC的长，最后根据直角三角形的面积计算公式列式计算可得答案. 21．【答案】（1）解：在Rt△AOC中，AC=25m，AO=7m， 所以CO==24（m）. 答：这架梯子的顶端距离地面有24m高。 （2）解：因为OD=CO-CD=24-4=20（m）， 在Rt△BOD中，BD=AC=25m， 所以BO==15（m） 所以AB=BO-AO=8（m）. 答：梯子的底端在水平方向滑动了8m。 【解析】【分析】(1) 在Rt△AOC中， 由题意易得AC=25m，OA=7m，接着根据勾股定理进行求解即可； (2)由 OD=CO-CD得OD=20m，在Rt△BOD中， 根据勾股定理可进行求解. 22．【答案】（1）解：在中，，，且为斜边， ， 答：，间的距离为； （2）解：这辆小汽车没有超速。 理由：，平均速度为：，， ， 这辆小汽车没有超速。 【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解； (2)由（1）知BC=80m，经过时间为8秒，即可求出其平均速度，进行比较判断。 23．【答案】（1）证明：根据题意得∠ADB＝∠ADB'，∠CDE＝∠C'DE， ∵∠ADB+∠ADB'+∠CDE+∠C'DE＝180°， ∴2∠ADB'+2∠C'DE＝180°， ∴∠ADB'+∠C'DE＝90°， 即∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形； （2）解：①当AD＝DC'时，设BD＝x， 得DC＝4-x， ∵DC'＝DC， ∴AD＝DC＝4-x， 在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2， ∴9+x2＝（4-x）2， ∴； ②当AD＝AC'时， ∵AB'⊥DC'， ∴B'是DC'的中点， ∵DC'＝DC， ∴， 设BD＝x，则DC＝4-x， ∴， ∵BD＝DB'， ∴， ∴， ∴当 或 时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形． 【解析】【分析】（1）由折叠的性质得：∠ADB＝∠ADB'，∠CDE＝∠C'DE，再利用平角的性质得到：∠ADB+∠ADB'+∠CDE+∠C'DE＝180°，然后再化简计算即可求解； （2）根据AD＝DC'和AD＝AC'两种情况进行分类讨论，①当AD＝DC'时，设BD＝x，得DC＝4-x，在Rt△ABC中根据勾股定理得到：AB2+BD2＝AD2，建立方程，解出方程即可求解；②当AD＝AC'时，可证得，然后设BD＝x，则DC＝4-x，， 再根据BD＝DB'建立方程求解即可. 24．【答案】（1）解：如图，∵△ABC是直角三角形， ∠BAC=90°， AB＝6cm， AC=8cm， ∴S△ABC＝AB•AC＝=24 cm2 （2）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， ∴S△ABC＝CB•AD＝ ×10×AD=24， ∴AD=4.8.， 即AD的长度为4.8cm； （3）解：∵AE为BC边上的中线， ∴BE＝CE， ∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm． 【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式计算即可； （2） 根据S△ABC＝CB•AD=24即可求解； （3） 由△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $