精品解析：四川省绵阳博美实验高级中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

2025-2026学年度博美实验高中高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只需要交回你的答题卡． 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是 A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 3. 关于的不等式的解集为，且，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 方程在下列哪个区间内有实数解（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，平面，，，，以点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（　　） A. 点的坐标为 B. C. 可能为 D. 6. 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（ ） A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108 8. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　） A. 每人都只安排到一个社区的不同方法数为625 B. 每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480 C. 每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D. 每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126 10. 已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的最小正周期为 C. 的值域为 D. 设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2 11. 如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成（平面），若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是（　　） A. 平面 B. 异面直线与所成角的正切值为 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 一定存在某个位置，使 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知向量，，则夹角的余弦值为_________． 13. 已知，，，则，，的大小关系为________． 14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，的内角，，的对边分别为，，，设，若__________，是否存在使得存在最大值？ 16. 已知椭圆：的离心率为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点. （1）求的值； （2）设为与的公共点，若，求与的标准方程. 17. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长． 18. 设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3），是否存在，使得曲线在点处的切线与至少有2个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 19. 已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. （3）若数列满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度博美实验高中高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只需要交回你的答题卡． 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合集合的交并补运算进行判断即可． 【详解】由于， 则，故A项错误， ，故B项正确， C项显然错误， ，故D项错误． 故选：B 2. 已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是 A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据复数运算求解出，从而得出，逐一分析选项，得出正确的答案. 【详解】解：因为复数， 所以， 由此可得，故选项A错误， 故， 所以，的虚部为，选项B正确， 在复平面内对应的点为，在第四象限，故选项C错误， ，故选项D错误， 故本题选B. 【点睛】本题考查了复数的定义、复数的运算、复数的模、复数的几何意义等知识，正确的运算、清晰的概念是解题的关键. 3. 关于的不等式的解集为，且，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出与为方程的两个根，根据韦达定理得出，，即可由，化简代入，即可解出的值，再根据不等式的运算验证即可得出答案. 【详解】不等式的解集为， 与为方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， 则，即，解得， ，， 当时，，即， ，则，满足条件， 当时，，即， ，则，不满足条件， 综上，， 故选：B. 4. 方程在下列哪个区间内有实数解（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 且，， 因此在内有零点， 故方程在内有实数解， 故选：B 5. 如图，在三棱锥中，平面，，，，以点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（　　） A. 点的坐标为 B. C. 可能为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标系，求点的坐标，再求平面的法向量，再结合选项判断. 【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 因为，，，所以， 则，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，所以，令， 所以平面法向量可能为， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 综上可知，只有C正确. 故选：C 6. 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形三边关系，求得的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围. 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为， ，，， 是以为底边的等腰三角形，若， 则，， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有，， 根据三角形三边关系可得，即， 所以， 根据离心率公式可得， 因为，所以， 则有， 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题. 7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（ ） A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108 【答案】C 【解析】 【分析】将所求数列之和，转化为杨辉三角每一行对应数之和，再结合杨辉三角每一行的和为，即可求得结果. 【详解】去除所有为1的项后，剩下的每一行的个数为， 对应个数构成一个首项为1公差为1的等差数列， 则前行数字个数之和为，当时，， 故该数列前56项和表示：杨辉三角中前12行数字之和，减去所有23个1， 再加上杨辉三角中第13行第二个数字12即可， 故所求数列的前项和为：. 故选：C. 8. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，转化条件为对任意恒成立，设，，求导后求得的最小值即可得解. 【详解】设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故选：D． 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　） A. 每人都只安排到一个社区的不同方法数为625 B. 每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480 C. 每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D. 每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，结合分类、分步计数原理，逐项分析计算，即可求解. 【详解】对于A中，若每人都只安排到一个社区， 由分步计数原理，可得不同方法数为种，所以A错误； 对于B中，若每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人， 先将5名老师分为4组，有种，则不同的安排方法数为种，所以B错误； 对于C中，每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人， 先将5名老师分成3组，人数可为或， 若人数为时，则有种不同的安排方法； 若人数为时，则有种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以C正确； 对于D中，每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区， 若社区安排两人，则有种不同的安排方法； 若社区只安排一人，则有种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的最小正周期为 C. 的值域为 D. 设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先利用函数的奇偶性的应用判定A的结论，利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期，进一步判断B的结论，利用函数的定义域求出函数的值域，进一步判定C的结论，利用函数的性质求出的范围，进一步判定D的结论. 【详解】解：对于A：由于函数，则根据函数的性质， 所以， 所以函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，故A错误； 对于B：由于， 则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C：当时，函数， 由于，故，故C正确； 对于D：函数为偶函数，所以为偶函数， 所以，故， 由于，所以，所以，即， 由于，， 所以，函数在上单调递减，故，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成（平面），若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法正确的是（　　） A. 平面 B. 异面直线与所成角的正切值为 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 一定存在某个位置，使 【答案】AC 【解析】 【分析】取中点F，利用线面平行的判定判断A；求出异面直线所成角的正切判断B；确定外接球球心及半径求出球的体积判断C；利用反证法，结合线面垂直的判定性质推理判断D. 【详解】对于A，取中点F，连接FM、EF，由M为的中点，得，且， 在矩形ABCD中，得E为AB中点，得且， 则，且，四边形BEFM为平行四边形，因此， 又平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由选项A得异面直线与所成角即为EF与所成角，即为， 在中，，则，B错误； 对于C，连接，由都是等腰直角三角形，， 得，因此是三棱锥外接球球心， 则其半径，球的体积为，C正确； 对于D，连接，若存在某个位置，使，而，平面， 则平面，又平面，于是， 由， ，得，则，又平面， 这与在平面内过点有且只有一条直线与垂直矛盾，因此不存在某个位置，使，D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知向量，，则夹角的余弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值 【详解】，，故 13. 已知，，，则，，的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据对数函数性质可以判定，，根据指数函数的单调性得出，进而做出大小判断． 【详解】，，， 又，所以． 故答案为：． 14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果． 【详解】由题意可知，令， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立； 由， 则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意； 当时，由得或 又因为且函数为奇函数， 所以可得，解得，则， 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，的内角，，的对边分别为，，，设，若__________，是否存在使得存在最大值？ 【答案】当时，取得取大值为 【解析】 【分析】若选择①，利用正弦定理化角为边可得，利用余弦定理可得，化简，结合，可得解； 若选择②，化切为弦，化简可得，，后续同①. 【详解】的内角，，的对边分别为，，， 若选择①: ， 则， 即， 由正弦定理可得， ∴， ∵，∴. 由， ， 已知，所以， 所以，∴， ∴，当， 即时，取得取大值为. 若选择②： ∵， ∴， ∴，∴. 在三角形中，， ∴，，所以， 所以，∴， ∴， 当， 即时，取得最大值为. 16. 已知椭圆：的离心率为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点. （1）求的值； （2）设为与的公共点，若，求与的标准方程. 【答案】（1）；（2）椭圆方程为，抛物线方程为. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，抛物线方程为，然后分别求出、即可； （2）联立椭圆和抛物线的方程求出点的坐标，然后由求出即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以设其方程为，， 令解得，所以， 又抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以设其方程为， 令解得，所以， 故. （2）由消去得：，解得或（舍）. 所以， 因为，所以. 即椭圆方程为，抛物线方程为. 【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题. 17. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，因为，， 平面，所以平面， 如图，建立以为原点，分别以，，的方向为 轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系， 可得，，，，， 设，则， 依题意得是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）利用线面角的向量求法求解即可. （3）利用二面角的向量求法建立方程，求解参数，得到线段长度即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意得，，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得． 设直线与平面所成角为， 故，得到， 即直线与平面所成角的大小为． 【小问3详解】 设为平面的法向量，， 则，即， 不妨令，可得， 设二面角为，故， 因为二面角的余弦值为，所以，解得， 经检验符合题意．所以，线段的长为． 18. 设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3），是否存在，使得曲线在点处的切线与至少有2个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在唯一实数. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形给定不等式，构造函数，借助奇函数性质求出时，恒成立的值范围. （3）利用导数求出曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨函数的零点个数即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为R，， 不等式（*）恒成立， 令，则，函数为奇函数， 显然，则由（*）可得，当时，恒成立， 求导得，， 当，即时，令，求导得则， 令，求导得， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，因此符合题意； 当时，，由函数图象连续不断，则存在，使得， 当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 因此当时，恒成立，可得， 由奇函数性质知，当时，恒成立，即时，恒成立， 故的取值范围为. 【小问3详解】 令函数，其定义域为，求导得， 则，曲线在点处的切线方程为， 即，整理得， 令函数，求导得， 由，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即；当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0， 函数所有的极小值为， 当时，极小值， 函数在R上的图象连续不断，因此在区间上的图象与轴有一个交点， 因此函数至少有2个零点， 所以对任意实数，曲线在点处的切线与至少有2个交点. 19. 已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. （3）若数列满足，求证：. 【答案】（1），； （2） （3）数列满足， 所以， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明数列是等差数列，即得数列的通项公式，求出即得数列的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和； （3）利用放缩法证明不等式即可. 【小问1详解】 数列满足，， 所以（常数）， 所以数列是等差数列， 故， 数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列． 所以，解得． 所以． 故，. 【小问2详解】 数列满足， 所以， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法的求和及放缩法的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $