第3章 幂、指数与对数（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

本讲义聚焦幂、指数与对数的核心知识体系，从基本运算规则到实际应用层层递进，构建起从概念理解到问题解决的学习支架。通过指数函数的性质、对数运算法则及韦达定理的应用，串联起代数变形、方程求解与模型建立的关键环节，帮助学生形成结构化认知。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”和“数学语言”的融合运用。例如第9题以研发经费增长为背景，引导学生用指数模型刻画现实变化，体现数学眼光；第15题辨析对数性质的正误，强化逻辑推理能力；第21题借助位数判断与近似值比较，培养学生用对数语言表达复杂数量关系的能力。课中便于教师开展情境教学，课后可作为查漏补缺的优质练习资源，助力学生深度学习与素养提升。

第3章 幂、指数与对数（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． ． 2．化简求值: . 3．关于的方程的解为 ． 4．已知，则 . 5．已知 ，则 . 6．已知，，若用、表示，则 ． 7． ． 8．已知，则用表示为 ． 9．某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是 （参考数据：，） 10．若正数a，b满足，则的最大值是 . 11．已知，，则的值为 . 12．已知，，，则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 14．已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 15．若，我们记，那么以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 16．设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知，求的值； （2）计算：. 18．求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 19．法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 20．（1）计算； （2）设，试用表示； （3）设是非零实数，，求的值. 21．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． ． 【答案】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】, 故答案为：. 2．化简求值: . 【答案】2 【分析】根据指数幂的运算性质计算即得. 【详解】. 故答案为：2 3．关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】把对数方程转化为分式方程来解，要注意检验根. 【详解】由，方程等价于 ，即， 即，该方程无解，所以原方程的解为. 故答案为：. 4．已知，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算公式,解对数方程,依据对数的性质求答案. 【详解】由题意得，，故. 故答案为: . 5．已知 ，则 . 【答案】/0.5 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 6．已知，，若用、表示，则 ． 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又，则，则 所以. 故答案为： 7． ． 【答案】 【分析】根据指数和对数运算公式，即可求解. 【详解】原式. 故答案为： 8．已知，则用表示为 ． 【答案】 【分析】由换底公式和对数的计算公式即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 9．某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是 （参考数据：，） 【答案】5 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以，所以． 因为，所以的最小值为5． 故答案为：5. 10．若正数a，b满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算即可得出答案. 【详解】因为对任意实数x，y都有，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故的最大值是． 故答案为：. 11．已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】两边平方得，进而求得，，代入即可求得的值. 【详解】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 12．已知，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由对数运算性质化简得，借助“”的代换由基本不等式求最值可得. 【详解】由可得，，即， 因为，， 由， 当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4. 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 14．已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解. 【详解】因为， ， 令， 所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 15．若，我们记，那么以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数式与指数式的等价转化，利用指数幂的运算公式，结合特殊值法举反例，可得答案. 【详解】对于A，设，则， 由，则，即，故A正确； 对于B，设，则，可得，故B正确； 对于C，设，则，即，可得，故C正确； 对于D，设，则，显然不成立，故D错误； 故选：D. 16．设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧得，解得，即可求得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当时，即或时，等号成立， 即，解得， 所以的最大值；最小值； 所以. 故选：C． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，结合完全平方公式，代入即可求解； （2）根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由，得， 由， 由于， 所以，故. （2） . 18．求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 19．法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用韦达定理求解即可.（2）利用换元法将对数方程转化为一元二次方程，再利用对数的运算法则以及完全平方公式来求解. 【详解】（1）设另一个根n，由韦达定理得，解得， 所以另一个实数根是1，实数m的值是2. （2）由α，β是方程的两个根， 得和是方程的两个根， 从而， 20．（1）计算； （2）设，试用表示； （3）设是非零实数，，求的值. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）根据对数的运算法则和性质即可求解； （2）利用换底公式及对数的运算化简即可求解； （3）根据式子的结构特征，求出，再由平方差公式计算即可. 【详解】（1） . （2）. （3）由，得， 所以. 所以 . 21．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【解析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【详解】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 【点睛】关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $