专题3.2 对数（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题3.2对数 教学目标 1.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 2.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 3．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点： ①理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． ②理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化． ③理解常用对数、自然对数的概念及记法. 教学难点： ①能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． ②会运用运算性质进行一些简单的化简与证明． 知识点01对数的概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数 ,记作 ,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 【即学即练】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点02 常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点03指数式与对数式的相互转化 当且， 【即学即练】若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 知识点04对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: 【即学即练】（    ） A．－5 B． C． D．5 知识点05对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练】计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 知识点06对数的换底公式 换底公式： （且，，，且） 特别的： 【即学即练】已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 题型01对数概念判断与求值 【典例1】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【变式3】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【变式4】 . 题型02指数式与对数式相互转化 【典例1】将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【变式1】将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【变式2】若，则 ． 【变式3】若，则 ． 【变式4】将下列指数式改为对数式： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 . 题型03对数运算 【典例1】已知，，试用，表示 ． 【变式1】已知，则的最小值为 . 【变式2】已知，，则用a、b表示 . 【变式3】实数，满足，则的最小值为 . 【变式4】方程的解 ． 题型04对数运算性质的应用 【典例1】若，，试用a，b表示 . 【变式1】设实数，若，则 . 【变式2】，则的值为 ． 【变式3】已知，，用a及b表示 ． 【变式4】 ． 题型05 换底公式的应用 【典例1】已知，，则 ． 【变式1】若，则 ． 【变式2】已知，，则 ． 【变式3】已知，则= ． 【变式4】已知，则 . 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型06对数方程求解 【典例1】已知，，若，则 . 【变式1】已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【变式2】若，则 ． 【变式3】已知正实数满足，则 ． 【变式4】求下列各式中的的值. (1)； (2). 题型07 有附加条件对数求值问题 【典例1】已知，则 ． 【变式1】已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【变式2】若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【变式3】已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 题型08对数的实际应用 【典例1】噪声污染问题越来越受到重视．声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝，定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40，声音超过70会有损神经，设声压级为40时对应的声波压强为，声压级为70时对应的声波压强为，则 ．（结果精确到0.1） 【变式1】在天文学中，恒星的视星等 是衡量其亮度的重要指标.根据标准定义，视星等 与到达地球的光通量满足关系：，其中 为常数.现观测一个双星系统，两颗相邻且无法分辨的恒星单颗视星等均为 5.0.若它们的总光通量为单颗光通量之和，则它们的视星等约为（   ）.（已知：） A．4.25 B．5.00 C．2.50 D．3.75 【变式2】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【变式3】“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【变式4】核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（    ） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1% 1．的值为 . 2．已知，则 ． 3．已知，则 . 4． ． 5． ． 6．计算： ． 7．若正实数m，n，t满足，且，则 . 8． . 9．，则用和表示的结果为 10．若，则 . 11．若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 12．在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 13．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 14．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2对数 教学目标 1.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 2.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 3．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点： ①理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． ②理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化． ③理解常用对数、自然对数的概念及记法. 教学难点： ①能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． ②会运用运算性质进行一些简单的化简与证明． 知识点01对数的概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 【即学即练】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 知识点02 常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点03指数式与对数式的相互转化 当且， 【即学即练】若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 知识点04对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 【即学即练】（    ） A．－5 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解. 【详解】. 故选：. 知识点05对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练】计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B. 知识点06对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练】已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 题型01对数概念判断与求值 【典例1】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 【变式1】若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2】，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 【变式3】若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式4】 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 题型02指数式与对数式相互转化 【典例1】将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 【变式1】将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 【变式2】若，则 ． 【答案】2 【分析】由对数和指数的互化求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 【变式3】若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化可得出的值. 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 【变式4】将下列指数式改为对数式： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的等价关系，即 【详解】解：(1) 利用互化公式可得，. (2) 利用互化公式可得， (3) 利用互化公式可得， (4) 利用互化公式可得，. 故答案为: ；；；. 【点睛】本题主要考查指数式与对数式互化公式的理解，考查基本运算求解能力. 题型03对数运算 【典例1】已知，，试用，表示 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故答案为：． 【变式1】已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质可知，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【变式2】已知，，则用a、b表示 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故答案为： 【变式3】实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为8， 故答案为：8. 【变式4】方程的解 ． 【答案】4 【分析】由对数的运算有,即，求解方程，再根据对数的真数大于,即可得出的解. 【详解】因为 所以 即, 解得或, 又因为对数的真数大于0,即, 所以. 故答案为：4 题型04对数运算性质的应用 【典例1】若，，试用a，b表示 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】， 因为，所以，所以. 故答案为：. 【变式1】设实数，若，则 . 【答案】 【分析】先根据对数的运算法则，将进行变形，再结合已知条件来求解. 【详解】根据对数运算法则，对于，所以. 已知，将其代入中，可得. 故答案为：14. 【变式2】，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据真数大于零可求得的取值范围，再由解方程即可求得结果. 【详解】因为， 所以可得，即， 两边同时除以得，即 解得或（舍）； 所以 故答案为： 【变式3】已知，，用a及b表示 ． 【答案】 【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解． 【详解】因为，所以，所以． 故答案为：． 【变式4】 ． 【答案】1 【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果. 【详解】计算： 根据对数的性质，，所以.代入指数表达式，. 计算： 利用对数的换底公式和幂的性质： ， 所以. 计算： 利用对数的减法法则和幂的性质： ， . 计算： . 把各部分结果代入原式： 故答案为：1. 题型05 换底公式的应用 【典例1】已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为，，可得，， 所以. 故答案为： 【变式1】若，则 ． 【答案】 【分析】指数式化为对数式，得到，利用换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】由题意得， . 故答案为： 【变式2】已知，，则 ． 【答案】1 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】因为，则，又， 所以， 故答案为：. 【变式3】已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 【变式4】已知，则 . 【答案】4 【分析】利用换底公式化简得到，令，求出，从而，解得. 【详解】，， ， 令，故，即，解得， 故，解得. 故答案为：4 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型06对数方程求解 【典例1】已知，，若，则 . 【答案】 【分析】利用对数运算的加法法则得到，再代入原式求解即可. 【详解】由对数运算的加法法则得， 因为，所以， 由对数函数性质得在上单调递增， 可得，即， 而 . 故答案为： 【变式1】已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案. 【详解】由已知得，整理得，得或． ，即， 则, 故选：B 【变式2】若，则 ． 【答案】15 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 【变式3】已知正实数满足，则 ． 【答案】15 【分析】由题意得，由此即可得解. 【详解】因为，则． 故答案为：15. 【变式4】求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 题型07 有附加条件对数求值问题 【典例1】已知，则 ． 【答案】5 【分析】先取对表达出m和n，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为，则， 因为，则， 所以. 故答案为：5. 【变式1】已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 【变式2】若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 【变式3】已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】设，则， 由得， 因此，故. 故选：D. 题型08对数的实际应用 【典例1】噪声污染问题越来越受到重视．声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝，定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40，声音超过70会有损神经，设声压级为40时对应的声波压强为，声压级为70时对应的声波压强为，则 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意可得，，再利用指对互化即可求出. 【详解】由题意可知，，， 则，，则. 故答案为： 【变式1】在天文学中，恒星的视星等 是衡量其亮度的重要指标.根据标准定义，视星等 与到达地球的光通量满足关系：，其中 为常数.现观测一个双星系统，两颗相邻且无法分辨的恒星单颗视星等均为 5.0.若它们的总光通量为单颗光通量之和，则它们的视星等约为（   ）.（已知：） A．4.25 B．5.00 C．2.50 D．3.75 【答案】A 【分析】视星等 与到达地球的光通量满足关系：.总光通量为各恒星光通量之和，运用对数运算性质进行化简求值. 【详解】设单颗光通量为，单颗视星等 ， 则由题意可得：① 总光通量为单颗光通量之和，总视星等满足： 即② 由①解得：代入②得： 故选：A. 【变式2】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：，. 于是， 所以. 故选：C. 【变式3】“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 【变式4】核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（    ） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1% 【答案】C 【分析】由题意得，化简后可求出的值. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以， 所以， 故选：C． 1．的值为 . 【答案】4 【分析】根据对数的乘法运算求解即可. 【详解】. 故答案为：4. 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故答案为：. 3．已知，则 . 【答案】1 【分析】利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则. 故答案为：1. 4． ． 【答案】/ 【分析】利用指对数的运算性质和换底公式，即可求解. 【详解】因为 ， 故答案为：. 5． ． 【答案】 【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得. 故答案为：. 6．计算： ． 【答案】 【分析】由指数、对数运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 7．若正实数m，n，t满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值. 【详解】已知，则， 根据换底公式可得，则， 变形得，解得. 故答案为：. 8． . 【答案】3 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由换底公式得 . 故答案为：3. 9．，则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 10．若，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则即可求得答案. 【详解】，，即，， 所以即，所以. 11．若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 12．在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，代入数据即可求解. 【详解】当， 则 . 故选：B 13．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 14．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案； （2）先得到，进而求出，求出答案； （3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案； （4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或． 【详解】（1）由，两边取常用对数得，则， 解得． （2）由，得，得，故方程的根是． （3）由真数大于0，得解得， 由原方程得， 所以， 所以，即， 整理得，解得或（舍去），故方程的根是． （4）由题意知且，令，易知，则， 整理得，解得或，所以或， 故或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $