数列大题专练——2026届高三数学一轮复习

2026高考一轮复习专题练习 数列大题专练 题型一、累加累乘或构造数列 1.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为在区间（）中的项的个数，求数列的前项和． 题型二、裂项消项 2.已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 3.已知数列的通项公式为，则 （1）求数列的前n项和； （2）若，求其前n项和. 题型三、数列的递推问题 4.在学校的一节体育课上,同班的甲、乙、丙三个同学玩传球游戏，现规定第1次由甲将球传出，且每次每人传球只能向其他两人之一任意传出,设和分别表示经次传球后球回到甲和非甲（非甲是指乙、丙两个同学）手里的传球方法种数. （1）试找出满足和的关系等式并求出数列的通项公式.； （2）若此时有（）的个人传球，第一次由开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿球者再传给其他任何一个人，如此继续，则第次球仍回到的手中的传球方法种数是多少？ 题型四、数列与圆锥曲线、数论等跨界联动题型 5.已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 6.已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 7.已知函数. （1）讨论函数极值点的个数； （2）当时，数列满足：.求证：的前项和满足. 题型五、数列的公共项问题 8.已知数列的前项和为，满足.等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)将数列满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和 题型六、数列的新定义问题 9.对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列. (1)已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及 (2)已知数列满足，对，且，恒成立. ⅰ求证：数列为二阶等差数列; ⅱ令，求证：数列的前n项和 题型七、数列的放缩与不等式证明 10.（1）求证：； （2）已知，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考一轮复习专题练习 数列大题专练 题型一、累加累乘或构造数列 1.记Sn为数列{an}的前n项和，已知a,=1, S 是公差为)的等差数列. (1)求{an}的通项公式： (2)记b.为(a}在区间(3”，3门(m∈N)中的项的个数，求数列{anb}的前m项和T.· 【答案】(1)am=n 3（-13 7.=+m2 (2) S=1 【解析】(1)由题意的4，所以a,J是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a。 当22EN计. 1,1.1 5-=a,-2+2a,-2a 作差得 an=n 化简得a=m-la,即an-1, an x da-1xx 92=n xx 2a=n 二x区二 a-a-2an-1n-21a"可得a=n, 当n=1时，a=1,符合题意， 所以an=n: (2)当m=1时，在3,3]中有整数32-3=6个，所以=6， 当meN时，在3,3门]中有整数3-3”=2x3个，所以.=2×3” 则0，b.=m×2×3”,T。=a,6+a,b+a,b+…+anbn=2x1x3+2x2x32+2x3x3°+…+2m3° 1 2026高考一轮复习专题练习 化简得7。=21×3+2×32+3×3+…+m.3”） 根据错位相消法得3江=21x3”+2×3+3×3++(m-13+m3） 作差得27。=23+32+3”++3”-m3）,解得 =m331-3-+m-3 =-+m- 1-32" 2 题型二、裂项消项 2.已知数列{a,}的前n项和为S,且S,=22 3+13 (1)求数列{an}的通项公式； 1 (②)设b,=1og,a,-10ga -,求数列{bn}的前n项和Tn; 份若数列c满足异++ C3+…+ C=-1+1,不等式(-1元<3-，对一切 3"+1 an n∈N恒成立，求2的取值范围. 【答案】(1)数列a}的通项公式为：4，=3” (2)数列b,}的前n项和为： (3)元的取值范围为： (39 a1=S= 313=3 【解析】(1)当n=1时， 22 an=Sn-Sa-1= 当n≥2时， 31-3”=3” 根据指数运算法则Q"+”=a·a“,31=3.3”,则2 当n=1时，4=3也满足0，=3”」 故数列a,}的通项公式为：a=3”」 1 起hig,a1og,a,由(1)可知0.=3，则og,a=be=, (2)已知 log,a41=l0g,31=n+1: 2 2026高考一轮复习专题练习 111 b.=m(n+l)-n n+l 所以 =a++-》传》+日 所以 故数列凸，}的前n项和为： n+1 9+9+ 3)2知32+，=-1+五 3”+1a,,由(1)可知0=3”，则 ① 9=_11-2 8 当m=1时，3+193+1 3,解得9= 3 当n≥2时，3+132+13+1 31+13+1 ② ①2相减得： 3”+1 所以” -8=21+ 当n=1时， 3)也满足 那么不等式(-)1<3-c。可化为 y<-2+-1 2 当n为偶教时，若()1<3-c恒成立，即 <1- 3”恒成立： y=1- 2 因为3”在n为偶数时单调递增，当n=2时取最小值， =127 39,所以9时， 不等式恒成立 <1-2 2 入> 一1 当n为奇数时，若 恒成立，即3恒成立： 2 1 1 因为3在n为奇数时单调遥减，当m=1时取求大值，)专1= y= -1 元>- 3所以3时， 不等式恒成立 17 故九的取值范围为： 3'9 sin1 3.已知数列{an}的通项公式为an=cosncosi+,则 2026高考一轮复习专题练习 (1)求数列{an}的前n项和； (2)若bm=n2,求其前n项和 【答案】(1)Sn=tan(n+1)-tan1; (2)Tn=动-an2。 【解析】 sin1 ai（H1m (1)an= cos ncos(n+1) co叶1)cosn =tann+1-tann,累加即得： f2”-2*) (2)bn= Sn2-1 sin2'cos21-sin2cos 1 an2”sin2ri= sin2"sin 2-1 sin 2"sin21 ta12-7- an2累加即 1 得. 题型三、数列的递推问题 4.在学校的一节体育课上，同班的甲、乙、丙三个同学玩传球游戏，现规定第1次由甲将球 传出，且每次每人传球只能向其他两人之一任意传出，设a和b,分别表示经n次传球后球回 到甲和非甲（非甲是指乙、丙两个同学）手里的传球方法种数， (1)试找出满足a,和bn的关系等式并求出数列{an}的通项公式.； (2)若此时有4，a2,…,an(n≥3)的n个人传球，第一次由a,开始传球，可传给其他任何 一个人，第二次由拿球者再传给其他任何一个人，如此继续，则第k次球仍回到，的手中 的传球方法种数是多少？ 【答案11)a,+-2"neN）=-号+eN) ②)=”-）+-1）·n-Dk∈N n 【解析】(1)因为a和b分别表示经”次传球后球回到甲和非甲手里的传球方法种数，每 次传球每人只能向其他两人之一任意传出，即表示每次传球均有2种方法，所以由分步乘法 计数原理知：n次传球共有2"种方法数，故a,+b,=2"(n∈N) 又国为每次非甲传给甲只有1种方法，即得01=么，所以0，+01=2”(m∈N）,且由题意 易知4=0 由02，可袋学分品+0 2026高考一轮复习专题练习 1 设2 ,比较式子①2的系数得2-=1 2ts、2 ,解得3 an 2 a122 1 所以数列2一 3是以2°33为首项，2为公比的等比数列， 所以发列a的道有公气为，=小-号行ae】 (2)由题意，设第k次球仍回到的手中的传球方法种数是a, 则4=0，a,=n-1,且4：=(a--a4, 两以a-r=ae-r门 所以8--r±CWa-山eN n 题型四、数列与圆锥曲线、数论等跨界联动题型 1 5.已知：数列a,的前n项和为S,a=2当n之2时a,+S,5=0. (1)求证： 数列 为等差数列； 1 (2)记[x表示不超过x的最大整数，bn=g 求数列{bn}前2025项和T2025· S. 【答案】(1)证明见解析 (2)4971 11 +1=0 【解析】(1)由a,+SS1=0,可得S,-S1+SS1=0,则S1S 1 e2否=。习所以5是首项为2，公差为1的等考数 即SnSn-1 (2)由(1)，S。 5 2026高考一轮复习专题练习 当1=10-1k=l2,3…小时，gn+=k，即[g(n+]=k, 所以么.=[g(n+]=k,则么=1，b,=2,bm=3, 当neN且n≠10-1(k=l,23小时，lgn+1不是整数， 所以当1≤n≤8时，b。=0,10≤n≤98时，b,=1,当100≤n≤998时，6.=2， 当1000≤n≤2025时，b=3, 所以T2025=1×90+2×900+3×1027=4971 6.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,在第一象限内的点A(x,)和第二象限内的点 B,(x,y都在抛物线C上，且直线A,B,过焦点F.按照如下方式依次构造点 A(n=2,3,):过点An1作抛物线C的切线与x轴交于点Dn1,过点D-1作x轴的垂线 与抛物线C相交于点An，设点A的坐标为xyn).用同样的方式构造点B,(n=2,3,), 设点Bn的坐标为x,y)。 (1)证明：数列xn},{x}都是等比数列； 2)记a,=6k,,求数列a,的前n项和S (3)证明：当n∈N时，直线AB,AB2,…,AnBn,…都过定点. 43n+4 【答案】(1)证明见解析 S.=99×49 (2) (3)证明见解析 1 y'=三X 【解析】(1)抛物线C的方程可化为’4，求导可得 2 1 将点A的坐标代入抛物线C的方程，有 =4 1 过点A,的切线的方程为 y-=2(x-x) yn= ,代入 ，有 121 y-4=2(x-x) 6 2026高考一轮复习专题练习 1xx-x 1 1 y=。xnX- 整理为 2 4 =2 ,令y=0,可得 ,有 1 故数列x,}是公比为2的等比教列， ( 1 同理，数列代)地是公比为豆的等比数列： (2)由焦点F(0,),设直线AB的方程为y=x+1, x2=4y 联立方程y=+l消去y后整理为2-4-4=0，有X=-4, 由数列x{是公比为2的等比数列，有 2n-1 4+…+ 有2工士23了 n-1,n 442+ 一 4+4 ++” =+2+3 两边乘以4，有4 42+43 4n 4n+1 1111 1 n 两式作差，有4 4,=4++年+年+…+ 4”4+1 n 4 1 447 43n+4 1- 有 4 ，可得 S.=9-9x4": 1x (3)由(2)知，点4的坐标为2’4 ,点B的坐标为 2’4 x 4 +x 4”4” =+= xX 2+1 21* 直线A,B的斜率为22 4 +x y 直钱4，B的方程为 4” 2026高考一轮复习专题练习 -+x 令x=0,有” 4” 故当n∈N时，直线AB,过定点 0) 2.已知函数f(x)=3nx+ar'-9 x+3. (1)讨论函数fx)极值点的个数； 2)当a=时，数列0满：4=，a1-fa+1.求证：a的前n攻和满足 2 2,01- 6a n<S。<n+2 【答案】(1)答案见解析 （2)证明见解析 【解新】(1)由f=3hr+ar9 +3 ,x>0 gf到=2a-9ar3-9x46 2 2x 当a=0时， 0,号. f"(x)=-9x+6 所以函鼓()有唯一极值点： 当a<0时，令f'(=0,即4ar2-9x+6=0, 由于△=81-96a>0,设方程4ax2-9x+6=0的两根为，2， 30 则 所以七<0<， 所以函数()有唯一板值点： 当a>0时，令f'(=0,即4ar2-9x+6=0, 27 0<a< 当△=81-96a>0,即 32时，设方程4ar2-9x+6=0的两根为1，x2, =a 9>0x,=2a 9 3 >0 2026高考一轮复习专题练习 所以函数()有两个极值，点： 27 当△=81-96a≤0，即“32时，方程4ar2-9x+6=0无解， 所以函教)无极值点 综上所选，当a≤0时，函数f()有唯一极值点： 27 <a< 当 32时，函数)有两个极值点： 27 当32时，函数)无极值点 -f=3hx+-9 (2)当-2时， 2 243 x>0 )2 则-+r-9r-9g+66x- 3 .21 （4 80 22x 2x 所以函数()在0，+0)上单调递增， 当x>1时，f(x)>f(1)=0 2,可得f(a)>0, a=fa+1>1 所以6 ,则f(a,>0, 可得a>1,所以S>n. 设8)=血-r+1,x>1,则 (x)=1-1<0 所以函数8)在山，+0)上单调递减， 所以8x)=血x-x+1<8)=0,则lnx<x-1, 13加号 8313a-+g-94+3 329 329 0n+1= +1< +1 所以 6a 6an 6an 9 2026高考一轮复习专题练习 323 =2-20 +1=+3 6an 44 -1<a,-l） 所以 4 a-1a-<…'a--2目 s1+份 所以 Sn≤n+ 综上所述， n<S.<n+3 题型五、数列的公共项问题 8己知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2(an-1).等差数列{b}满足b4=a2,b=43 (I)求{an},b}的通项公式： (2)将数列{an}满足am=3b+1的第m项am取出，并按原顺序组成一个新的数列{cn}，求 {cn}的前20项和T0 【s】00=2.6=n,a-4”- 3 【解析】(1)因为数列a,}满足S。=2(a,-①， 当m=1时，4=24，-刂，解得0=2： 当n≥2时，S=2a-1-)2，② ②-①得0.=2(a,-刂-2(a1-,即0，=2a1 an=2 因4=2，所以0>0，从而01， 10