精品解析：江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高三9月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 5. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点，且与轴相交于点，若，|，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角，满足，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足：为奇函数，，且对任意，都有，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ） A. 这8名女生的数学成绩的极差为14 B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C. 为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D. 这20名学生的数学成绩的方差是33 10. 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B. 直线与圆交于点A，B，若，则 C. 点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D. 过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 11. 已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 若为减函数，则 B. 若存在极值，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的图象的对称中心为_____． 13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为________． 14. 在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为__________；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下列联表： 调查结果 组别 不满意 满意 合计 高考生游客 80 120 200 中考生游客 130 70 200 合计 210 190 400 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关； （2）在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差. 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 17. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 19. 定义1：已知向量，我们把称为向量与的叉乘积，记作. 定义2：具有某种共同性质的所有曲线的集合叫做曲线系，曲线系通常用含有参数的方程来表示.例如：以定点为圆心的圆系可以记作. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆系，记椭圆的左，右顶点分别为，上顶点为，且. （1）求数列的通项公式； （2）为椭圆上的点，斜率为的直线交椭圆于两点. （i）若直线和的斜率均存在，求直线与的斜率之和； （ii）已知为坐标原点，直线与轴交于点，若.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三9月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A、B，再由并集计算即可. 【详解】， 所以. 故选：D 2. 若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解. 【详解】， 所以，且. 故选：B 3. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4. 已知，则的值为（ ） A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】两项中不存在，对于其余部分， 展开式中的系数为，展开式中的系数为，……，展开式中的系数为， 所以， 故选：B． 5. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点，且与轴相交于点，若，|，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，过点分别作作轴的垂线，利用相似三角形和推得得，结合焦半径公式代入可得答案. 【详解】如图，不妨设，则，， 则，（*） 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 易得， 因，故，即， 将（*）代入，可得，解得. 故选：D. 6. 在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出外接圆的半径，再根据三棱锥的特征找出球心与外接圆圆心的位置关系，进而求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出球的表面积. 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 7. 已知锐角，满足，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两角和差公式和同角三角函数的关系化简可得，然后令，利用基本不等式和正切函数的图象性质可得结果. 【详解】由题意得， 可得，，， 令，则，当且仅当，即时取等号， 又是锐角，则. 故选：B. 8. 已知定义在R上的函数满足：为奇函数，，且对任意，都有，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得、，根据有，结合、即可求解. 【详解】由题设，则， 所以，即关于对称，又，则， 由于，又任意都有， 所以， 由，故， 而，故，故. 综上，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据已知条件得到，结合对称性和递推关系求得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ） A. 这8名女生的数学成绩的极差为14 B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C. 为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D. 这20名学生的数学成绩的方差是33 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差定义判断A，根据百分位数定义即得判断B，应用方差性质及分层抽样的方差公式计算判断C，D. 【详解】12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73， 则这8名女生的数学成绩的极差为，A选项正确； 8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80，因为，则这8名女生的数学成绩的第25百分位数是，B选项正确； 12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，， 现在把这12名男生的成绩换算成150分制，则这12名男生数学成绩换算后的方差是，C选项错误； 因为这20名学生的数学成绩平均数，这20名学生的数学成绩的方差是，D选项正确； 故选：ABD. 10. 在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆O上恰有3个点到直线的距离为2，则 B. 直线与圆交于点A，B，若，则 C. 点P在直线上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D. 过点M的直线与圆交于A、B，若，则AB的长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知圆心到直线的距离为2，根据点到直线的距离公式求出的值，即可判断选项A；利用几何法，根据弦长和勾股定理即可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求出的值，即可判断选项B；设，根据题意先表示出切点弦的方程，确定直线过定点，求出，即为所求点到直线距离的最大值，即可判断选项C；利用直线的参数方程求弦长，即可判断选项D. 【详解】因为圆O上恰有3个点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为2，所以，解得或，故选项A正确； 因为直线与圆交于点A，B，且，所以圆心到直线的距离为：. 所以，解得，故选项B错误； 如图： 设，则（*）. 由切线性质可知：，，所以，，，四点共圆，为直径. 以为直径的圆的方程为：，即. 与圆相减得：，即两圆公共弦所在的直线方程为：. 将（*）代入可得：，即. 令，解得，即直线过定点. 所以点M到直线AB的距离的最大值为线段的长度（此时）， 因为，故选项C正确； 如图： 设直线的参数方程为：（为参数），将其代入圆的方程得： ，化简得：. 设，对应的参数分别为：，，则. 因为，所以，所以，即，所以. 又，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 若为减函数，则 B. 若存在极值，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导可得，当时，也为减函数，可得A错误；若存在极值可知存在“变号”零点，可得B正确；由可得，构造并判断单调性可得，C正确；由可得，易知，可得，构造函数并判断单调性即可求得，D正确. 【详解】因为，所以， 所以当时，为减函数，A错误． 若存在极值，则存在“变号”零点． 因为可得，所以，即，B正确． 若，则，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上是增函数， 所以，所以，C正确． 若，即．由，得，即， 所以，易知，所以． 设，． 设，所以在上单调递增， 结合，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 所以，所以，即，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：在求解参数取值范围时，往往根据已知条件得出变量之间的基本关系，通过构造函数得出函数单调性即可求得参数取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的图象的对称中心为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】由函数图象变换法则得函数的解析式，结合正切函数的性质列关系式求对称中心的横坐标，即可求解. 【详解】由题意可知：函数， 令，，解得，，所以函数的图象的对称中心为，. 故答案为：，. 13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 14. 在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为__________；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率. 【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到， 则，， 则； 设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 即，，且， 则， 即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 即， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式，进而分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下列联表： 调查结果 组别 不满意 满意 合计 高考生游客 80 120 200 中考生游客 130 70 200 合计 210 190 400 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关； （2）在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差. 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）满意情况与学生的组别有关 （2） 概率分布列为： ，. 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想即可判断； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望和方差的公式进行运算求解即可. 【小问1详解】 零假设为：满意情况与学生的组别无关. 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即满意情况与学生的组别有关，该推断犯错概率不超过； 【小问2详解】 根据分层抽样的性质可知： 选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 由题意可知：， ， ， ， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： ， . 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，结合利用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果； （2）由，利用三角形的面积公式化简可得，再结合角平分线定理可得，然后用余弦定理可求结果； 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以， 即， 可得， 整理可得， 因为在中，， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因为，AD平分， 所以， 由得， 即，整理可得，① 因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，② 由①②可得， 在中，由余弦定理可得 ， 解得. 17. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）． （3）存在，，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 略 18. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）的增区间为：和，减区间为：和， （3） 证明：由于， 所以 由于 ， 所以， 因为在上有三个不同的极值点， 所以在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根， 令（时，且，因为），方程转化为，设方程的根为，，， 则，化简可得：， 则，即， ，即， ，即， 所以. 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）分别求出和，即可求出切线方程； （2）由，可得，分别令，，，解出不等式即可求出单调区间； （3）由，可得，将在上有三个不同的极值点转化为在上有三个不同的根，令（时，且，因为），方程转化为， 设方程的根为，，，由三次方程根与系数关系即可求解. 【小问1详解】 由题可得，所以， 所以切线的斜率为0，由于， 则函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 由于， 所以， 当，令，解得，，， 则令，解得：，或， 令，解得：，或， 所以的增区间为：和，减区间为：和； 【小问3详解】 略 19. 定义1：已知向量，我们把称为向量与的叉乘积，记作. 定义2：具有某种共同性质的所有曲线的集合叫做曲线系，曲线系通常用含有参数的方程来表示.例如：以定点为圆心的圆系可以记作. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆系，记椭圆的左，右顶点分别为，上顶点为，且. （1）求数列的通项公式； （2）为椭圆上的点，斜率为的直线交椭圆于两点. （i）若直线和的斜率均存在，求直线与的斜率之和； （ii）已知为坐标原点，直线与轴交于点，若.证明：. 【答案】（1） （2）（i）0； （ii）证明：由（i）可知，所以， ， 因为，所以， 整理得，解得， 因为直线与轴交于点，所以，即； 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得数列的递推关系，根据可得首项，结合等比数列的通项公式可得答案； （2）（i）联立方程，写出韦达定理，结合斜率和的表达式进行化简，最终可得斜率和为0； （ii）根据得出，进而可得，利用放缩法，结合等比数列求和公式可证结论. 【小问1详解】 当时，，所以, ,; 因为，所以，即. 因为离心率，所以，即，所以. 由可得，即数列是等比数列，所以. 【小问2详解】 （i）设直线，； 由（1）可得，联立，得， . 因为为椭圆上的点，所以. . （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $