浙江省东阳县东阳中学2024-2025学年上学期九年级数学自主招生数竞赛学试卷

浙江省东阳县东阳中学2024-2025上学期九年级数学自主招生数竞赛学试卷 一、选择题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 1．设 ，则代数式 的值是(　　) A． B． C．33 D．35 2．函数 的图象如图所示，则函 数 的图象与 轴的交点分别是 (　　) A． B． C． D． 3．如图，点 是以原点 为圆心的圆与 轴的一个交点，直线 交 于 两点，已知弦 的最小值为 2，则点 的坐标为(　　) A．(2，0) B． C．(3，0) D． 4．对于反比例函数 ，如果当 时有最大值 ，则当 时，有 (　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 5．如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 是 上一点，且满足 ，连结 并延长交 于点 ，连结 ，若 ， . 给出下列结论：① ； ② ； ③ ； ④ . 其中正确的是结论的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 6．如图，在菱形纸片 中， 为 中点，折叠菱形纸片 ，使点 落在 所在的直线上，得到经过点 的折痕 . 则 的大小为　 　度. 7．方程组 的正整数解为　 　. 8．如图，在 的正方形网格中， 为格点三角形 (顶点都在格点上)，则图中与 相似 (但不全等) 的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为　 　. 9．已知函数 ，当自变量 满足 时，函数值 的取值范围是 ，则实数 的取值范围是　 　. 三、解答题 (第 10 题 8 分, 第 11-14 题每题 10 分, 第 15 题 12 分) 10．已知有理数 满足 ， 求 的值. 11．设实数 满足 ，求证： 1 . 12．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图， 为 上一点，请用无刻度直尺和圆规作出 的内接正方形； （2）结合几何图形的性质， 只用无刻度直尺作图. ①如图，在平行四边形 中， 为 的中点，作 的中点 . ②如图，在由小正方形组成的 的网格中， 的顶点都在小正方形的顶点上，作 的高 . 13．如图，在 Rt 两直角边 上分别作正方形 ，正方形 ，连结 . 线段 的中点依次为 ， . 若 ，求六边形 的面积. 14．已知二次函数 ，无论 为任何实数，直线 与该二次函数的图象有且只有一个公共点. （1）求 的值. （2）当 时，该二次函数的最小值为 ，求 的值. 15．如图，点 为 外一点，过点 作 的两条切线，切点分别为 . 过点 作 的平行线交 于点 . 连结 交 于点 . 连结 并延长交 于点 . 求证： . ​​ 答案解析部分 浙江省东阳县东阳中学2024-2025上学期九年级数学自主招生数竞赛学试卷 一、选择题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 1．设 ，则代数式 的值是(　　) A． B． C．33 D．35 【答案】D 【知识点】求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：原式 故答案为：D. 【分析】直接把x代入通分计算出每一项的值，在根据平方差公式进行交换计算即可． 2．函数 的图象如图所示，则函 数 的图象与 轴的交点分别是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由图像与 轴的交点横坐标为 -1 和 3，可设 ， ，与 对应， 根据 变形可得： ， 因此 或 ， 则交点是 . 故答案为： B. 【分析】根据图像设出两点式，化简为一般式，找出b，c与a的关系，带入 计算即可． 3．如图，点 是以原点 为圆心的圆与 轴的一个交点，直线 交 于 两点，已知弦 的最小值为 2，则点 的坐标为(　　) A．(2，0) B． C．(3，0) D． 【答案】C 【知识点】垂径定理；一次函数中的动态几何问题 【解析】【解答】解：因为 ，所以此直线必过定点p(-2，2)， ∴． 根据题意，直线y＝kx＋2k＋2交⊙O于B、C两点，弦BC的最小值为2，如图所示． ∵点P如果在⊙O外，弦BC的最小值为0， ∴点P（−2，2）应为⊙O内一点． 连接OP，当直线BC⊥OP时，点O到直线BC的距离最大． ∴在Rt△BPO中，由于，故此时BP长度最小． 根据垂径定理，PC＝BP，即BC长度最小． ∴BP＝BC＝1， ∴ ∴OA＝OB＝3． 故答案为：C. 【分析】先由直线关系式得出其始终经过点P（−2，2），然后由弦BC的最小值为2推断出点P在⊙O内，然后由OP⊥直线BC时，点O到直线BC的距离最大，进而根据垂径定理求出BP的长度，即可由勾股定理得出OB的长度并确定点A的坐标． 4．对于反比例函数 ，如果当 时有最大值 ，则当 时，有 (　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质 【解析】【解答】解：由当 时有最大值 ，可知 时， 也小于 0， 反比例函数 过一三象限， ，最大值 在 时取到， 因此当 时，有最大值 . 故答案为：A. 【分析】根据当 时有最大值 确定函数图象所在象限，得到k的范围，然后根据反比例函数性质即可得到最大值 在 时取到，求出k值，再根据性质计算即可. 5．如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 是 上一点，且满足 ，连结 并延长交 于点 ，连结 ，若 ， . 给出下列结论：① ； ② ； ③ ； ④ . 其中正确的是结论的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】圆与三角形的综合 【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ， ∴∠ADF＝∠AED， ∵∠FAD＝∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； ，故① 正确； ， ， 得 ，故②正确； ， 由勾股定理可得 ， 又 ，可得到 ， ，可推出 ，故③正确； ， ， ，故④正确； 故答案为：D. 【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得： ，DG＝CG，继而证得△ADF∽△AED； ②由 ，CF＝2，可求得DF的长，继而求得CG＝DG＝4，则可求得FG＝2； ③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得； ④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得. 二、填空题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 6．如图，在菱形纸片 中， 为 中点，折叠菱形纸片 ，使点 落在 所在的直线上，得到经过点 的折痕 . 则 的大小为　 　度. 【答案】75 【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：在菱形纸片 中，如图，连接 ， ，∠ADC＝180°−∠A＝180°−60°＝120°， 是等边三角形， ∵P为AB的中点， 得 ，∠ADP＝∠BDP＝∠ADB＝×60°＝30°， ∴∠CDC'＝∠ADC−∠ADP＝120°−30°＝90°， 由折叠得∠CDE＝∠C'DE＝∠CDC'＝×90°＝45°， ∴∠DEC＝180°−∠CDE−∠C＝180°−45°−60°＝75°， 故答案为：75. 【分析】连接BD，由菱形的性质得AB＝AD，DC∥AB，∠C＝∠A＝60°，则△ABD是等边三角形，∠ADC＝180°−∠A＝120°，所以∠ADB＝60°，∠ADP＝∠BDP＝ ∠ADB＝30°，则∠CDC'＝∠ADC−∠ADP＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C'DE＝∠CDC'＝45°，所以∠DEC＝180°−∠CDE−∠C＝75°，于是得到问题的答案． 7．方程组 的正整数解为　 　. 【答案】 或 【知识点】高次方程 【解析】【解答】解：∵xz＋yz＝23， ∴z（x＋y）＝1×23， ∵x、y、z为正整数， ∴z＝1，x＋y＝23， ∵xy＋yz＝63， ∴y（x＋z）＝7×9＝1×63＝3×21， 即y（x＋1）＝7×9＝1×63＝3×21， 当y＝7，x＋1＝9， 解得x＝8（舍去）； 当y＝9，x＋1＝7， 解得x＝6（舍去）； 当y＝1，x＋1＝63， 解得x＝62（舍去）； 当y＝3，x＋1＝21， 解得x＝20； 当y＝20，x＋1＝23， 解得x＝22（舍去）， 所以方程组的正整数解为 或 故答案为： 或 【分析】先利用因式分解的方法得到z（x＋y）＝1×23，则利用x、y、z为正整数得到z＝1，x＋y＝23，再由xy＋yz＝63得到y（x＋1）＝7×9＝1×63＝3×21，然后利用有理的乘法讨论，当y＝7，x＋1＝9；当y＝9，x＋1＝7；当y＝1，x＋1＝63；当y＝3，x＋1＝21；当y＝20，x＋1＝23，然后分别求出对应的x值，从而确定原方程组的正整数解. 8．如图，在 的正方形网格中， 为格点三角形 (顶点都在格点上)，则图中与 相似 (但不全等) 的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为　 　. 【答案】 【知识点】相似三角形的性质-对应面积 【解析】【解答】解：如图，△A'B'C'，△A″B″C″分别是与△ABC相似的最小三角形，最大三角形． ∵△A'B'C'的面积＝×1×1＝， △A″B″C″的面积＝×2×2+×2×3＝5， ∴图中与△ABC相似（但不全等）的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为1：10．故答案为： 故答案为：. 【分析】画出与△ABC相似的最小三角形，最大三角形可得结论． 9．已知函数 ，当自变量 满足 时，函数值 的取值范围是 ，则实数 的取值范围是　 　. 【答案】 【知识点】绝对值函数的最值 【解析】【解答】解：当 时， ，此时 ，符合题意； 当 时， ，此时 ， ， 解得 . 故答案为：. 【分析】当−1≤x≤2时，y＝−x＋3，进而可得出此时1≤y≤4，符合题意；当2≤x≤m时，y＝x−1，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质可得出1≤y≤m−1，结合1≤y≤4即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，此题得解． 三、解答题 (第 10 题 8 分, 第 11-14 题每题 10 分, 第 15 题 12 分) 10．已知有理数 满足 ， 求 的值. 【答案】 解： ， 比较系数得 ，解得 【知识点】完全平方式；复合二次根式概念、性质与运算 【解析】【分析】先根据完全平方公式依次化简被开方数，最终得出，根据题意得出a＝2，b−2＝−1，于是问题得解． 11．设实数 满足 ，求证： 1 . 【答案】解：实数 满足 ， 注意到有 的结构，考虑应用韦达定理构造一元二次方程. 因此 为方程 的两根， 因此 ， 故 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解二元二次方程组 【解析】【分析】根据已知条件中的方程组得到b＋c，bc的式子，可设b，c是一元二次方程 的两个实数根，利用一元二次方程有两个不相等的实数，证得结果． 12．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图， 为 上一点，请用无刻度直尺和圆规作出 的内接正方形； （2）结合几何图形的性质， 只用无刻度直尺作图. ①如图，在平行四边形 中， 为 的中点，作 的中点 . ②如图，在由小正方形组成的 的网格中， 的顶点都在小正方形的顶点上，作 的高 . 【答案】（1）作图思路：连结 并延长交 于点 ，作 中垂线 交 于点 、 ，顺次连结即得 的内接正方形； （2）作图思路：①连结 、 交于点 ，连结 、 交于点 ，连结 并延长交 于点 ，此为 中点，这里运用了三角形重心的性质； ②连结 交于点 ，连结 并延长交 于点 ，即为 的高 ，利用全等可得 ，利用三角形垂心的性质可得 边上的高. ①② 【知识点】圆内接正多边形；线段的中点；三角形的高 【解析】【分析】（1）作直线AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于点D，B，连接AD，DC，CB，AB，四边形ABCD即为所求； （2）①连接AC，BD交于点O，连接BE交AC于点J，连接DJ，延长DJ交BC于点F，点F即为所求． ②利用网格特征作出△ABC作高BE，CF交于点O，连接AO，延长AO交BC一点H，线段AH即为所求． 13．如图，在 Rt 两直角边 上分别作正方形 ，正方形 ，连结 . 线段 的中点依次为 ， . 若 ，求六边形 的面积. 【答案】解：延长ED、FG交于点R，取DR的中点T，GR的中点M，连接IT、IM， ∵四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形，AC＝12，BC＝24， ∴DC＝DE＝AE＝AC＝12，GC＝GF＝BF＝BC＝24，∠ACD＝∠CDE＝∠BCG＝∠CGF＝90°， ∴∠CDR＝∠CGR＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCG＝360°−3×90°＝90°， ∴四边形CDRG是矩形， ∴∠R＝90°，DR＝GC＝24，GR＝DC＝12， ∵线段AB，BF，FG，GD，DE，EA的中点依次为P，L，K，I，H，Q， ∴EH＝DH＝DE＝AE＝AQ＝EQ＝6，FK＝GK＝GF＝BF＝BL＝FL＝12， ∵∠E＝∠F＝90°， ∴＝×6×6＝18，＝×12×12＝72， ∵IT∥GR，IT＝GR＝6，IM∥DR，IM＝DR＝12， ∴∠DTI＝∠R＝90°，∠IMG＝∠R＝90°， ∴IT⊥DH，IM⊥GK， ∴＝×6×6＝18，＝×12×12＝72， 同理＝18，＝72， ∵ ∴＝122＋242＋2××12×24−18−72−2×18−2×72 ＝738， ∴六边形HIKLPQ的面积是738 【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【分析】延长ED、FG交于点R，取DR的中点T，GR的中点M，连接IT、IM，由正方形的性质得DC＝DE＝AE＝AC＝12，GC＝GF＝BF＝BC＝24，可证明四边形CDRG是矩形，则∠R＝90°，DR＝GC＝24，GR＝DC＝12，而EH＝DH＝AQ＝EQ＝6，FK＝GK＝BL＝FL＝12，求得＝×6×6＝18，＝×12×12＝72，推导出IT∥GR，IT＝6，IM∥DR，IM＝12，则IT⊥DH，IM⊥GK，则＝18，＝72，同理＝18，＝72，即可求得＝738． 14．已知二次函数 ，无论 为任何实数，直线 与该二次函数的图象有且只有一个公共点. （1）求 的值. （2）当 时，该二次函数的最小值为 ，求 的值. 【答案】（1）将方程 与 联立整理得 由题意知该一元二次方程只有一个解， ， ， 该等式与 无关， ，解得 （2） ，对称轴 ， 分类讨论： ① 当 时，即 ， 当 时， ，即 ，解得 或 1，均不符合，舍去； ②当 时， 当 时， ，即 ，解得 或 ， 由 ，故 ； ③ 时，此时 ，得 ，满足题意； 综上， 或 【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一次函数的图象共存判断 【解析】【分析】（1）由直线与抛物线C1有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，即Δ＝0，可得 ，解方程组即可求得a＝1，b＝−2，c＝1； （2）抛物线解析式为，由于抛物线的对称轴为直线 x＝1，开口向上，当k≤x≤k＋1时，抛物线的最小值为k，分三种情况：k＜0或 0≤k≤1或k＞1，分别根据二次函数的性质讨论即可． 15．如图，点 为 外一点，过点 作 的两条切线，切点分别为 . 过点 作 的平行线交 于点 . 连结 交 于点 . 连结 并延长交 于点 . 求证： . ​​ 【答案】证明： ， 又 ， ， 即 ， 由切割线定理， ， ， ， 即 【知识点】切线的性质；切割线定理模型；相似三角形的判定-AA 【解析】【分析】由△KPE∽△KAP，可得，又由切割线定理得，即KP＝KB，再通过线段的转化，即可得出结论． 学科网（北京）股份有限公司 $