2025--2026学年苏科版八年级数学上册期末提优(五)(六)一次函数的实际应用　

期末提优(五)一次函数的实际应用 1.(2024·南通期中)如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5 公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2 公里的部分，每公里计费1.2元;③点 A 的坐标是(6.5,10.4);④若甲、乙两地之间的路程是 15 公里，则“顺风车”要快 车”少用3.4元.其中正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·连云港期末)已知甲、乙两地相距480 km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120 km，货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，则下列说法错误的是 () A. a=120 B. 点 F 的坐标为(8,0) C.出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h D.出租车返回的过程中，货车出发 h或 都与出租车相距12 km 3.(2025·苏州期末)如图①,底面积为36 cm²的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为12 cm²，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 cm². 4.(2025·扬州期末)公路旁依次有A,B,C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A 村，B村同时出发匀速前往 C村(到了 C村不继续往前骑行，也不返回)，如图所示，l₁，l₂分别表示小明和小红与B村的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系，下列结论：①A，B两村相距12 km；②小明每小时比小红多骑行9 km;③出发1.5 h 后两人相遇;④图中 a=1.65.其中正确的是 .(填序号) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5.(2025·扬州期末)“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥形容器中匀速漏到圆柱形容器中，实验开始时圆柱形容器中已有一部分液体. (1)实验记录的圆柱形容器液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据如下表： 时间x/小时 0 1 2 3 4 圆柱形容器液面高度y/厘米 3 5 7 9 11 在如图②所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接； (2)请根据(1)中的数据确定y与x之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱形容器液面高度达到15 厘米时是几点? 6.(2025·盐城校级模拟)为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A 型和B 型两种新能源公交车共 10 辆.若购买A 型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A 型公交车2辆，B型公交车3 辆，共需195 万元. (1)求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元. (2)预计在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次，若该公司购买A 型和 B 型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7.(2024·苏州校级月考)一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车 h后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地的路程y(km)与慢车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲、乙两地相距 km，快车行驶的速度是 km/h，图中括号内的数值是 ; (2)求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x之间的函数表达式； (3)慢车出发多长时间，两车相距120km? 8.(2024·绥化中考)为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车.若购买A 种电动车25 辆、B 种电 动车 80 辆,需投入资金30.5万元；若购买A 种电动车60辆、B 种电动车120辆，需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变. (1)求A，B两种电动车的单价分别是多少元. (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B 两种电动车200 辆，其中A 种 电动车的数量不多于 B 种电动车数量的一半.当购买A 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元? (3)该公司将购买的A，B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y(元)与骑行时间x(min)之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为y₁；B种电动车支付费用是10 min之内，起步价6元，对应的函数为 y₂.请根据函数图象信息解决下列问题. ①小刘每天早上需要骑行 A 种电动车或 B 种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min(每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计)，小刘家到公司的距离为8k m，那么小刘选择 种电动车更省钱(填写A或B). ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值: . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 期末提优(六) 几何综合探究题 学科网（北京）股份有限公司 1.(2025·南通期中)(1)如图①,已知△ABC和△DCE,点 B,C,E在一条直线上,且∠B=∠ACD=∠E,AC=CD,求证:BC=DE. (2)如图②,∠B=60°,∠DAN=30°,N 为AB上的点,且ND=NM,∠DNM=60°,求证:AB=2BN+BM. (3)如图③,△ABC是等边三角形,点 D,F分别为AC,BC边上的动点,AD=2CF,连接DF,以 DF 为边在△ABC 内作等边△DEF,连接BE,当点 D 从点 A 运动到点 C 的过程中,∠EBF 的度数是否发生变化?如果不变，求出∠EBF 的度数；如果改变，请说明理由. 2.(2024·淮安期末)已知在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB为锐角,AD 是 BC边上的高,在射线 DA 上取一点 E,使 DE=DC,在平面内取一点 F,使 CF⊥CA,CF=CA,且点 E,F 在直线BC 的异侧,连接EF 交BC 于点 M. (1)如图,当∠ACB<45°时,补全图形,并证明:∠FCB=∠CAD; (2)在图中用等式表示线段AD，AE，CM 的数量关系，并证明； (3)设AD=1,当∠ACB的大小变化时,若 2，直接写出线段 CD长的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，则这条射线就叫作原三角形的等腰分割线. (1)如图①,△ACB中,∠ACB=90°,若O 为AB的中点，则射线 CO △ABC 的等腰分割线(填“是”或“不是”). (2)如图②,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6，△ABC的一条等腰分割线BP 交AC 边于点P,且PA=PB,请求出CP 的长度. (3)如图③,△ABC中,CD为AB 边上的高,F为AC的中点,过点 F 的直线l交AD 于点 E,作CM⊥l,DN⊥l,垂足分别为M,N,BD=3,AC=5,且∠A<45°.若射线 CD 为△ABC 的等腰分割线，求 CM+DN的最大值. 4.(一)问题提出(问题提出下的(1)(2)(3)问不需要作答) (1)平面直角坐标系中，如果A，B是x轴上的两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，C，D 是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是 yc，yD，那么A，B两点间的距离，C，D 两点间的距离分别是多少? (2)平面直角坐标系中任意一点 P(x，y)到原点的距离是多少? (3)已知平面上的两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),如何求 P₁,P₂两点间的距离|P₁P₂I? (二)问题探究 (1)求平面直角坐标系中x轴上的两点 E(5，0)，F(-2，0)之间的距离，可以借助绝对值表示|EF|=|5-(-2)|=7,同理,y轴上两点M(0,3),N(0,5)之间的距离|MN|=|3-5|=2.结论：在平面直角坐标系中，如果A，B是x轴上两点，它们对应的横坐标分别是xA，xB，那么A,B两点间的距离|AB|= ;C,D 是y轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是 yc，yD,那么C,D 两点间的距离|CD|= . (2)如图①，平面直角坐标系中任意一点B(3,4),过点 B 向x轴作垂线,垂足为 M,由勾股定理得|OB|= . 结论：平面直角坐标系中任意一点 P(x，y)到原点的距离|OP|= . (3)如图②，要求AB 或DE 的长度，可以转化为求 Rt△ABC 或Rt△DEF 的斜边长,例如:从坐标系中发现:D(-7,5),E(4,-3),F(-7,-3),所以|DF|=|5-(-3)|=8,|EF|=|4-(-7)|=11，由勾股定理，得 在图③中，设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),试用x₁,x₂,y₁,y₂表示 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (三)拓展应用 试用以上所得结论解决如下问题：已知A(0，1)，B(4,3). (1)C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，求点 C 的坐标； (2)在坐标轴上有一点 M,使△ABM 是以 AB为直角边的直角三角形，直接写出点 M 的坐标. 5.【回顾旧知】 (1)如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点 P，使PA+PB最小?将下面解决问题的思路补充完整. 解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在l上任取一点 P'，作点A 关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点 C. 连接 P'A',易知△AP'C≌ ,从而有 P'A=P'A'.这样,在△A'P'B中,根据“ ”可知A'B 与l的交点 P 即为所求. 【解决问题】 (2)如图②,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,E,F 为AB 上的两个动点,且AE=BF,求CE+CF的最小值. 【变式研究】 (3)如图③,在△ABC中,∠ABC=60°,AC=5,BC=4,点 D,E 分别为 AB,AC 上的动点,且AD=CE,请直接写出 CD+BE 的最小值. 期末提优(五)一次函数的实际应用 1. D解析：①根据“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象可知，“快车”行驶里程不超过5公里计费8元，故①正确； ②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为(14.6-5)÷(10-2)=1.2(元),故②正确; ③当x≥5时，设“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为 ,将(5,8),(10,16)代入函数表达式，得 解得 ∴当x≥5时，“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₁=1.6x; 当x≥2时，设“顺风车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为 ,将(2,5),(10,14.6)代入函数表达式，得 解得 当x≥2时，“顺风车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为 y₁,y₂得 解得 点A 的坐标为(6.5,10.4),故③正确； ④将x=15分别代入y₁,y₂,y₁=1.6×15=24,y₂=1.2×15+2.6=20.6, ，即若甲、乙两地之间的路程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，故④正确. 综上可知，正确结论的个数为4.故选 D. 2. D 解析:结合题中图象,可得 C(4,480),设直线OC 的表达式为y= kx,将C(4,480)代入表达式,可得480=4k,解得k=120,∴ 直线OC的表达式为y=120x,把(1,a)代入y=120x,得a=120,故A选项正确； 根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120 km，可得此时出租车距离乙地为120+120=240(km)，∴出租车距离甲地为480-240=240(km),把y=240代入y=120x,可得240=120x,解得x=2,∴货车装完货时,x=2,可得B(2,120),根据货车继续出发 后与出租车相遇，可得- (出租车的速度+货车的速度)=120，根据直线 OC 的表达式为 y =120x，可得出租车的速度为120 km/h,∴相遇时,货车的速度为 故可设直线BG的表达式为y=60x+b,将B(2,120)代入y=60x+b,可得120=120+b,解得b=0,∴ 直线 BG的表达式为y=60x,把y=480代入y=60x,可得480=60x,解得x=8,∴G(8,480),∴F(8,0),故B选项正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得 出租车返回时的速度为 故C选项正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km,此时货车距离乙地为60t km,出租车距离乙地为128(t-4)=(128t-512) km,①出租车和货车第二次相遇前,相距12km时,可得 解得 ②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得 解得 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 或 与出租车相距12 km.故 D 选项错误.故选 D. 3.24 解析：根据函数图象得到长方体容器的高为14 cm，两个实心圆柱体组成的“几何体”的高度为 10 cm，水从刚满过由两个实心圆柱体组成的“几何体”到注满用了42-24=18(s),这段高度为14-10=4(cm),设匀速注水的水流速度为xcm³/s,则18·x=36×4,解得x=8，即匀速注水的水流速度为8 cm³/s.设“几何体”下方圆柱体的高为a cm,则a·(36-12)= 18×8,解得a=6,所以“几何体”上方圆柱体的高为10-6=4(cm),设“几何体”上方圆柱体的底面积为S cm²,根据题意得4·(36-S)=8×(24-18),解得S=24,即“几何体”上方圆柱体的底面积为24 cm². 4.①③ 解析:由图象可得,A,B两村相距12km,故①正确; 小明的骑行速度为 12÷0.6=20(km/h),小红的骑行速度为 33÷2.75=12(km/h),小明每小时比小红多骑行20-12=8(km),故②错误； 设二人出发 mh后相遇,由题意可得(20-12)m=12,解得m=1.5,故出发1.5h后两人相遇，故③正确； 小明到达C村所用时间为(12+33)÷20=2.25(h),∴a=2.25,故④错误. 综上所述，正确的有①③. 5.(1)描点并连线如图所示. (2)∵这些点的连线是一条直线，∴y与x之间是一次函数关系. 设y与x之间的函数表达式为y= kx+b,将坐标(0,3)和(1,5)分别代入y= kx+b,得 解得 y与x之间的函数表达式为y=2x+3. (3)当y=15时,得2x+3=15,解得x=6. 答：如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱形容器液面高度达到15厘米时是下午2：00. 6.(1)设购买每辆A 型公交车需要x万元，每辆B 型公交车需要y万元，依题意，得 解得 答：购买每辆A 型公交车需要 30 万元，每辆B 型公交车需要45万元. (2)设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车(10-m)辆，依题意，得 解得6≤m≤8.因为 m为整数,所以m= 6，7，8，所以该公司有三种购车方案，方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车；方案2：购进7辆A型公交车，3辆B 型公交车；方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车.设该公司购买这10辆公交车的总费用为 w元,则w=30m+45(10-m)=-15m+450,因为k=-15<0，所以w随m的增大而减小，当m=8时，w取得最小值，最小值为330.答：购进8辆A 型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少总费用为330万元. 7.(1)400 100 7 (2)由图象可知,B(3,400)和A(7,0),设直线 BA 的函数表达式为y= kx+b,∴ 解得 快车从乙地返回甲地的过程中,y与x之间的函数表达式为y=-100x+700. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)由图象可知，快车比慢车早出发 1 h，∴慢车的速度为 设慢车出发 xh与快车相距120km， ①快车从甲地开往乙地，由题意得1100(x+1)= 80x+120,解得x=1; ②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前，由题意得100(x+1)-400+ 解得 ③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后，由题意得 解得x= .综上可知，慢车出发1h或 h或 h,两车相距120km. 8.(1)设A，B两种电动车的单价分别为x 元、y元，由题意得， 解得 答:A,B两种电动车的单价分别为1 000元、3500元. (2)设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车(200-m)辆，由题意得 解得 设购买所需总费用为w元，则w=1000m+3500(200-m)=-2500m+700000,∵-2500<0,∴w随着m的增大而减小.∵m取正整数，∴当m=66时，w 最小，∴w最小=700 000-2500×66=535 000(元).答:当购买A 种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535 000元. (3)①B 解析：∵两种电动车的平均行驶速度均为300m/min，小刘家到公司的距离为8km，∴所用时间为 根据函数图象可得当x>20时，y₂<y₁，∴小刘选择B种电动车更省钱. ②5或40 解析:设 ,将(20,8)代入,得8=20k₁,解得 当0<x≤10时, 当x>10时,设 将(10,6),(20,8)代入,得 解得 4.依题意,当0<x≤10时, 即 解得x=5.当x>10时, 即 解得x=0(舍去)或x=40. 期末提优(六)几何综合探究题 1.(1)∵∠B=∠ACD,∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠B+∠BAC,∴ ∠BAC=∠DCE,在△ABC和△CED 中 ∴ △ABC≌△CED(AAS),∴ BC=DE. (2)在 AB 上截取 AF =DF,连接 DF,如图①,∵∠DAN=30°,∴∠DAN=∠ADF=30°,∴∠DFN=60°=∠B.∵ ∠ANM=∠AND+∠DNM=∠BMN+∠B,且∠DNM=∠B=60°,∴∠AND=∠BMN.在△FDN和△BNM 中, ∴△FDN≌△BNM(AAS), ∴FD=BN,FN=BM,∴AF=BN.∵AB=AF+FN+BN,∴AB=BN+BM+BN,即AB=2BN+BM. (3)∠EBF的度数不发生变化,∠EBF=30°,求解如下:如图②,在BC上截取BM=CF,连接EM,∵AD=2CF=BM+CF,且AC=BC,∴ CD = FM.∵ △DEF 是等边三角形,∴ DF = EF,∠DFE = 60°.∵∠DFM=∠CDF+∠C=∠MFE+∠DFE,且∠C=∠DFE=60°,∴∠CDF=∠MFE,∴△DFC≌△FEM(SAS),∴∠FME=∠C=60°,EM=CF.∵ BM=CF,∴BM=EM,∴∠EBF=30°. 2.(1)补全图形如图①,∵AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°.又∵ CF⊥CA,∴∠ACD+∠FCB=90°,∴∠FCB=∠CAD. (2)2CM=2AD+AE.证明如下:如图②,连接BE,∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=∠ABC=45°,∴BD=AD.在△BDE 和△ADC中, (LHHDDC∠ADC=50°,∴△BDDG≌△ACC(SS),∴∠EBD=∠CAD, BE=AC.又∵∠FCB=∠CAD,AC=CF,∴∠EBD=∠FCB,BE=CF.在△BME 和△CMF 中,{∠EMBE∠∠FBMC,∴△BME≌△CMF(AAS), ,即BC=2CM.∵ BC=BD+CD,BC=AD+DE=AD+AD+AE,∴2CM=2AD+AE. (3)CD>3或 解析:当 CD>BD时,点 M 在点 D 右侧,如图②,当 时,BM<2DM,即 BD+DM<2DM,又∵ BD=AD=1,∴ DM>1,∴ BM=BD+DM>2.∵CD=BC-BD=2BM-BD>2×2-1=3,∴当CD>BD 时,若 则 CD>3.当 CD<BD时，点M在点D 左侧，如图③，当 时,BM<2DM,即 BD-DM<2DM,又∵BD=AD=1,∴ DM> ,∴ BM=DB-DM<1- = 当CD<BD时,若 则 综上所述，线段 CD 长的取值范围为 CD>3 或0< 3.(1)是 解析:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,O 是AB 的中点,∴OA=OC=OB,即△AOC 和△COB 都是等腰三角形,∴射线 CO 是△ABC的等腰分割线. (2)设 PC=x,则AP=BP=8-x,在 Rt△BCP 中, 解得 (3)如图,过点A 作AG⊥l于点 G.∵ CD为 AB 边上的高,∴ ∠CDB=∠CDA =90°.∵ ∠A<45°,∴ △CDA 不是等腰三角形.∵ 射线 CD 为△ABC 的等腰分割线,∴△CDB和△CDA 中至少有一个是等腰三角形，∴ △CDB 是等腰三角形，A<且 CD = BD = 3.∵ AC = 5,∴ AD = 于点M,∴ ∠CMF=∠AGF =90°.∵ F 为 AC 的中点,∴ CF=AF.在△CMF和△AGF 中, …△CMF≌△AGF(AAS),∴CM=AG.在Rt△DEN和Rt△AEG中,∠AGE=∠DNE=90°,∴DN<DE,AG<AE.当点 E 与点 N 重合时,DN=DE,AG=AE,∴ AG+DN≤AE+DE,∴CM+DN≤AE+DE,即CM+DN≤AD,∴CM+DN≤4,∴CM+DN的最大值为4. 4.问题探究： 拓展应用:(1)当点C在x轴上时,设C(x,0),∵△ABC 是以AB为底边 的 等 腰 三 角 形，. ,解得x=3,∴C(3,0);当点 C在y轴上时,设C(0,y),∵ △ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形,∴ AC=BC, 解得y=6,∴ C(0,6).综上,点 C 的坐标为(3,0)或(0,6). (2)点M 的坐标为( ,0)或( ,0)或(0,11).解析：当∠BAM=90°时,如图①,设M(a,0),∵∠AOM=90°,∴AM²=1+a².∵∠BAM=90°,∴AM²+AB²=BM²,∴(1+a²)+[(4-0)²+(3-1)²]= 解得a= ,∴M( .0). 当∠ABM=90°时,如图②,当点M在x轴上时,设M₂(a,0),则 解得 当点M在y轴上时,设M₁(0,b),则. 解得b=11,∴M₁(0,11).综上,点M的坐标为( ,0)或 或(0,11). 5.(1)△A'P'C 两点之间,线段最短 (2)如图①,过点 E 作 ED∥CF,使ED=CF,连接DF,CD,设CD 交AB 于 点 O, 得 ∠CFO = ∠DEO. 在 △DOE 和 △COF 中, .△DOE≌△COF(AAS),∴ OC=OD,OE=OF. ∵AE=BF,∴AO=BO=- AB=4.∵∠ACB=90°,AB=8,∴OC=OD= AB=4,∴CD=8.∵CE+CF=CE+ED≥CD,∴CE+CF 的最小值为CD 的长,即CE+CF 的最小值为8. (3)CD+BE的最小值为 . 解析:如图②,过点C作CK∥AB,使CK=AC=5,过点 B 作 BG⊥KC,交 KC 的延长线于点 G,连接BK,KE,则∠KCE= ∠CAD.在△CKE 和△ACD 中,(KKACG∠CAD,∴△CCE≌△ACD(SAS),∴EK=CD,∴CD+BE=EK+BE≥BK,∴CD+BE的最小值为BK的长.∵CK∥AB,BG⊥CK,∴BG⊥AB,∠BGK=90°,∴∠ABG=90°,∴∠CBG=∠ABG-∠ABC=90°-60°=30°,∴CG= BC= ×4=2.在Rt△BGC中，由勾股定理得 =5+2=7,在 Rt△BGK中,由勾股定理得 ,∴CD+BE的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $