第5章一 次 函 数专题提优23.24　2025--2026学年苏科版八年级数学上册

第5章一 次 函 数 专题提优 23 一次函数的实际应用 类型一最少费用问题 1.(2024·广安中考)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A 种花卉和3 株 B 种花卉共需要21元；购买4株A 种花卉和5株 B种花卉共需要37元. (1)求A，B两种花卉的单价. ()该物管中心计划采购A，B两种花卉共计1C 000 株，其中采购A 种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?并求出最少总费 类型二 最佳效益、最大利润问题 2.(2024·云南中考)A，B 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本 (单位：元/个) 销售价格 (单位：元/个) A 型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元. (1)求a,b的值; (2)若某公司计划从该超市购买A，B两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x(单位：个)不少于 B种型号吉祥物数量的 ，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值. 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与成本的差. 类型三 最佳方案问题 3.(牡丹江中考)某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套 500 元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元.书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套 550 元、430元、310 元.设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题： (1)请求出y与x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围). (2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)在(1)和(2)的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a(a为正整数)元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值. 类型四 分段计费问题 4.(徐州中考)为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： 每月用气量 单价/(元/立方米) 不超出75立方米的部分 2.5 超出75立方米不超出125立方米的部分 a 超出125立方米的部分 a+0.25 (1)若甲用户3月份的用气量为60立方米，则应缴费 元； (2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(立方米)，γ与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数表达式； (3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用气175立方米(3月份用气量低于2月份用气 量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少? 类型五 行程问题 5.小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y(米)与时间x(分钟)的关系如图所示. 回答下列问题： (1)小华家与体育场的距离是 米，小华在体育场休息了 分钟； (2)小华 从体育 场 返 回家 的速 度 是 米/分; (3)小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y(米)与时间x(分钟)的关系可以用y=kx+400 来表示,而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场.求k的值并在图中画出此函数的图象. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6.(2024·黑龙江中考)甲、乙两货车分别从相距225km的A，B 两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往 B 地，乙货车沿同一条公路从 B 地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回 B地，结果比甲货车晚半小时到达 B 地.如图是甲、乙两货车距A 地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h,乙货车的速度是 km/h; (2)求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中，甲货车距A 地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等. 类型六 含参数的一次函数应用题 7.(襄阳中考)为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品.某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为 8 元/千克；乙种产品的进货总金额y(单位：元)与乙种产品进货量x(单位：千克)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/千克和18元/千克. (1)求出0≤x≤2000和x>2000时,y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000千克，并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1600千克，且不高于4000千克，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元(利润=销售额-成本)，请求出w(单位：元)与乙种产品进货量x(单位：千克)之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/千克和2a 元/千克，全部售出后所获总利润不低于15 000元，求a的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 一次函数与存在性问题专题提优24 一次函数与几何图形综合 1.(2024·达州模拟)已知四边形OABC 是边长为4的正方形，分别以 OA，OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图①所示的平面直角坐标系，直线l经过A，C两点. (1)求直线l的函数表达式； (2)如图②,若点 D 是 OC 的中点,E是直线l上的一个动点，求使 OE+DE 取得最小值时点E 的坐标. 类型二 一次函数与三角形综合 2. 如图,直线l:y= kx+3与x轴、y轴分别交于A,B两点， 垂足为点M，点P为直线l上的一个动点(不与点A，B重合). (1)求直线l的表达式. (2)当点 P运动到什么位置时，△BOP 的面积是6? (3)在y轴上是否存在点 Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP 全等?若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型三 一次函数与线段综合 3.如图①,直线l:y= mx+10m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点. (1)当OA=OB 时,试确定直线 l的函数表达式. (2)在(1)的条件下,设Q 为直线AB 上一点,作直线OQ,过A,B两点分别作AM⊥OQ 于点M,BN⊥OQ 于点 N,若AM=8,BN=6,求 MN的长. (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB，AB为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角三角形 OBF 和等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴于点 P，如图②.问：当点 B在y轴正半轴上运动时，试猜想 PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由. 类型四 一次函数与角度综合 4.如图①，在平面直角坐标系中，直线y=x+m与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点 B，且△AOB的面积是8. (1)求m的值; (2)如图②,直线y= kx+3k(k<0)交直线AB 于点E,交x轴于点C,点D 的坐标是(0,-2),过点 D 作 DF⊥CD 交 EC 于点 F,若∠AEC=∠CDO,求点 F 的坐标; (3)如图③,点 P 的坐标是(-1,-2),若△ABO以2个单位长度/秒的速度向下平移，同时点P 以1个单位长度/秒的速度向左平移，平移时间是 t秒，若点 P 落在△ABO 内部(不包含三角形的边)，求t的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 新趋势项目式学习(2025·深圳校级月考)根据以下素材回答问题：综合与实践 杆秤中的数学 背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图①)，其也是中华民族衡重的基本量具之一. 素材1：【杠杆平衡条件】 图②为杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B(相当于支点)处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量.其中秤盘质量m₀克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离AB 为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离 BC 为 a 厘米，秤砣与零刻线的水平距离 CD 为y 厘米，根据杠杆平衡条件可得：(m₀+m)·l=M·(a+y). 素材2：【设计杆秤】 老李师傅制作了一个杆秤，他设定 克，M=50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米. 素材3：【确定l和a的值】 ①如图③，当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； ②如图④，当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡. 根据以上的素材，解决下面问题： (1)求出l和a的值. (2)①y关于m 的函数表达式为 ； ②从零刻线开始，每隔100 克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离是 厘米. (3)老李师傅的徒弟小周在学习了师傅的作法后，小周自己也另外做了一把杆秤，他称量重40克货物 M 时，秤砣在 H 处秤杆平衡(如图⑤)；称量重60克货物 N时，秤砣在 C 处秤杆平衡(如图⑥).根据图中所给数据，求这把杆秤的最大可称重物质量是多少克. 学科网（北京）股份有限公司 专题提优23 一次函数的实际应用 1.(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株，由题意得 解得 答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株. (2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10000-m)株，总费用为W元,由题意得W=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000.由 m≤4(10000-m),解得m≤8000,在W=-2m+50 000中,∵-2<0,∴W随m的增大而减小，∴ 当m=8000 时W的值最小， 8 000+50 000=34 000,此时10 000-m=2 000. 答：当采购A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34 000 元. 2.(1)由题知, 解得 (2)∵购买A种型号吉祥物x个，∴购买B种型号吉祥物(90-x)个.∵购买A种型号吉祥物的数量x(单位：个)不少于B种型号吉祥物数量的 解得 又∵购买A种型号吉祥物的数量不超过B种型号吉祥物数量的2倍，∴x≤2(90-x)，解得x≤ .由题知,y=(40-35)x+(50-42)(90-x),整理得y=-3x+720,∵-3<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=52时,y最大,最大值为y=-3×52+720=564. 3.(1)根据题意得,购进丙种图书(20-x-y)套,则有5500x+400y+250×(20-x-y)=7 700,∴函数表达式为 (2)根据题意，得 解得 又∵x≥1,∴1≤x≤10 .∵x,y,(20-x-y)为正整数,∴x=3,6,9,即有三种进货方案:①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套；②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套；③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)进货方案是甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10.解析:若按方案一,则有13a-4a=20,解得 (不是正整数，不符合题意,舍去);若按方案二,则有8a-6a=20,解得a=10(符合题意)；若按方案三，则有3a-8a=20，解得a=-4(不是正整数，不符合题意，舍去).∴进货方案是甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套,a=10. 4.(1)150 (2)由题意,得a=(325-75×2.5)÷(125-75)=2.75,∴a+0.25=3,易知线段 OA 的表达式为y₁=2.5x(0≤x≤75).设线段AB 的表达式为 由题图，得 解得 线段AB的表达式为y₂=2.75x-18.75(75<x≤125).∵(385-325)÷3=20,∴ C(145,385).设射线 BC 的表达式为 由题图，得 解得 射线 BC 的表达式为 50(x> 125). 综上, y 与 x 之间 的 函 数 表 达 式 为 y = (3)设乙用户2月份用气x立方米，则3月份用气(175-x)立方米，当x>125,175-x≤75时,3x-50+2.5(175-x)=455,解得x=135,175-135=40,符合题意;当75<x≤125,175-x≤75时,2.75x-18.75+2.5(175-x)=455,解得x=145,不符合题意,舍去;当75<x≤125,75<175-x≤125时,2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455,此方程无解.∴乙用户2、3月份的用气量分别为135立方米、40立方米. 5.(1)2400 5 解析：由图象可知小华家与体育场的距离是2 400米,小华在体育场休息了25-20=5(分钟). (2)160 解析:小华从体育场返回家的速度是2 400÷(40-25)=160(米/分). (3)根据题意知图象经过点(40,2400),将(40,2400)代入y= kx+400得2400=40k+400,∴k=50, 画出函数的图象如下： 6.(1)30 40 解析：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5 h，∴ 甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5=30(km/h).∵ 乙货车到达配货站路程为225-105=120(km),到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，总路程为240 km，总时间是6h,∴乙货车速度是240÷6=40(km/h). (2)甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地,由图象可知E(4,105)和F(5.5,225),设yEF= kx+b(4≤x≤5.5),∴ 解得 甲货车距A 地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式是y=80x-215(4≤x≤5.5). (3)经过1.5 h或 h或5h，甲、乙两货车与配货站距离相等. 解析：设甲货车出发 xh，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前:105-30x=120-40x,解得 ②乙货车到达配货站时开始返回,甲货车未到达配货站:105-30x=40x-120,解得x= ;③甲货车在配货站卸货后驶往 B 地时:80x-215-105=40x-120,解得x=5.∴经过1.5h或 或5h，甲、乙两货车与配货站的距离相等. 7.(1)当0≤x≤2000时,设y=k'x,根据题意可得,2000k'=30 000,解得k'=15,∴ y=15x.当x>2 000 时,设 y= kx+b,根据题意可得 解得 (2)根据题意可知,购进甲种产品(6000-x)千克,∵1600≤x≤4000,当1600≤x≤2000时,w=(12-8)×(6000-x)+(18-15)·x=-x+24000,∵-1<0,∴当x=1 600时,w的最大值为-1×1 600+24 000=22400(元).当2000<x≤4000时,w=(12-8)×(6000-x)+18x-(13x+4000)=x+20 000.∵1>0,∴当x=4 000 时,w 的最大值为4 000+20 000=24 000(元).综上 当购进甲种产品2000千克，乙种产品4000千克时，利润最大为24000元.(3)根据题意可知,降价后,w=(12-8-a)×(6000-x)+(18-2a)x-(13x+4000)=(1-a)x+20000-6000a,当x=4000时,w取得最大值.∴(1-a)×4000+20 000-6000a≥15 000,解得a≤0.9.∴a的最大值为0.9. 专题提优24 一次函数与几何图形综合 1.(1)设直线l的函数表达式为y= kx+b,将A(4,0)和C(0,4)代入得 解得直线l的函数表达式为y=-x+4. (2)由题意知O 与B 关于直线l 对称，如图，连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE 取得最小值，设DB 所在直线为 ,将点D(0,2),B(4,4)代入得 解得 直线 DB 的表达式为 联立方程组 解得 点 E的坐标为 2.(1)∵直线l:y= kx+3与y轴交于点B,∴B(0,3),即 ,∴OA=4,B即A(4,0).∵点A在直线l上,∴4k+3=0,解得k= 直线l的表达式为 (2)由题意,过点 P作 PC⊥y轴于点 C,如图①， ∴ PC=4,∴点P 的横坐标为4 或-4.∵点 P为直线l上的一个动点且不与点A，B重合，∴点P 的横坐标为-4，纵坐标为 点P的坐标为(-4,6)时,△BOP的面积是6. (3)存在满足条件的 P,Q.∵ OM⊥AB于M, 以 O,P,Q 为顶点的三角形与△OMP 全等时,∠OQP=90°. ①△OMP≌△PQO,∴ 或 即点 P的横坐标为如图②和图③， 点 P 的坐标为 或 ②△OMP≌△OQP,∴OQ=OM= 即点 P，点Q 的纵坐标为 或 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，如图④和图⑤， 解得 解得 点 P 的坐标为 或 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为 3.(1)∵直线l:y= mx+10m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,∴A(-10,0),B(0,10m).∵OA=OB,∴10m=10,即m=1,∴ 直线l的函数表达式为y=x+10. (2)①当点 Q 在线段AB 的延长线上时,如图①.∵AM⊥OQ,BN⊥OQ,∴∠AMO=∠BNO=90°,∴∠AOM+∠MAO=90°.∵ ∠AOM+∠BON = 90°, ∴ ∠MAO = ∠NOB. 在 △AMO 和 △ONB 中, ∴ △AMO≌△ONB(AAS),∴ AM=ON,OM=BN. ∵AM=8,BN=6,∴MN=ON+OM=AM+BN=14. ②当点Q在线段AB 上时,如图②.同①的方法得△AMO≌△ONB,∴AM=ON,OM=BN.∵AM=8,BN=6,∴MN=ON-OM=AM-BN=2.综上,MN的长为14或2. (3)PB 的长为定值.如图③所示,过点 E 作 EG⊥y轴于点 G. ∵△AEB是等腰直角三角形,∴ AB =EB,∠ABO+∠EBG = 90°. ∵EG⊥BG,∴∠GEB+∠EBG=90°,∴ ∠ABO=∠GEB.在△ABO 和 △BEG中 ∴△ABO≌△BEG(AAS),∴BG=AO= 10,OB=EG.∵△OBF是等腰直角三角形,∴OB=BF,∴ BF=EG.在 △BFP 和△GEP 中, ∴△BFP≌△GEP (AAS), ∴ PB 的长是定值. 4.(1)由题意可知点A,B 的坐标分别为(-m,0),(0,m),∴S△AOB= 解得 m=±4.∵ 点 B 在 y轴正半轴,即 m>0,∴m=4. (2)如图,作FG⊥y轴于点 G,由题意可知OC=3,设∠AEC=∠CDO=x°,则∠FCO=∠ACE=135°-x°,∠OCD = 90°-x°,∠DCF = 135°-x°-(90°-x°)= 45°,∴△CDF 为等腰直角三角形,∴ CD = DF.∵ ∠OCD +∠ODC =∠ODC+∠FDG=90°,∴∠OCD = ∠FDG.在△CDO 和△DFG 中, ∴ △CDO ≌△DFG(AAS).∴OD = FG=2,DG= CO = 3.∴OG=OD+DG=5.∴ F(-2,-5). (3)当点P落在AO边上时,由题意得0-2t=-2,解得t=1.当点 P 落在AB边上时,由题意得(-1-t)+m-2t=-2,由(1)可知m=4,解得 若点 P落在△ABO内部(不包含三角形的边)，则t的取值范围为 综合与实践 杆秤中的数学 (1)由题意得,当m=0时,10l=50a,∴l=5a. 当m=1000,y=50时,(10+1000)l=50(a+50),∴101l-5a=250, 解得 解析：由(1)知l=2.5,a=0.5,∴ 2.5(10+m)= ②5 解析: 当m=100时 相邻刻线间的距离是5厘米. (3)由图可知， 解得 ∴2.5(4+m)=10(a+y),当a+y=26时,2.5(4+m)=10×26,解得m=100.答：这把杆秤的最大可称重物质量是100克. $