第5章一 次 函 数专题提优训练　2025--2026学年苏科版八年级数学上册

第5章一 次 函 数 专题提优20 一次函数与面积问题 类型一点的坐标与面积 1.(2025·茂名期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+2的图象与x轴交点为A(-2，0)，与y轴交点为 B，且与正比例函数y= mx的图象交于点C(2,4). (1)求m的值及一次函数y=kx+2 的表达式； (2)若P是x轴上一点,且△PBC的面积是6,直接写出点 P 的坐标. 类型二 根据面积求直线的表达式 2.已知一次函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(0，-2)，且与两坐标轴围成三角形的面积为3，求此一次函数表达式. 类型三平分面积问题 3.(2025·毕节期末)如图，在平面直角坐标系中,过点 C(0,6)的直线AC与直线OA 相交于点A(4,2). (1)求直线AC的表达式. (2)求△OAC的面积. (3)动点 M 在线段 OA 和射线AC 上运动,是否存在点 M,使△OMC 的面积是△OAC 的面积的 ?若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 类型四 利用平行线转化面积 4.如图，直线AB的表达式为 交x轴、y轴分别于B,A两点,点 D 坐标为(-4,0),点C在线段AB上,CD交y轴于点 E. (1)求点A,B的坐标; (2)若CD=CB,求点 C 的坐标; (3)若△ACE 与△DOE 的面积相等,在直线AB上有点 P,满足△DOC 与△DPC 的面积相等，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 根据已知信息判断函数图象专题提优 21 函数图象信息问题 1.(温州中考)小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟.下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是 ( ) 2.半圆柱底面直径 BC 是高AB 的两倍，小虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路径从 B经E到D(E是上底面半圆中点)，则小虫爬行过程中离下底面的高度 h与爬行时间t之间的关系用图象表示最准确的是 ( ) 3.(天门中考)如图，边长分别为1和2 的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S₁，小正方形与大正方形重叠部分的面积为 S₂，若 则S随t变化的函数图象大致为 ( ) 4.(2024·徐州中考)小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是 ( ) A.小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B.小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C.小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D.小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 5.(2023·仙桃中考)如图,长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t，y₁表示铁桶中水面高度，y₂表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y₁，y₂随时间t变化的函数图象大致为 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二 根据函数图象判断图形 6.(淄博中考)从某容器口以均匀的速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为 ( ) 7.(贵阳中考)周末的早晨，王老师从家里出发去公园锻炼，她连续匀速走了60 min 后回到家，图中的折线OA-AB-BC 是她出发后所在位置离家的距离s(km)与行走时间t(min)之间的函数关系.则下列图形中可以大致描述王老师行走的路线的是 ( ) 8.已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的运动时间为x，线段 PM 的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是 ( ) 类型三根据函数图象提取信息 9.(南通中考改编)如图①，E为长方形ABCD 的边AD上一点，点P 从点B 出发沿折线B-E-D 运动到点D 停止，点Q 从点 B 出发沿BC运动到点 C停止，它们的运动速度都是 1 cm/s，现 P，Q 两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ 的面积为 y(cm²)，若y与x的对应关系如图②所示，则长方形ABCD 的面积是 ( ) 10.如图①,点P 从△ABC 的顶点 B 出发,沿B→C→A 匀速运动到点A，图②是点 P 运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 . 11.(2024·淄博中考改编)某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A 地匀速出发，甲健步走向 B 地.途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min 后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 20 min；②甲出发86 min 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m；③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min;④A,B 两地之间的距离是 11 200 m.其中正确的结论有 .(填序号) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 两直线平行专题提优22 坐标系中与直线有关的位置关系 1.一次函数的图象经过点A(-2，-1)，且与直线y=2x-3平行，则此函数的表达式为 () A. y=x+1 B. y=2x+3 C. y=2x-1 D. y=-2x-5 2.如图，在平面直角坐标系中，点A₁(1，1)在直线y=x上，过点A₁ 作y轴的平行线，交直线y=-x 于点 B₁,以线段A₁B₁为边在右侧作正方形A₁B₁C₁D₁,C₁D₁所在的直线交y=x的图象于点A₂，交y=-x的图象于点 B₂，再以线段A₂B₂为边在右侧作正方形A₂B₂C₂D₂……以此类推，按照图中反映的规律，第2 025个正方形的边长是 ( ) A.3²⁰²⁴ B.3²⁰²⁵ 3.(菏泽中考改编)如图①，在平面直角坐标系中，长方形ABCD 在第一象限，且BC∥x轴.直线y=2x+1 从原点 O 出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD 截得的线段长度为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b的函数图象如图②所示.那么长方形 ABCD的面积为 . 类型二 两直线轴对称 4.若直线l₁经过点(0,4)和点(3,-2),直线l₂与 l₁关于x轴对称，则l₂的表达式为 ( ) A. y=-2x-4 B. y=2x-4 5.改编题已知直线l₁的表达式为y=-x+3. (1)若直线l₂与直线l₁关于直线x=1 轴对称，则直线l₂的表达式为 ； (2)若直线l₃与直线l₁关于直线y=x对称，则直线 l₃的表达式为 . 类型三 两直线垂直 6.(自主招生)某学习小组利用平面直角坐标系研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b(k≠0)上的任意三点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 满足 经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y= kx+b(k≠0)上任意两点的坐标 都有 的值为k，其中k叫直线y=kx+b的斜率.如:P(1,3),Q(2,4)为直线y=x+2上两点,则 即直线y=x+2的斜率为1. (1)请你直接写出过E(2,3),F(4,-2)两点的直线的斜率 (2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值. ①如图①,直线 GH⊥GI 于点 G,G(1,3),H(-2,1),I(-1,6).请求出直线 GH 与直线 GI的斜率之积； ②直线l经过A(2,3),且与直线 垂直，求直线l的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图②,已知正方形 OKRS 的顶点 S 的坐标为(6,8),点 K,R在第二象限,OR 为正方形的对角线.过顶点 R 作 RT⊥OR 于点 R.求直线RT 的表达式. 类型四定点动直线 7.(内江中考)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点，已知直线y=tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t的取值范围是 ( ) C.1<t≤2 且t≠1 8.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线 l:y=-kx+k+1 与线段AB 相交,则 k 的取值范围是 . 类型五 动点定直线 9. 新考法 (2024·武汉期中)小明用几何画板作出一函数图象，若有点 在该函数图象上，则这样的点 P 有 个. 类型六 点到直线的距离 10.改编题已知平面直角坐标系中，点 P(x₀，y₀)和直线 Ax+ By+C=0(其中A,B不全为0),则点 P 到直线 Ax+By+C=0 的距离d 可用公式 来计算. 例如:求点 P(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离,因为A=4,B=3,C=-3,所以距离d= (1)点 M(3,4)到直线 的距离为 ； (2)如图，直线y=-x沿y轴向上平移1个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离； (3)若点 M(1,0)到直线x+y+C=0的距离为 ，求实数C 的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题提优20 一次函数与面积问题 1.(1)把C(2,4)代入y= mx得,4=2m,∴m=2.∵一次函数y= kx+2的图象与x轴交点为A(-2,0),∴-2k+2=0,∴k=1,∴直线AB的表达式为y=x+2. (2)点P 的坐标为(-8,0)或(4,0) 解析:把x=0代入y=x+2,得y=2,∴点B的坐标为(0,2).∵点P 是x轴上一点,且△BPC的面积为6 又∵点A 的坐标为(-2,0),∴点P 的坐标为(-8,0)或(4,0). 2.∵一次函数y= kx+b(k≠0)的图象过点(0,-2),∴b=-2. 设一次函数与x轴的交点是(a，0)，则 解得a=3或-3.把(3,0)代入y= kx-2,得3k-2=0,解得 则函数的表达式是 把(-3,0)代入y= kx-2,得-3k-2=0,解得 则函数的表达式是 则此一次函数表达式为 或 3.(1)设直线 AC 的表达式是 y= kx+b,根据题意得 解得 则直线AC的表达式是y=-x+6. (2)∵C(0,6),A(4,2),∴( (3)存在.设直线OA 的表达式是y= mx,则4m=2,解得 则直线OA 的表达式是 ·△OMC白的面积是△OAC的面积的 时，∴M到y轴的距离是- 点 M 的横坐标为2或-2..当M的横坐标是2时，在 中,当x=2时,y=1,则M的坐标是(2,1).在y=-x+6中,当x=2时,则y=4,则M的坐标是(2,4).则M的坐标是M₁(2,1)或M₂(2,4). 当M的横坐标是-2时,在y=-x+6中,当x=-2时,y=8,则M的坐标是(-2,8). 综上所述,M的坐标是(2,1)或(2,4)或(-2,8). 4.(1)当x=0时, ∴A(0,6). 当y=0时, 解得x=8,∴B(8,0). (2)过点 C作 CH⊥x轴于点 H,如图. ∵ ✗[8-(-4)]=6,∴OH=OB-BH=2.当x=2时 点C 的坐标为 (3)∵△ACE与△DOE的面积相等,∴△AOC 与△COD 的面积相等,连接AD.∴AD∥OC.设AD所在直线的表达式为y= kx+b,把A(0,6),D(-4,0)分别代入,得 解得 直线AD 的表达式为 直线 OC 的表达式为 解方程组 设 当点P在点C下方时， C与△DPC的面积相等， 解得 此时点P坐标为 当点 P 在点 C 上方时， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵△DOC与△DPC的面积相等, 8，解得 此时点P 坐标为 综上所述，点P 坐标为 或 专题提优21 函数图象信息问题 1. A 2. D解析：半圆柱的侧面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，小虫的最短爬行路线是B→E，然后在半圆柱的上底面上，沿线段ED 爬行即可，此时小虫离下底面的高度h 不变.由题意AE>AB，所以在小虫到达E之前，离下底面的高度 h是逐渐升高的，图形比较缓，故选 D. 3. A解析：由题意，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，初始时， 随着时间t的增加，S由大变小；直至大正方形覆盖住小正方形时， 保持不变；当小正方形逐渐露出大正方形时，S由小变大；直到大正方形和小正方形无重叠的部分，此时 综合四个选项中的图象可得选项 A 符合题意，故选 A. 4. C解析：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意.故选 C. 5. C解析：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，∴y₁从0开始，高度与注水时间成正比，当到达t₁时，铁桶中水满，∴高度不变，y₂表示水池中水面高度，从0到t₁，长方体水池中没有水，∴高度为0，t₁到t₂时注水从0开始.又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，∴注水高度y₂比y₁增长的慢，即倾斜程度低，t₂到t₃时注水底面积为长方体的底面积，∴注水高度y₂增长的更慢，即倾斜程度更低.∵长方体水池有水溢出一会儿为止，∴t₃到t₄时注水高度y₂不变.故选 C. 6. C 7. B解析：由图象知，随着t的增大，s的值的变化趋势：增→不变→减.对于选项A，随着t的增大，s的值的变化趋势：增→增→增，不符合题意；对于选项B，随着t的增大，s的值的变化趋势：增→不变→减，故此选项符合题意；对于选项C，随着t的增大，s的值的变化趋势：增→增→增，故此选项不符合题意；对于选项D，随着t的增大，s的值的变化趋势：增→增→减→减，故此选项不符合题意.故选B. 8. D解析：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C 选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的增大而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，点M在三边上的运动对应三段图象，且点M 在点 P 的对边上运动时，PM的长有最小值.故选 D. 9. C 解析:∵BE>AE,∴BE+ED>BC,∴点Q 先停止运动,从函数的图象和运动的过程可以得出△BPQ的面积变化分为三个阶段：第一阶段,点 P在BE上运动,点 Q 在BC上运动;第二阶段,点 P 在ED 上运动，点Q在BC上运动；第三阶段，点P在ED上运动，点Q 停止运动(与点C重合).当点P 运动到点E时,x=10,y=30,如图①,过点E作 EH⊥BC 于点 H，由三角形面积公式得 EH=30,解得 8(cm),由图②可知当x=14时,点 P 与点 D 重合,即 ED=4 cm,∴AD=AE+DE=8+4=12(cm),∴长方形ABCD 的面积为12×6=72(cm²). 10.84 解析：由图象分析可得，当点 P在BC上运动时，BP 不断增大，到达点C时,BP达到最大值,此时BP=BC=15.当点 P 在CA上运动时，BP先减小再增大，在此过程中，BP⊥AC时，此位置记为P'，BP 有最小值为 BP'=12,由勾股定理可得 CP'=9.点 P 到达点A时,可得BA=13,由勾股定理可得AP'=5.∴AC=AP'+CP'=5+9= 11.①②④ 解析:乙比甲晚出发30 min,且当x=50时,y=0,∴乙出发50-30=20(min)时，两人第一次相遇，即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20 min，结论①正确；②观察函数图象，可知当x=86时,y取得最大值,最大值为3 600,∴ 甲出发86 min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确；③设甲的速度为xm/ min,乙的速度为 y m/ min,根据题意得 ((86-10))-(86-30),5-(86-10),x=3600,#解得 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后 98 min，结论③错误;④∵200×(86-30)=11 200(m),∴A,B两地之间的距离是11 200 m，结论④正确.综上所述，正确的结论有①②④. 专题提优22 坐标系中与直线有关的位置关系 1. B 2. C解析:由题意,,A₁(1,1),B₁(1,-1),∴A₁B₁=2,∴第一个正方形的边长为2,∴A₁D₁=2,∴A₂(3,3),B₂(3,-3),∴A₂B₂=2×3=6,∴第二个正方形的边长为6,∴A₂D₂=6,∴A₃(9,9),B₃(9,-9),即A₃(3²,3²), B₃(3²,-3²),∴A₃B₃=2×3²=18,∴第三个正方形的边长为18,…,可得 ∴第2025个正方形的边长为 故选 C. 3.8解析：如图，过点 B，D分别作直线y=2x+1的平行线,交AD,BC 于点 E,F.由图象和题意可得AE=4-3=1,CF=8- 则 CF=3+1=4,∴长方形ABCD 的面积为AB·BC=2×4=8. 4. B 5.(1)y=x+1 (2)y=-x+3 解析:(1)直线y=-x+3经过(0,3),(3,0).这两点关于直线x=1轴对称的点分别为(2，3)，(-1，0)，则直线l₁关于直线x=1轴对称的直线l₂经过这两点，可得直线l₂表达式为y=x+1. (2)直线y=-x+3经过(0,3),(3,0).这两点关于直线y=x对称的点为(3,0),(0,3),故对称后的直线仍为y=-x+3. (2)①∵G(1,3),H(-2,1),I(-1,6),∴ ②设直线l的表达式为y=ax+b，∵直线l与直线 垂直， 解得a=3,则y=3x+b.将A(2,3)代入y=3x+b,得3=3×2+b,解得b=-3,∴ 直线l的表达式为y=3x-3. (3)如图,过点K作KM⊥x轴于点 M,过点S作SN⊥x轴于点 N,连接 KS 交 OR 于点 J.∵S(6,8),∴ ON=6,SN=8.∵ 四边形OKRS是正方形,∴ OK = OS,∠KRS = ∠KOS =∠KMO = ∠SNO = 90°, KJ = JS, JR = JO,∴∠KOM+∠SON = 90°,∠SON+∠OSN =90°, ∴ ∠KOM = ∠OSN, ∴ △OMK ≌△SNO(AAS),∴KM=ON=6,OM=SN=8,∴ K(-8,6).∵ KJ=JS,∴J(-1,7).∵ JR=OJ,∴ R(-2,14),∴koR= =-7.∵ RT⊥OR, 设直线 RT 的表达式为 把(-2,14)代入可得 解得 直线 RT的表达式为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 归纳总结 (1)斜率k与平面直角坐标系中直线之间的位置关系： ①直线y= kx+b(k≠0)上任意两点 M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)(x₁≠x₂),都有 ②若直线 与直线 平行，则 ③若直线 与直线 垂直，则 (2)平面直角坐标系中直线的几何变换： 平移 直线y=kx+b平移前后 k不变，遵循“左加右减，上加下减”的规律 对称 直线y=kx+b关于y轴对称后的直线为y=-kx+b; 直线y=kx+b关于x轴对称后的直线为y=-kx-b; 直线y= kx+b(k≠0)关于直线y=x对称后的直线为y= 直线y= kx+b(k≠0)关于直线y=-x对称后的直线为y= 若直线斜率为k，关于它对称的两条直线斜率分别为a和b，则满足 旋转 直线y= kx+b(k≠0)绕直线上的点旋转 90°后,k 变为 直线y=kx+b 绕直线上的点逆时针旋转45°后，k变为 顺时针旋转45°后，k变为 (此处要避免k=1和-1两种特殊情况) 7. D 解析:∵y= tx+2t+2=t(x+2)+2(t>0),∴直线y= tx+2t+2(t>0)经过点(-2,2).如图,当直线经过点(0,3)时,直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则3=2t+2,解得 当直线经过点(0,6)时,直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则6=2t+2,解得t=2;当直线经过点(0,4)时,直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，则4=2t+2,解得t=1;∴直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t的取值范围是 t≤2且t≠1. 或.k≥4 解析:如图,直线ll:y=-kx+k+1=k(1-x)+1经过定点C(1,1),当直线l经过点B(-3,-2)时,直线 BC 的表达式为y= 结合图形知 当直线l经过点A(2,-3)时,直线AC的表达式为y=-4x+5,,结合图形知-k≤-4,∴k≥4.综上可知 或k≥4. 9.2 解析:∵ ，将点 P 看作是直线 上的点，令 则 令 则y=0,则直线 过点 (1，0)，如图，作出函数图象，则点 在该函数图象上有2个. 10.(1)4 解析:∵ 可变形为3x+4y-5=0,则其中A=3,B=4,C=-5,由公式得 点 M(3,4)到直线 的距离为4. (2)平移后的直线表达式为y=-x+1，在直线y=-x上任意取一点P,当x=0时,y=0.∴P(0,0).∵直线y=-x+1,∴x+y-1=0,A=1, 两平行线之间的距离为 .(注：八下将会学习二次根式的运算， (3)由点到直线的距离公式得 解得C=1或C=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $