精品解析：辽宁省铁岭市昌图县七家子中学2024-2025学年下学期八年级月考数学试卷

数学学科练习 一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. C. 和面积相等 D. 3. 函数图象上有两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 9. 已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 10. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 12. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ___________． 14. 已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为(4，4)． （1）直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝_____； （2）若直线y＝mx﹣2与正方形ABCO的边有两个公共点，则m的取值范围是_____． 16. 如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，正确的有：______． 结论①：始终是等腰直角三角形； 结论②：面积的最小值是2； 结论③：四边形OECF的面积始终是8． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 下面是亮亮同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第四步 第二步 第五步 第三步 所以，， 第六步 （1）任务一：填空：上述亮亮同学解此一元二次方程的方法是______，第______步开始出现错误； （2）任务二：请你直接写出该方程的正确解． 19. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F．求证：． 20. 已知直线经过点，且与直线的图象相交于点． （1）直接写出a的值； （2）求直线的表达式； （3）过动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D．当点C总在点D上方时，直接写出n的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 22. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克元； 小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？ 23. 新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 24. 如图①所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P，Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． （1）当t为何值时，的面积为? （2）求出的面积S和时间t的关系式，并直接写出t为何值时，的面积S有最大值? （3）如图②，连接，作点Q绕点P顺时针旋转的对应点，连接． ①的形状为_______三角形； ②当点在四边形内部时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科练习 一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．中含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D．不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. C. 和面积相等 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积等知识点，掌握平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对边相等成为解题的关键． 根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得B错误，C正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确． 【详解】解：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意； B．∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴，故说法正确，故本选项不合题意； C．如图：过A作， ∵， ∴和面积相等，说法正确，故本选项不合题意； D．，则该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3. 函数图象上有两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据得出函数值随的增大而减小，再根据，即可比较与的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．利用矩形和菱形的性质逐项判定即可． 【详解】解：A中，对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； B中，对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； C中，对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； D中，对角线相等，菱形不一定具有而矩形具有，故符合题意； 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线． 依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 7. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 8. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，先由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：菱形的对角线与相交于点，，， ，，， ， 为边的中点， ， 故选：C． 9. 已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出是解此题的关键．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，求出，再根据题意得出，，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式， ∴，， ∴，， 即印刷不清的数字是2， 故选：A． 10. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，三角形的内角定理以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式求出，再根据等腰三角形的性质求出，即可解答． 【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以， ∵正五边形的每条边相等， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：B． 11. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 12. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 二、填空题 13. 用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 14. 已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是， ， 整理得， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为(4，4)． （1）直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝_____； （2）若直线y＝mx﹣2与正方形ABCO的边有两个公共点，则m的取值范围是_____． 【答案】 ①. 2 ②. m 【解析】 【分析】（1）只有过正方形对角线交点的直线，才能把正方形分成面积相等的两部分．点B的坐标为(4，4)，则y＝mx﹣2经过点(2，2)，代入直线解析式得m＝2； （2）根据题意得到C(4，0)，把C(4，0)代入y＝mx﹣2求得m＝，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分， ∴直线必经过正方形的中心， ∵点B的坐标为(4，4)， ∴中心为(2，2)，代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝2； 故答案为：2 （2）∵四边形ABCO是正方形，点B的坐标为(4，4)， ∴C(4，0)， 把C(4，0)代入y＝mx﹣2得4m﹣2＝0， ∴m＝， ∴当m＞时，直线y＝mx﹣2与正方形ABCO的边有两个公共点， 故答案为：m＞． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，正确的有：______． 结论①：始终是等腰直角三角形； 结论②：面积的最小值是2； 结论③：四边形OECF的面积始终是8． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． ①由题意易证得，则可证得结论①正确； ②由的最小值是到的距离，即可求得的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项②正确； ③由，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项③正确． 【详解】解：四边形是正方形，，相交于点， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 故①正确； 当时，最小，此时， 面积的最小值是， 故②正确； ， ， 故③错误； 故答案为：①②． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， 解得，； 18. 下面是亮亮同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第四步 第二步 第五步 第三步 所以，， 第六步 （1）任务一：填空：上述亮亮同学解此一元二次方程的方法是______，第______步开始出现错误； （2）任务二：请你直接写出该方程的正确解． 【答案】（1）配方法，二 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键． 任务一：根据题意∶ 亮亮同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，在第二步配方时，方程左边忘记减去； 任务二：根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可． 【小问1详解】 解：亮亮同学解此一元二次方程的方法是配方法，第二步开始出现错误； 故答案为：配方法，二 【小问2详解】 解： 所以，，． 19. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形性质和判定，根据题意可得，再利用全等三角形判定，继而得到本题答案． 【详解】略 20. 已知直线经过点，且与直线的图象相交于点． （1）直接写出a的值； （2）求直线的表达式； （3）过动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D．当点C总在点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了点在函数图象上的意义，待定系数法，利用函数图象比较大小；掌握解法，理解由上方的点对应函数值较大是解题的关键； （1）将代入，即可求解； （2）将，代入，即可求解； （3）由已知条件得，，由上方的点对应函数值较大，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得： ， ； 【小问2详解】 解：将，代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为：； 【小问3详解】 解：动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D， ，， 点C总在点D上方时， ， 解得：． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 22. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克元； 小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？ 【答案】这种水果的储售价为每千克29元 【解析】 【分析】设每千克降低元，超市每天可获得销售利润元，根据利润=单个的利润×销售量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得， ， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为元千克． 答：这种水果的储售价为每千克元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1） 矩形的周长为： ， 矩形的周长为： ， 矩形 的周长 矩形的周长． 矩形的面积为： ， 矩形的面积为： ， 矩形的面积 矩形 的面积． 矩形是矩形的“减半”矩形． （2） 该矩形不存在“减半”矩形， 若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，， 原矩形的长和宽分别为，， 由题可知： 由①得： 将 代入②得： 即 方程 无解． 该矩形不存在“减半”矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用； （1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解； （2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图①所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P，Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． （1）当t为何值时，的面积为? （2）求出的面积S和时间t的关系式，并直接写出t为何值时，的面积S有最大值? （3）如图②，连接，作点Q绕点P顺时针旋转的对应点，连接． ①的形状为_______三角形； ②当点在四边形内部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2），时，的面积最大 （3）①等腰直角；② 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、二次函数性质、全等三角形的判定与性质及一元二次方程的应用， （1）根据矩形性质列一元二次方程求解即可解决； （2）先列出二次函数表达式，再根据性质求出最值即可； （3）①根据旋转性质直接求出结论；②过点作垂足为H，先证明，求出当时，点B与点H重合，此时，进而求出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴当或时，的面积为； 【小问2详解】 解：由（1）得的面积， ∵， ∴时，的面积最大； 【小问3详解】 解：①由旋转的性质即可得，， ∴的形状为等腰直角三角形； ②过点作垂足为H， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图，当时，点B与点H重合， 此时，点在上，则， 解得：； 如图，当时，点在四边形内部， ∴点在四边形内部时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $