专题02 一元二次函数、方程与不等式 3大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程与不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 2．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 5．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知，，则（   ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最大值是8 D．的最大值是 6．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 7．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知实数 ，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·浙江强基联盟·)下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 10．(23-24高一上·浙江台州温岭中学·)已知，，，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 11．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)若，，则的取值范围 . 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知函数，恒成立，则的取值可以为（    ） A． B．2 C．5 D．8 5．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若关于的不等式的解集为，则（   ） A．的解集为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 6．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ． 7．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)已知，集合，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 四、解答题 8．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)常数，函数 (1)若，解关于的不等式； (2)若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 9．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)（1）计算； （2）解不等式； （3）已知，求的值. 10．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． (1)若，求关于的方程的解； (2)求关于的不等式的解集； (3)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 11．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 12．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知二次函数． (1)若，的解集为，求； (2)，方程的两根为，求的最小值．   13．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)已知集合，，全集 (1)求：； (2)若，且，求m的取值范围. (3)若，且，求a的值. 14．(20-21高一下·浙江衢州·期末)已知集合， . （1）若，求； （2）设；， 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15．(22-23高一上·浙江湖州·期末)已知函数，． (1)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求m的取值范围； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 地 城 考点03 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)设，则的最小值为（     ） A．81 B．27 C．9 D．3 3．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知，为正数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 5．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 6．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为1 8．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)下列为真命题的是（   ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 9．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知，则下列说法正确的有（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为25 D．有最小值为 三、填空题 10．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)已知，若，，则的最小值为 . 11．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 12．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知函数的图象经过点，其中且.则在的最小值为 . 13．(24-25高一上·浙江八校·期中)已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 14．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知，，，则的最小值为 ． 15．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 四、解答题 16．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知函数，满足． (1)求函数图象的对称中心； (2)当时，求的最小值； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 17．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)随着环保观念深入人心，自本世纪10年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本8000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式； (2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知正实数、和实数满足. (1)若，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围. 19．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 20．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程与不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式 考点03 基本不等式 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】分别举出反例即可判断ABD，从而得到结果，根据不等式性质判断C. 【详解】对于A，令，满足， 但是，故A错误； 对于B，令，则，即不成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 即，故C正确； 对于D，令，则，满足，但是不成立， 故D错误； 故选：C 2．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，由，则，故A错误； 对于B，由，，则，由，则，所以，故B正确； 对于C，由B可知，由，则，所以，故C错误； 对于D，由，则，当时，，故D错误. 故选：B. 3．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质平方化简可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 对于A，当，则，故错误， 对于B，当，则，故错误， 对于C，，故C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：C 4．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据不等式性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且，所以，故B正确； 对于选项C：例如，满足题意，但，故C错误； 对于选项D：若，则， 所以，故D错误； 故选：B. 二、多选题 5．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知，，则（   ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最大值是8 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】通过不等式的性质来分别分析每个选项中的表达式的取值范围即可得到结果. 【详解】对于A，，则，又， 所以，所以的最小值是5，故该选项错误； 对于B，，则，又， 所以，所以的最小值是1，该选项正确； 对于C，因为，，所以，即， 所以的最大值是8，该选项正确； 对于D，，则，又，所以， 所以，所以的最大值是，该选项正确； 故选：BCD. 6．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断；对于D：利用作差法分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，， 即，故A错误； 对于选项B：因为，，则， 可得，所以，故B正确； 对于选项C：例如，则，， 即，故C错误； 对于选项D：因为， 且，则， 可得，即，故D正确； 故选：BD. 7．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知实数 ，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断B；作差判断CD. 【详解】实数 对于A，，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：C 8．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 故选：AD 9．(24-25高一上·浙江强基联盟·)下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断AC，应用做差法判断B，应用不等式的性质判断D. 【详解】对于A：当时，，A选项错误； 对于B：，因为 ， 所以，B选项正确； 对于C：若，则，C选项错误； 对于D：若，，则，即得，D选项正确. 故选：BD. 10．(23-24高一上·浙江台州温岭中学·)已知，，，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确； 选项B，由得，又因为， 所以，所以，故选项B正确； 选项C，因为，所以，所以， 因为，所以两边同乘得，故选项C正确； 选项D，因为，，， 所以，即，故选项D不正确； 故选：ABC． 11．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由不等式的性质可判断ABC，作差可判断D. 【详解】对于A：当时，，故错误； 对于B：由可得：，所以，正确； 对于C：因为，故，所以，正确； 对于D：， 因为，所以， 所以，正确， 故选：BCD 三、填空题 12．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)若，，则的取值范围 . 【答案】 【分析】应用不等式性质计算即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】∵， ∴，又， 所以不等式的解为或． 故选：C． 2．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解集先求解出的值，然后代入计算即可. 【详解】因为的解集为， 所以，解得， 所以， 解得或，所以解集为， 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知函数，恒成立，则的取值可以为（    ） A． B．2 C．5 D．8 【答案】BC 【分析】求出和，得到，将不等式恒成立问题转化为求解一元二次不等式即可. 【详解】的定义域为， 因为 ， 所以， 所以， 所以，即， 所以恒成立， 即恒成立，解得. 故选：BC. 5．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若关于的不等式的解集为，则（   ） A．的解集为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】由题可得，对于A，代入解二次不等式即可；对于B利用函数的单调性求的范围；对于C，D，代入利用基本不等式可求解. 【详解】由题可得是方程的两个根，， 对于A，不等式化为，解得，故A正确； 对于B，，令， 又，则在单调递减，则，即，没有最小值，故B错误； 对于C，D，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，没有最小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题 6．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像， 然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】关于的不等式在上有解， 即关于的不等式在上有解， 作出两函数与的图像，如下图：    当与相切时，则，即， 由，解得：； 当过点时，得. 由图可知，，因此实数的取值范围为. 故答案为： 7．(24-25高一上·浙江钱塘联盟·期中)已知，集合，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论整数解的正负性，结合二次函数性质列式求解. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，且， 当中有负整数时，若负整数小于等于， 根据对称性可知：也符合题意，此时整数集不止2个， 所以恰有2个整数只能为， 则，解得； 当中没有负整数时，则恰有2个整数， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)常数，函数 (1)若，解关于的不等式； (2)若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）由题意可得，分类讨论两根大小，结合二次不等式的解法可得所求解集； （2）分析可知存在，对恒成立，可得，根据函数单调性以及恒成立问题运算求解. 【详解】（1）若，则， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）因为时，恒成立， 等价于对恒成立， 即存在实数m，使得对恒成立， 可知， 当时，由在内单调递减， 当时，，当时，， 则，解得， 所以的最小值为. 9．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)（1）计算； （2）解不等式； （3）已知，求的值. 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质求解； （2）根据一元二不等式的解法求解即可； （3）先对两边平方化简求出，再平方化简求出，然后代入计算求解. 【详解】（1）原式= （2）由，得 解得， 因为抛物线开口向上， 所以不等式的解集为或者 （3）因为， 所以 所以 所以 10．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． (1)若，求关于的方程的解； (2)求关于的不等式的解集； (3)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解； （2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集； （3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围. 【详解】（1）①，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ②，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ③，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． 综上所述，若，关于的方程的解为或或． （2）①，此时，，，此时不等式恒成立． ②，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ③，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ④，此时，，，此时不等式无解． 综上所述，关于的不等式的解集为． （3）①，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，则，又， ，当且仅当时等号成立， ，． ②，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，， 令，， 则， ，且， 则， 又，则，，， ，故在上单调递减． 即在上单调递减． ，．又， 综上所述，． 11．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程根之间的关系，可得，即可由因式分解求解不等式的解， （2）利用因式分解即可求解. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，且，是方程的两根， 则，解得， 则有，所以，解得或 故不等式的解集为或 （2）由（1）可知：， 故不等式， 即，又，∴不等式， 方程的两根为，， 又，得， ∴不等式解集为． 12．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知二次函数． (1)若，的解集为，求； (2)，方程的两根为，求的最小值．   【答案】(1)，． (2)3 【分析】（1）利用“三个二次”的关系和韦达定理即可求得的值； （2）由韦达定理推得，将条件变形后代入，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】（1）当时，依题可知的解是或， 由韦达定理可知，，解得，； （2）由和韦达定理可得，，且， 则（*）， 由，可知，且， 由（*）式可得：． 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为3． 13．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)已知集合，，全集 (1)求：； (2)若，且，求m的取值范围. (3)若，且，求a的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由一元二次不等式和分式不等式的解法求出集合，再由集合的运算求出即可； （2）讨论是否为空集时，列不等式求解即可； （3）由二次函数的性质和一元二次方程的关系求解即可； 【详解】（1），或，， ，， （2）∵，∴. （ⅰ）当时，，得. （ⅱ）当时，，解得. 综上所述，. （3）∵，∴， 又∵，∴方程的两个根都在内. ∴令，则， 解得. 14．(20-21高一下·浙江衢州·期末)已知集合， . （1）若，求； （2）设；， 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）解不等式求出集合，再与集合进行交集运算即可求解； （2）由题意可得是的真子集，由可得：，讨论和的大小关系，解得集合，列不等式解之即可求解. 【详解】（1） 当时 因为，所以. （2）；， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由可得： 方程的两根为和， 当时，，此时不符合题意； 当时，，此时不符合题意； 当时，，若是的真子集， 则解得： 所以实数的取值范围为. 15．(22-23高一上·浙江湖州·期末)已知函数，． (1)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求m的取值范围； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围； （2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围； （3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解． 【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得． （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 地 城 考点03 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 2．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)设，则的最小值为（     ） A．81 B．27 C．9 D．3 【答案】B 【分析】根据基本不等式的乘“1”法，即可求解. 【详解】由于，故， 故 ， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为， 故选：B 3．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，， 且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知，为正数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】对于A，对平方后利用基本不等式分析判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于C，由于，再结合基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：BC 5．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据幂函数所过点求解析式，进而判断其奇偶性、单调性，依次判断各项正误. 【详解】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数， 且在上单调递增，A对，B错， 当，则，C对； 当，则， 所以，即，D对. 故选：ACD 6．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将通分计算，即可判断A，由基本不等式代入计算，即可判断BC，由基本不等式代入计算，结合选项B，即可判断D 【详解】对于A，由题，即，故A正确： 对于B，a，b为正数，为正数，，所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，a，b为正数，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，a，b为正数，，当且仅当时，等号成立.故D正确. 故选：ACD 7．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】BC 【分析】对于A、B，利用基本不等式，结合题目中的等式与一元二次不等式，可得答案； 对于C、D，整理等式，可得所求代数式的函数解析式，利用基本不等式与不等式性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得， ，可得，， 解得或，综上可得，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，则， 由，则，解得， ，可得， ，解得或， 综上可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由，则，由，则，解得， 由题意可得，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由A可知，当且仅当时，等号成立，且， ，由，则，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 8．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)下列为真命题的是（   ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 【答案】BC 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令，结合对勾函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：令，则，可知函数的最小值不为2，故A错误； 对于选项B：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为3，故B正确； 对于选项C：因为在内单调递增， 可知函数在内单调递增，且当时，， 所以函数的最大值为1，故C正确； 对于选项D：令，可得， 可知在内单调递增，且当时，， 所以函数的最小值为，故D错误； 故选：BC. 9．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知，则下列说法正确的有（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为25 D．有最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，即可判断A、C，利用乘“1”法及基本不等式判断B，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号，所以有最大值为，故A正确； 对于B：因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，， 又，所以无法取等号，故B错误； 对于C：， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，所以有最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)已知，若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意分析可得，，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为， 若，，可知， 则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．(24-25高一上·浙江杭州西湖区杭师大附中·期中)若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 12．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知函数的图象经过点，其中且.则在的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据函数经过的点可得，然后根据基本不等式，结合指数函数的性质即可求解. 【详解】的图象经过点，故， 故，解得， 因此， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 故， 故答案为： 13．(24-25高一上·浙江八校·期中)已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 【答案】16 【详解】根据指数型函数定点问题，求，再结合基本不等式求最值. 因为且过定点， 则，， 若且， 则 ， 当且仅当 且，即， 时取等号． 所以的最小值为16. 故答案为：16 14．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件得出，将所求代数式变形为，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，则，， 因为，则，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 15．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 【答案】 【分析】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为， 所以，矩形广告的总面积为 ， 当且仅当时，即当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题 16．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)已知函数，满足． (1)求函数图象的对称中心； (2)当时，求的最小值； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据给定的函数，利用中心对称的定义求出对称中心. （2）探讨函数的单调性，并求出值域，再利用基本不等式求出最小值. （3）求出在上的值域，结合已知可得，借助对勾函数分类讨论求出最值并列式求解. 【详解】（1）函数中，， ， 所以函数图象的对称中心为. （2）依题意，函数， 即，解得， 函数在上单调递减， 函数在上单调递减，因此， 当时，， 当且仅当，即，时取等号， 所以当时，取得最小值. （3）对任意实数，恒成立， 等价于， 由（1）知，函数在上单调递减， 当时，， 令，， 而函数在上递减，在上递增， 当时，在上单调递减， ， 因此，得，与矛盾，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 于是，即，解得； 当时，在上单调递增，则， 即，解得，无解， 所以实数的取值范围. 17．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)随着环保观念深入人心，自本世纪10年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本8000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式； (2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2024年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据利润与产量、成本之间的关系，写出分段函数的解析式即可； （2）分别根据二次函数、均值不等式求函数在每一段的最值，比较大小即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时， ， 所以； （2）当时，， 所以当时，有最大值，为； 当时， ， 当且仅当即时，有最大值为， 所以当时，有最大值为. 综上所述：2024年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元. 18．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知正实数、和实数满足. (1)若，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）由已知可出，分、、三种情况讨论，利用基本不等式求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 又因为、为正实数，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. （2）因为正实数、和实数满足， 当时，则，此时的最大值为； 当时，即当时， ， 可得，即，不合乎题意； 当时，即当时， ， 若存在最小值，则，可得，即时， 则，，此时存在最大值. 综上所述，若存在最大值，则的取值范围是. 19．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少 【分析】（1）根据宣传栏的面积列出解析式； （2）结合基本不等式求解出海报面积的最小值即的最小值； 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. （2）由（1）知，即，     ，由基本不等式可得，       令，则， 解得（舍去）或. ，当且仅当，即时等号成立， ∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 20．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 试卷第1页，共3页 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $