精品解析：四川省绵阳市丰谷中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

2025-2026学年度绵阳市丰谷中学高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只需要交回你的答题卡，试卷请自行保管． 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 设集合，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D.  2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 3. 设向量，则（ ） A. B. 与同向 C. 与反向 D. 是单位向量 4. 有一组实验数据如下表所示： 19 3.0 4.0 51 6.1 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A. B. C. D. 5. 圆和圆交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，关于数列有下述四个结论： ①数列为等比数列；②； ③；④若为数列的前项和，则. 其中所有正确结论的编号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 7. 用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 二、多选题：本大题共3小题，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分． 9. 如图，AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，则圆O上存在点M使（ ） A. B. 平面SBC C. D. 平面SBC 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为 B. 以AB为直径的圆与准线相切 C. 线段AB长度的最小值是 D. 的取值范围为 11. 已知的内角所对边的长分别为，已知为的外心，，的面积满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 13. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 14. 已知且时，恒成立，则最小值是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P、Q两点，求的面积. 16. 如图，且AD＝2BC＝2，，平面平面ABCD，四边形ADGE为矩形，且CD＝2FG＝2． （1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； （2）若CF与平面ABCD所成角的正切值为2，求直线AD到平面EBC的距离． 17. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列． （1）求数列和的通项公式． （2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若__，求数列的前项和． 18. 1.已知函数. （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间； （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分. ①若恒成立，求的取值范围. ②若仅有两个零点，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，设，若在中，唯一最大的数是，试求的值； （2）化简； （3）当时，定义：，化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度绵阳市丰谷中学高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，只需要交回你的答题卡，试卷请自行保管． 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 设集合，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D.  【答案】B 【解析】 【分析】对于ABD，先求出，再判断其与的关系，对于C，求出，再判断其与的关系. 【详解】因为集合， 所以， 因此， 所以AD不正确，B正确. 又因为，所以C不正确. 故选：B. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，可判断BC错误，再由模长公式计算可得A错误，由复数的几何意义可判断D正确. 【详解】依题意可得, 对于A，复数模为，可知A错误， 对于B，易知复数的共轭复数为，可得B错误； 对于C，显然的虚部为，可得C错误， 对于D，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，即D正确. 故选：D 3. 设向量，则（ ） A. B. 与同向 C. 与反向 D. 是单位向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算计算可得； 【详解】解：因为 所以， 因为，所以A错误； 因为 所以，所以D错误；因为，所以B错误，C正确. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量的平行与垂直的判定以及单位向量的概念，考查推理论证能力，属于基础题. 4. 有一组实验数据如下表所示： 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0 现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出实验数据的散点图，结合各选项中的函数特征可得的选项. 【详解】实验数据的散点图如图所示： 4个选项中的函数，只有B符合， 故选：B. 5. 圆和圆交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆的方程相减，得直线AB的方程，根据两直线的位置关系知所求垂直平分线的斜率，结合圆心坐标和直线的点斜式方程即可求解. 【详解】将两圆的方程相减，得直线AB的方程， 则线段AB的垂直平分线的斜率为， 由两圆的方程知，两圆的圆心分别为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为， 即. 故选：C 6. 已知数列满足，，关于数列有下述四个结论： ①数列为等比数列；②； ③；④若为数列的前项和，则. 其中所有正确结论的编号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，将条件进行变形即可构造数列；对于②，由①用累加法即可求数列的通项；对于③，由①得，即可判断；对于④，由②利用分组求和即可得到. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以数列为等比数列,所以①正确; 又因为， 所以， 因为， 所以， 所以,故③正确； 由累加法得,所以②错误； 由分组求和得,所以④正确. 故选：C. 7. 用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： ①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种， 然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择， 此时共有种； ②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种， 然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点， 若点与点同色，则点只有一种颜色可选， 若点与点同色，则点有两种颜色可选， 此时共有种； ③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种， 点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择， 此时共有. 由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法. 故选：D. 8. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点，极值，单调性，最值和导函数的关系，求出函数单调性，判断零点和极值点，和函数最大值，依次判断各选项正误. 【详解】已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，，所以A正确； 当时，，当时，且， 所以只有一个零点，且零点在之间，所以B错误； 已知，，可得， 因为在上单调递减，所以，所以，所以C正确； 当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，所以，所以D正确. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，共18分，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分． 9. 如图，AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，则圆O上存在点M使（ ） A. B. 平面SBC C. D. 平面SBC 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法的思想可判断AD不成立，通过面面平行可判断B，通过线面垂直可判断C. 【详解】假设存在点M使，所以四点共面， 又因为，所以面， 易得点为面和面的公共点， 所以三点共线，与题意矛盾， 故不存在点M使，即A错误； 过作，交劣弧与点，连接， 由于分别为的中点，所以， 由于面，面，所以面，面， 又因为，所以面面， 由于面，所以面，即B正确； 点的位置同选项B， 由于为直径，所以，即, 由圆锥易得，， 所以面，所以，即C正确； 假设在点M使面SBC，所以， 又因为，，所以面， 故面SBC应与面平行，与题意显然不符，即D错误； 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为 B. 以AB为直径的圆与准线相切 C. 线段AB长度的最小值是 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的定义和焦半径公式，列出方程求得，可判定A不正确；分别过点，作准线的垂线，由抛物线的定义和梯形的中位线，得到圆心到准线的距离等于半径，可判定B正确；根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定C正确；设直线的方程为，联立方程组，求得，结合，可判定D正确. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A中，由抛物线上的点到点的距离为，抛物线的定义，可得， 解得，所以抛物线的方程为，所以A不正确； 对于B中，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，如图所示， 则线段的中点为到准线的距离为 根据抛物线的定义，可得，所以， 所以，即圆心到准线的距离等于圆的半径， 即以AB为直径的圆与准线相切，所以B正确； 设，由抛物线的定义，可得， 当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为， 联立方程组，解得，此时 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，所以， 综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确； 设直线的方程为，联立方程组，整理得， 可得， 则，则 则点到的距离为， 所以， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】解决直线与抛物线的弦及弦长问题的常用方法： 1、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用抛物线的焦点弦公式，若不过焦点，则用圆锥曲线的一般弦长公式求解； 2、涉及到抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代换”等解法. 11. 已知的内角所对边的长分别为，已知为的外心，，的面积满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式可得，利用两角差的正弦公式可得，根据为三角形的内角可得.再根据三角形的面积公式可求出三角形面积，知A正确；利用余弦定理求出，再根据正弦定理可求出，知B不正确；根据为三角形的外心可求出和，由此可求出，知C不正确；将两边分别同时乘以和，得到两个方程，解方程组可得，知D正确. 【详解】由得， 得，得，得， 得，因为，所以， 所以，所以， 所以，故A正确； 由余弦定理得，所以， 所以，所以，故B不正确； 因为， 所以， ， 所以，故C不正确； 又，所以，即， ，所以，所以， 联立，解得，所以，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：利用余弦定理、正弦定理、三角形面积公式、平面向量数量积的定义求解是解题关键. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 因为与的夹角为钝角，所以 所以，解得：， 且与不反向共线， 即，解得：， 综上：， 故答案为：. 13. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用频率代替概率和古典概型概率公式计算即可判断①；利用平均数计算公式求得的值，再用方差公式计算即可判断②；利用百分位数概念计算判断③；利用极差定义计算判断④. 【详解】对于①，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本， 则某个个体被抽到的概率是，故①正确； 对于②，由这组数据1，2，m，6，7的平均数为4，可得，解得， 则数据为的方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23按从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30， 因，故第70百分位数是顺数第六个数，即23，故③正确； 对于④，样本的极差为，故④正确. 故答案为：①③④. 14. 已知且时，恒成立，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】构造函数，由题可得，求导可得，使，利用换元法，则可转化为，结合导数即可求解． 【详解】解：设，，，由题可得 ， 当时，． 设，，则且不恒零， 即在上单调递增，故． 当时，，即且不恒为零，在上单调递增， 故，满足题意． 当，，， 则，使，即． 当时，，即． 当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增， 则． 记，令， ，则在上单调递减， 由且，知，即，故 设，，则， 故在上单调递减，故， 因此实数的最小值是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键就是利用导数分析函数的单调性，将问题转化为，在求实数的取值范围时，充分利用了函数极值点所满足的条件，将转化为函数的值域，结合导数法来求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P、Q两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用焦半径公式求解即可； (2)根据(1)中算得的方程,设直线,再联立方程求解对应的二次方程,再根据韦达定理与弦长公式计算与到直线的距离,进而求得面积即可. 【详解】解：（1）,即C的方程为； （2）将点A代入方程：,即，. 又直线，联立方程,消y得：， 设,，则,， ， 又点到直线的距离，. 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的焦半径公式与联立直线与抛物线方程求解三角形面积的方法,属于中等题型. 16. 如图，且AD＝2BC＝2，，平面平面ABCD，四边形ADGE为矩形，且CD＝2FG＝2． （1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； （2）若CF与平面ABCD所成角的正切值为2，求直线AD到平面EBC的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法证明线面平行，即证与平面的法向量的数量积为0，再由线面平行的判定定理得结论； （2）由空间向量法求得A点到平面的距离即得． 【小问1详解】 平面平面ABCD，平面平面ABCD=，,平面，所以平面，平面，所以, 依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 可得，，，，设， ，，，，． 设为平面CDE的法向量，， 则，不妨令z＝－2，可得； 又，可得．又∵直线平面CDE， ∴平面CDE； 【小问2详解】 ∵，平面EBC，平面EBC， ∵平面EBC，∴AD到平面EBC的距离即A到平面EBC的距离， 由（1）知平面ABCD，即是平面ABCD的法向量， 因CF与平面ABCD所成角的正切值为2， 则CF与平面ABCD所成角的正弦为，又， ， 解得t＝2，则点，，， 设为平面EBC的法向量，由， 不妨令，可得，而，则点D到平面EBC的距离， 所以直线AD到平面EBC的距离为． 17. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列． （1）求数列和的通项公式． （2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若__，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）确定，得到，解得答案. （2）若选择①，，若选择②，，若选择③，，分别利用裂项相消法，错位相减法和裂项相消法计算得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 根据题意，即， 解得或（舍），故，， 【小问2详解】 若选条件①：， ； 若选条件②： ， 两式相减得： 整理得到：； 若选条件③： ， . 18. 1.已知函数. （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间； （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分. ①若恒成立，求的取值范围. ②若仅有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2）选择①时，；选择②时， 【解析】 【分析】（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围 【小问1详解】 定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ①选择若恒成立， 若恒成立，即，整理为，即 设函数，则上式为： 因为恒成立，所以单调递增，所以 所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得： 故当时，恒成立. ②选择若仅有两个零点， 即有两个根，整理为，即 设函数，则上式为： 因为恒成立，所以单调递增，所以= 所以只需有两个根，令，. ，当时，，当时，，故在处取得极大值，， 要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为 【点睛】同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果，非常的好用 19. 已知函数． （1）当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； （2）化简； （3）当时，定义：，化简：． 【答案】（1）或13； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式法求系数最大的项即可求出； （2）把所求式提出，对，令，即可求解； （3）利用倒序相加以及二项式系数和的性质即可求解. 【小问1详解】 因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或； 【小问2详解】 ， 原式； 【小问3详解】 ①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $