第一章 勾股定理 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级上册 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，4，7 C．8，15，17 D．4，5，6 2．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝25°，∠B＝65° B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．a：b：c＝：： D．a＝6，b＝10，c＝12 3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 4．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（    ）． A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 5．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为根据勾股定理，可以列出方程（   ） A． B． C． D． 6．矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A． B． C． D． 7．公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径的长可能为（    ） A．15米 B．110米 C．72米 D．120米 8．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 9．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 10．如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为 cm． 12．已知的三边，，满足，则是  三角形. 13．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是  米. （第7题图） 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 15．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ． 16．如图所示的一块土地，测量得，，，， ，则这块土地的面积为  . 17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则 米． 18．如图所示，在中，，且周长为，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动.若，两点同时出发，则时，的面积为  . （第2题图） 三、解答题 19．直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长． 20．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 22．的三边长分别是，，． （1）若为直角三角形，且，，则________； （2）设，，，试判断的形状并说明理由； （3）如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 23．如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 参考答案 1．【答案】C 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，且8、15、17都是整数，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选C． 2．【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行判定即可． 【详解】解：A、∵∠A=25°，∠B=65°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，故A选项正确； B、∵∠A：∠B：∠C=2：3：5， ∴， ∴△ABC是直角三角形；故B选项正确； C、∵a：b：c=：：， ∴设a=k，b=k，c=k， ∴a2+b2=5k2=c2， ∴△ABC是直角三角形；故C选项正确； D、∵62+102≠122， ∴△ABC不是直角三角形，故D选项错误． 故选D． 3．【答案】D 【分析】直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据面积求得两个较大正方形的边长，再根据勾股定理求出字母A所代表的正方形边长即可得到答案． 【详解】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，， 由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为， 则字母A所代表的正方形的面积为， 故选D． 4．【答案】C 【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度． 【详解】解：由题意可知，AB=4，BC=3 ∴在Rt△ABC中， ∴木杆在折断前的高度为4+5=9米 故选C． 5．【答案】C 【分析】根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，可列方程为． 故选C． 6．【答案】C 【分析】首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴正方形，正方形和正方形的面积之和为： ． 故选C． 7．【答案】C 【分析】根据“近似垂直”确定长度的合理范围，并结合直角三角形斜边的近似值筛选选项． 【详解】解：两条绿道近似垂直，构成直角三角形，两直角边为米、米，根据勾股定理，斜边米（理论值）．因为是近似垂直， 长度接近米，选项中米符合． 故选C ． 8．【答案】C 【分析】先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选C． 9．【答案】B 【分析】由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选B． 10．【答案】B 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选B． 11．【答案】或 【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为的边为斜边；（2）边长为的边为直角边． 【详解】解：（1）当边长为的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为； （2）当边长为的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为， 故该直角三角形斜边长为或. 【易错警示】已知直角三角形的两边长求第三边长时，如果题中没有说明这两条边长是直角边长还是斜边长，则要分情况讨论，避免漏解． 12．【答案】直角 【解析】因为，所以，，，所以，，.因为，即，所以是直角三角形.故答案为直角. 13．【答案】5 【解析】设米.米，米，（米），米.在中，米，米，米，根据勾股定理得，解得，则秋千的长度是5米.故答案为5. 14．【答案】25 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25． 15．【答案】 【分析】连接，得垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得， ∴. 16．【答案】24 【解析】如图，连接.因为，， ，所以由勾股定理得，所以. 因为，， 所以， 所以是直角三角形， ， 所以这块土地的面积为.故答案为24. 17．【答案】 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米），    18．【答案】18 【解析】设为，为，为.因为周长为，所以，所以，解得，所以，，.因为，所以是直角三角形.时，，，所以故答案为18. 19．【答案】． 【分析】根据折叠的性质可得，，，，在中，根据勾股定理可得，即可求得，设，在中，由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵将直角边沿直线折叠， ∴，， ， 在中， ， ， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 解得， 即． 20．【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴． 答：船向岸边移动了m． 21．【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响． 【详解】解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC=CD×AB， ∴300×400=500×CD， ∴CD=240（km）， ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响． 22．【答案】（1）或 （2）是直角三角形，理由见详解 （3） 【分析】（1）分为直角边和斜边两种情况，由勾股定理求的值； （2）先求出及的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，根据，求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：①当，为直角边时： ， ； ②当为斜边时： ， ， 综上所述，或. （2）是直角三角形 理由： 是直角三角形 （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为， 是以为斜边的直角三角形， ， ，， ． 23．【答案】（1）是直角三角形，理由见详解 （2）元． 【分析】（1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且； （2）分别利用三角形的面积公式求出，即是四边形的面积，再乘以80，即可求总花费． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）∵，， ∴， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费元． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $