精品解析：四川省绵阳第一中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题

绵阳一中2024-2025学年度高2022级高三下学期高考模拟考试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 4. 设，，，则（ ） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. a＞c＞b D. c＞a＞b 5. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是． A. B. C. D. 8. 用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（ ） A. 15个 B. 18个 C. 19个 D. 27个 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知在某次数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则该校学生成绩（ ） 参考数据：若，则，，. A. 期望为110 B. 及格率超过95% C. 标准差为100 D. 不及格的人数和优秀的人数大致相等 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点； B. 函数有且只有1个零点； C. 存在正整数，使得恒成立； D. 对任意两个正实数，且，若，则． 11. 斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 点的轨迹方程为 D. 点的轨迹是圆的一部分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值是______. 13. 函数（且）恒过定点，则______． 14. 在中，已知，点M，N在边，上，满足，，与交于点P，则的取值范围是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 16. 俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． （1）求出随机变量的分布列，并求出期望及方差； （2）求张老师当天穿西装的概率． 17. 在如图所示的平行六面体中，，． （1）求的长度； （2）求二面角的大小； （3）求平行六面体的体积． 18. 如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长． （1）求的方程； （2）设与y轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线，分别与相交于，． （i）证明：； （ii）记，的面积分别是，．问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳一中2024-2025学年度高2022级高三下学期高考模拟考试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交并补的运算逐项判断即可. 【详解】 ，， ，， 故选：D 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，求出，即可得出的虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：B. 3. 设向量，，则下列正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：直接求出，即可判断；对于B：先求出，即可判断出不成立；对于C：利用向量的夹角公式求出，即可判断；对于D：先求出，即可判断出. 【详解】向量，. 对于A：，，所以.故A错误； 对于B：，，所以，所以不成立.故B错误； 对于C：因为，且， 所以.故C错误； 对于D：，，所以，所以.故D正确. 故选：D 4. 设，，，则（ ） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. a＞c＞b D. c＞a＞b 【答案】C 【解析】 【分析】由换底公式得，由幂的运算法则得，利用对数函数的单调性比较的，再借助中间值1和指数函数性质比较大小可得结论． 【详解】∵9＞8，∴3＞，故，从而有， 故选：C 【点睛】本题考查比较对数和幂的大小，掌握指数函数和对数函数性质是解题关键，解题时可借助中间值如0，1等进行比较． 5. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 6. 在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得，最后根据等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，. ∵，即，∴.又，∴. ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键. 7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可得函数单调性、极值与最值，解不等式即可得答案. 【详解】由题意得， 令得；令得或， 由此得函数在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处取到极小值-2， 判断知此极小值必是区间上的最小值， 所以，解得； 又当时，，故有， 综上知实数的取值范围是， 故选：C． 8. 用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（ ） A. 15个 B. 18个 C. 19个 D. 27个 【答案】C 【解析】 【分析】分三个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，三种情况讨论即可. 【详解】当三个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，则仅有数字符合条件，则有个； 综上所述，满足条件的三位数共有个. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知在某次数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则该校学生成绩（ ） 参考数据：若，则，，. A. 期望为110 B. 及格率超过95% C. 标准差为100 D. 不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AB 【解析】 【分析】因为学生的成绩服从正态分布N（110，100），可得期望、标准差，可判断A C； 由得，从而得到可判断B； 计算出、可判断D. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布N（110，100），所以期望为110，标准差为10， 故A正确，C错误； 因为， 所以， 所以，故B正确； ， 因为， 所以，所以D错误. 故选：AB. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点； B. 函数有且只有1个零点； C. 存在正整数，使得恒成立； D. 对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求出极值点判断A；利用导数确定单调性，结合零点存在性定理判断B；分离参数构造函数并探讨函数值集合判断C；利用极值点偏移推理判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，是的极小值点，A正确； 对于B，函数，求导得， 函数在上单调递减，， 因此函数有且只有1个零点，B正确： 对于C，由，得，令，则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此在上函数单调递减，函数无最小值，且恒有， 则不存在正实数，使得成立，C错误； 对于D，不妨令，由，结合A选项知， 要证，即证，此时， 由函数在上单调递增，得，则， 即证明，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即成立， 因此成立，D正确. 故选：ABD 11. 斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 点的轨迹方程为 D. 点的轨迹是圆的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，为定值，选项A正确； 对于选项B，为定值，选项B正确； 对于选项C，点的轨迹方程为，选项C错误； 对于选项D，点的轨迹是以为直径的圆，除去原点的部分，所以选项D正确． 【详解】对于选项A， 如图所示，设，，由题意知： ， ① ， ② ①-②得， 即， 所以为定值，选项A正确； 对于选项B， 由，消去，得， 所以，， 所以为定值，选项B正确； 对于选项C， 由选项A知，，即， 化简得， 所以点的轨迹方程为，选项C错误； 对于选项D， 由，所以点的轨迹是以为直径的圆，除去原点的部分，所以选项D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹常用的方法有：（1）直接法（直接化简已知得到动点的轨迹方程）；（2）定义法（通过分析证明动点的轨迹是某一种圆锥曲线，再求圆锥曲线的方程得解）；（3）相关点代入法.要根据已知条件选择合适的方法求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】将函数转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值是3， 故答案为：3 13. 函数（且）恒过定点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，函数恒过定点， 可得，解得，所以. 故答案为：. 14. 在中，已知，点M，N在边，上，满足，，与交于点P，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由用正弦定理化边为角，应用三角函数恒等变换后，再由正弦定理得，以，为基底，用平面向量基本定理求出分和的比， 都用基底表示后用数量积的性质求得其模，可得所求比值． 【详解】由，得 ，所以， 设，， ∵点M，N在边，上，满足，，与交于点P， ∴①， 又②， 由①②得，解得，， ∴，又，由，可设， ∴， 根据可得， ∴的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查用数量积求向量的模，解题时已知条件变形得出，选取基底，把其它向量用基底表示后求解． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 16. 俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． （1）求出随机变量的分布列，并求出期望及方差； （2）求张老师当天穿西装的概率． 【答案】（1） 的分布列为： 0 1 ；， （2） 【解析】 【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差； （2）结合条件概率即可求解. 【小问1详解】 将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种， 掷出的点数之和是3的倍数有： ，12种； 则掷出的点数之和不是3的倍数有24种， 随机变量的取值为0，1， ， 所以的分布列为： 0 1 ． ； 【小问2详解】 设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装． 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为， 穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为， 则当天穿西装的概率为． 所以张老师当天穿西装的概率为． 17. 在如图所示的平行六面体中，，． （1）求的长度； （2）求二面角的大小； （3）求平行六面体的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的数量积公式与模长关系计算即可； （2）根据二面角的定义先作出其平面角，再利用空间向量的数量积公式计算即可； （3）结合（2）的结论，计算B到面的距离，结合柱体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 方法一：根据图形可知：， 则 ； 方法二：如图建系， ，， 设，， 而， ，， 【小问2详解】 方法一：作，则等于二面角的一个平面角， 因为，， 则， 易知 ， 所以，所以， 即二面角的大小为； 方法二：，， 设平面和平面的一个法向量分别为， ，， 二面角的大小为． 【小问3详解】 方法一：由（2）知平面，而四边形的面积， 则平行六面体的体积. 方法二：设在底面ABCD上的射影为点， ，在的平分线上， 由三余弦定理， ，． 18. 如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长． （1）求的方程； （2）设与y轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线，分别与相交于，． （i）证明：； （ii）记，的面积分别是，．问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）证明：由题得，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 由得． 设，，则，是上述方程的两个实根， 于是，，又点的坐标为， 所以． 故，即． 【解析】 【分析】试题分析：（I）由题得，从而，又，解得的值，即可得到椭圆的标准方程；（II）（i）把直线的方程与抛物线的方程联立，可得关于点坐标的等量关系，再代入求出，即证明；（ii）先把直线的方程与抛物线方程联立，可得点的坐标，在利用弦长公式求出，同样的方程求出，进而求出，代入已知，即可求得结论. 【小问1详解】 由题得，从而，又，解得，， 故的方程分别为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）设直线的斜率为，则直线的方程为． 由，解得或． 则点的坐标为． 又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为． 于是． 由得． 解得或，，则点的坐标为． 又直线的斜率为．同理可得点的坐标为． 于是． 故，解得或． 又由点，的坐标得，．所以． 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为和． 考点：圆锥曲线的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记椭圆的性质、以及把直线方程与椭圆的方程联立，转化为根与系数和韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 19. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点） 【答案】（1）；（2）（ⅰ）； （ⅱ）先证明不等式，若，，则. 证明：不妨设，即证， 设，，， 只需证且； 因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，从而不等式得证. 再证原命题. 由得； 所以，两边取对数得：； 即. 因为， 所以， 因此，要证. 只需证； 因为在上单调递增，，所以只需证， 只需证，即证，其中； 设，，只需证； 计算得； . 由在上单调递增， 得， 所以；即在上单调递减， 所以：； 即在上单调递增，所以成立，即原命题得证. 【解析】 【分析】1先求其导函数，转化为，即求的最小值即可； 2结合第一问的结论得不单调，故；设有两个根，设为，，且，可得原函数的单调性，把问题转化为，即可求解结论． 转化为先证明不等式，若，，，则再把原结论成立转化为证；构造函数一步步推其成立即可． 【详解】（1）由，得， 设，；则； 由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 因为函数在上单调递增，所以在恒成立 所以； 所以，实数的取值范围是：. （2）（i）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以. 因此有两个根，设为，且， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 又，，当充分大时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即； 又因为； 所以：，解得，所以； 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是. （ⅱ）先证明不等式，若，，则. 证明：不妨设，即证， 设，，， 只需证且； 因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，从而不等式得证. 再证原命题. 由得； 所以，两边取对数得：； 即. 因为， 所以， 因此，要证. 只需证； 因为在上单调递增，，所以只需证， 只需证，即证，其中； 设，，只需证； 计算得； . 由在上单调递增， 得， 所以；即在上单调递减， 所以：； 即在上单调递增，所以成立，即原命题得证. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $