精品解析：陕西省西安市高新逸翠园中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

西安市高新逸翠园中学 2025～2026学年度第一学期九年级收心考试 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 在分式的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式． 根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式． 【详解】解：，其中是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，因为是一个常数（圆周率），不是字母，所以是整式，不是分式； ，是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，它是整式与的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式． 综上，、、是分式，共3个， 故选：B． 3. 已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“同小取小”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； C．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式的解集为，故有解，不符合题意； D．根据“同大取大”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 人类性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体，用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等，则一对夫妇的第一个孩子是男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图知一对夫妇的第一个孩子有种等可能结果，其中是男孩的只有种结果， 第一个孩子是男孩的概率是， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点平移的规律，熟记坐标系中点平移的规律是解题的关键．横坐标左减右加，纵坐标上加下减，据此解答， 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的对应点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 8. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 9. 如果是的一个因式，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据题意可知是方程的一个根，然后代入解题即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，连接，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，交的延长线于点G．若，点F是的中点，则的长度为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作交于，交于，证明，求解，证明四边形，四边形是矩形，，是等腰直角三角形；证明，，可得，，证明，可得，求解，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵正方形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形，四边形是矩形，，是等腰直角三角形； ∴，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将因式分解后的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件确定出的值即可． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分母不为零且分子为零，掌握分式为零的条件是解决问题的关键． 13. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝__________． 【答案】540° 【解析】 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED， ∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE， ∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 14. 如果不等式的解集为，那么直线（）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式（）得，又由不等式的解集为，可得，进而得，代入直线中得，取得，从而可得，定点坐标为． 本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵， ∴， 又∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴直线变为， 当时，， ∴直线（）一定会经过定点． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使，作轴于，由正方形的性质推出，得到，，由，得到，得到，即可证明，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到使，作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程和一元二次方程，熟练掌握解分式方程的步骤和解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）将方程右边变为零，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：去分母，得：， 解得：； 检验：当时，； 故是原方程的增根，舍去； 故原方程无解． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴或， ∴． 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 18. 先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，按要求解答问题： （1）将向下平移4个单位得到，画出图形； （2）将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形； （3）直接写出的长度． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出； （3）利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可知：． 20. 将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法，概率公式求概率，一次函数图像上点的坐标特征． 先利用画树状图展示，得到12种等可能的结果，先找出点P在直线上的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果；只有在直线上， ∴点在直线上的结果数为2， ∴点在直线上的概率是． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 22. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． （1）第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ （2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 【答案】（1）个 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等式以及一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过元”列出一元一次不等式，解之即可求解； （2）根据“第二批头盔的销售利润为元”列出一元二次方程，解之即可求解． 【小问1详解】 解：设第一次购进款头盔个，则购进款头盔个， 根据题意，得：， 解得， 答：款头盔至少购进个； 【小问2详解】 解：根据题意，可得， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若菱形的面积为120，，求的长． 【答案】（1） 证明：菱形， ，， ， ，即， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，可证，，再证，从而可证四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据菱形的性质和“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，可得，再根据菱形的面积公式“对角线之积的一半”，可得，从而，再根据勾股定理，可求，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：菱形， 与互相平分，， ， ， ， ， 菱形的面积为120， ， ， ， 在中，， ， ． 24. 【问题出示】（1）如图①，等腰中，，，点M是直线上的动点，线段的最小值是_________． 【问题探究】（2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点P、Q分别在边，上运动，连接，，的最小值是_________． 【问题拓展】（3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点E在边上运动，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 【问题解决】（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，点F为边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，修路费用为每米900元，点G处修建业主活动楼，其中，且．求当小路最短时修路的总费用． 【答案】（1）8；（2）；（3）4；（4）元 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短得到点M的位置，然后根据的直角三角形的性质解题即可； （2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可； （3）在上截取，连接，则有，则，当时，长最小，即长最小，根据的直角三角形的性质解题即可； （4）在上取一点，使，连接，，过作于，由题意可得，，，，， 在证明和是等边三角形，得到，推出，得到，则处的业主活动楼到线段处一排楼房的最短距离是米，据此计算即可． 【详解】解：（1）当点M运动到时，线段值最小， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）在边上截取，连接，如图②， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即当P、D、M三点共线，而且时，最小，最小值为长， ∵， 又∵， ∴， 故的最小值为； （3）在上截取，连接，如图3， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， 当时，长最小，即长最小， 这时， ∴， ∴线段的最小值为4； （4）在上取一点，使，连接，，过作于， 由题意可得，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴处的业主活动楼到线段处一排楼房的最短距离是米， ∴（米）。 ∴（元）。 答：当小路最短时修路的总费用为元。 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，的直角三角形的性质，最短路径问题，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市高新逸翠园中学 2025～2026学年度第一学期九年级收心考试 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在分式的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 5. 人类性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体，用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等，则一对夫妇的第一个孩子是男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如果是的一个因式，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 如图，在正方形中，连接，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，交的延长线于点G．若，点F是的中点，则的长度为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将因式分解后的结果为______． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 13. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝__________． 14. 如果不等式的解集为，那么直线（）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 18. 先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，按要求解答问题： （1）将向下平移4个单位得到，画出图形； （2）将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形； （3）直接写出的长度． 20. 将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为，请用树状图或列表的方法求点P在直线上的概率． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． （1）第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ （2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若菱形的面积为120，，求的长． 24. 【问题出示】（1）如图①，等腰中，，，点M是直线上的动点，线段的最小值是_________． 【问题探究】（2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点P、Q分别在边，上运动，连接，，的最小值是_________． 【问题拓展】（3）如图③，线段最短时，在（1）的条件下，点E在边上运动，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 【问题解决】（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形各边长都为90米，且两组对边分别平行，，长30米，点F为边上任意一点，计划在线段、、上修建三条小路，修路费用为每米900元，点G处修建业主活动楼，其中，且．求当小路最短时修路的总费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $