1.3勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册 一、单选题 1．如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm 2．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 3．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（　　） A．30m B．40m C．50m D．60m 4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图（1）是一只摆钟，图（2）是其局部示意图.将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度是（ ） 图（1） 图（2） A. B. C. D. 7．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 8．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 二、填空题 9．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”!已知，，则走路比走路少了 ． 10．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 11．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为 ． 12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米． 13．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为  . （第5题图） 14．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是________cm. 三、解答题 15．图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，求的长度． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲 亭亭多姿湖中立，突逢狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 16．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．    （1）求这块空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 18．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 19．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． （1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ （2）当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据题意可得CD是AB的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AD长，进而可得BD长，从而可得答案． 【详解】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AD==13（cm）， ∴BD=13cm， ∴AD+BD=26cm， ∵AB=24cm， ∴该弹性皮筋被拉长了：26-24=2（cm）， 故选B． 2．【答案】D 【分析】根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米 ∴， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点B离地面的高度的值为3米， 故选D． 3．【答案】C 【分析】根据题意可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ，， ∴， 即10s后他们之间的距离为． 故选C 4．【答案】D 【分析】利用勾股定理求出杯子内筷子的最大长度，再根据杯子内筷子的长度范围得出杯子外面长度的取值范围即可得出答案， 【详解】解：当筷子如图1放置时， 在中，由勾股定理，得， 此时，筷子在杯子外面的长度最短， 最短值为：； 当筷子如图2放置时， 此时，筷子在杯子外面的长度最长， 最长值为：． 综上，． 故选D． 5．【答案】B 【分析】若设竹杆的长为尺，则由题意得，门高为尺，门宽为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：若设竹杆的长为尺， 则由题意得：门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得：， 故选． 6．【答案】C 【详解】根据题意可知，，，， ,.设,则.在中， ，，即，解得.故选. 7．【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高为x，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高为x，则绳子的长为， 在中，， ， 解得：， ， 即旗杆的高是． 故选B． 8．【答案】A 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选A． 9．【答案】 【分析】在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案． 【详解】解：草坪是矩形的， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 10．【答案】4 【分析】设滑梯的水平距离的长度为x米，由米可得米；因为将滑梯水平放置与一样长，所以米；在直角三角形中，根据勾股定理代入已知数据列出方程求解． 【详解】设滑梯的水平距离的长度为x米． 因为米，所以米． 又因为将滑梯水平放置与一样长，所以米． 在中，，米，根据勾股定理可得： 展开方程得： 移项化简得： 解得． 11．【答案】12 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为． 12．【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）． 13．【答案】2 【解析】，，，.，，，，.故答案为2. 14．【答案】25　 【详解】当蚂蚁经过右侧面和正前面时，如图(1)，连接AB.∵长方体的宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，∴BD＝CD＋BC＝10＋5＝15(cm)，AD＝20 cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得AB＝＝＝25(cm)；当蚂蚁经过右侧面和上底面时，如图(2)，连接AB.∵长方体的宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，∴BE＝CE＋BC＝20＋5＝25(cm)，AE＝10 cm，在直角三角形ABE中，根据勾股定理得AB＝＝＝5(cm)；当蚂蚁经过正后面和上底面时，如图(3)，连接AB.∵长方体的宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，∴AC＝CF＋AF＝10＋20＝30(cm)，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得AB＝＝＝5(cm)．∵25＜5＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25 cm.故答案为25. 　 15．【答案】的长度为尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的长度为尺． 16．【答案】该婴儿车符合安全标准，见详解 【分析】通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】解：∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 17．【答案】（1）24平方米 （2）总共需投入4800元 【分析】（1）连接，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）用总面积乘以每平方米草皮需要的钱数即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵米，米，， ∴米， ∵米，米，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴这块空地的面积（平方米）； （2）（元）， 答：总共需投入4800元． 18．【答案】（1）． （2） 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． （2）解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 19．【答案】（1）不会 （2）两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见详解 【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $