2.2 平方根与立方根（第3课时）教案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章实数 2 平方根与立方根 第3课时 一、教学目标 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 2.经历立方根的探究过程，在探究中学会求立方根的基本方法和策略，通过对立方根性质的探究，培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识. 3.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根. 4.通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值，提高学习兴趣. 二、教学重难点 重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 难点：能用开立方运算求某些数的立方根. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 教师活动：教师带领学生回顾平方根的概念及性质，并给出思考问题让学生列式计算. 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根，记为“”，读作“正负根号a”. 的含义：a的平方根. 平方根的性质：正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.0的平方根是0；负数没有平方根. 设计意图：学生通过回顾上节课的学习内容，既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根的知识.为进一步研究立方根的概念及性质作铺垫. 问题：如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成.假如要制作一个体积为216cm³的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少? 分析：将魔方看作为边长为x的正方体， 由正方体体公式可知：=216， 而x等于小正方体棱长的三倍， 问题转化为求x的值. 追问：若x2=2，则x= .若=216该怎么求解x呢？ 预设答案：∵63=216，∴可知x=6，进而得出小正方体的棱长为2. 教生活动：教师提出问题，引导学生思考，回答问题. 设计意图：由实际问题列出算式过渡到立方根的讲解，让学生感受数学与实际生活的紧密联系. 环节二：探究新知 问题：我们知道，如果，则a叫做x的立方，那么x叫做a的什么呢？ 教生活动：教师先给出平方根的定义，让学生试一试，用类比的方法给出立方根的定义. 立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）. 示例：如：，则2是8的立方根；，则是的立方根，，则0是0的立方根. 问题：类比平方根，怎么用符号来表示一个数的立方根呢？ 预设答案：每个数a都只有一个立方根，记作，读作“三次根号a”. 设计意图：由平方根概念，学生类比得到立方根的概念，让学生的学习形成正迁移. 做一做：求下列各数的立方根（1）8，（2）0，（3）-27，（4）7. 预设答案：（1）因为，所以8的立方根是2，即 . （2）因为，所以0的立方根是0，即 . （3）因为，所以-27的立方根是-3，即 . （4）7的立方根是. 师生活动：教师板书，学生认真思考，并举手回答. 设计意图：通过做题思考，使学生对立方根有比较全面的认识，为立方根的性质的学习打下基础. 问题：正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 预设答案：一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 0的立方根是0. 强调：这是立方根特有的性质：任何有理数都有立方根，而且它的立方根是唯一的！简单来记就是唯一性，同号性. 追问：平方根与立方根的个数的异同 教师总结：立方根是它本身的数有1， -1， 0；平方根是它本身的数只有0. 师生活动：教师提出问题，学生小组讨论，思考完成问题，在教师的引导下完成表格. 设计意图：学生通过前面的例子，很容易回答出三个问题的答案.此处要重点强调立方根与平方根的个数的不同之处，得出结论. 【归纳】 开立方：类似开平方运算，求一个数a的立方根的运算叫作“开立方”，其中a叫被开方数. “开立方”与“立方”互为逆运算！ 设计意图：在已学的开平方的基础上得出开立方的定义，有利于加深对立方根概念的理解.同时通过举例再次强调：“开立方”与“立方”互为逆运算. 做一做：求下列个数的立方根： (1) -27 ； (2)； (3) 0.216； (4)． 预设答案： (1)因为，所以的立方根是，即； (2)因为，所以的立方根是，即； (3)因为，所以的立方根是，即； (4)的立方根是. 问题：上题中，一些数的立方根结果没有“”了这些数有什么特点? 预设答案：，被开方数可堪称一个整数立方得到； ，被开方数可看成一个分数立方得到； ，被开方数可看成一个小数立方得到. 追问：在上题中，，也就是．一般地，成立吗? 预设答案：成立. ，，，，. 追问：一般地，成立吗? 预设答案：成立. ，，，，. 总结：对于数都有，. 环节三：应用新知 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程. 例1求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解:(1) (2) (3) (4) 拓展：你能说出平方根与立方根的联系与区别吗？ 联系： 1.开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算. 2.都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即. 3. 0的平方根和立方根都是0. 区别： 1.在用根号表示时，根指数2可以省略，根指数3不能省略. 2.平方根只有非负数才有，正数的平方根有两个；而立方根任何数都有，并且每个数都只有一个立方根. 设计意图：巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质. 环节四：课堂练习 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下列说法中，正确的是（ ） A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数. B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数. C．负数没有立方根. D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1. 2.下列说法对不对？ （1）－4没有立方根. （2）1的立方根是±1. （3）－5的立方根是 . （4）64的算术平方根是8. （5）正数有两个立方根，负数没有立方根. 3.求下列各式中x的值. (1)x3=0.125； (2) (x-1)3 -8=0； (3) 4(x-1)3 =-256. 4.若 =2，=4，求的值. 答案： 1.D 2.(1)×，(2)×；(3)√；(4)√；(5)×. 3.解：(1) (2) (3) 4.解：∵ =2，=4. ∴x = 23，y2 = 16， ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴== 4 或== 0. 师生活动：自主完成练习，然后集体交流评价. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 师生活动：自主完成练习，然后集体交流评价. 学科网（北京）股份有限公司 $