2.2 平方根与立方根（第1课时）教案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章实数 2 平方根与立方根 第1课时 一、教学目标 1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根； 2.会求非负数的算术平方根，并初步了解算术平方根具有双重非负性； 3.经历学习算术平方根概念的过程，理解概念的本质，体会求非负数的算术平方根的运算与平方运算的互逆性； 4.通过对实际生活中问题的解决，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重难点 重点：理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 难点：会求非负数的算术平方根，了解算术平方根具有双重非负性. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 【复习回顾】 将下列各数分类 0.351 1.41421356… 18 3.14159 π 有理数： 无理数： 无理数：无限不循环小数叫无理数. 判断一个数是不是无理数，关键就是看它：能不能写成无限不循环的小数. 【观察思考】 根据图形进行填空： 2 ， = 3 ， = 4 ， = 5 ， 问题：x，y，z，w哪些是有理数，哪些是无理数，你能表示它们吗？ 背景介绍：上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. 设计意图：从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与平方的计算这种互逆的关系形成了初步认识. 环节二：探究新知 【合作探究】 问题：我们知道，如果x2=a，则a叫做x的平方，那么x叫做a的什么呢？ 算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. 例：3²=9，则3是9的算术平方根. x²=3(x＞0)，则x是3的算术平方根. 追问：如何表示x呢？ 【合作探究】 问题：怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？ 设计意图：在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出算数平方根，并让学生明白平方和算数平方根之间的互逆关系，为求算数平方根作铺垫. 【做一做】 现在你能说出x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数吗？ 2 ， = 3 ， = 4 ， = 5 ， 预设答案：x=，是无理数. y=，是无理数.z==2，是有理数.w=，是无理数. 【思考】 问题：一个正数有几个算术平方根？负数有算术平方根吗？0有算术平方根吗？ 一个正数的算术平方根只有一个，且一定为正数； 负数没有算术平方根，即当有意义时，a 一定表示一个非负数； 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即. 注意：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 设计意图：再一次深入理解算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根. 【交流】 问题：是什么数？ 其中a可以取任何数吗？ 算术平方根具有双重非负性. 也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.负数不存在算术平方根，即当a<0时，无意义. 【做一做】 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）；（4）14. 解：(1)因为 302 = 900，所以900的算数平方根是30，即 ； (2)因为 ，所以1的算数平方根是1 ，即； (3)因为，所以的算数平方根为，即； (4)14的算数平方根是； 问题：在上面的题目中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ 预设答案：，，被开方数可看成是一个正整数平方得到的， 即，. 被开方数可看成是一个正分数平方得到的，即. 问题：在上面的题目中，，也就是.一般地，当时，成立吗？ 预设答案：表示的算术平方根，显然，当时，成立. 追问：当时，成立吗？ 预设答案：当时，不满足算术平方根的非负性，所以不成立. 追问：当时，如何化简？ 预设答案：当时，，又因为，所以的算术平方根是，即 . 结论：. 问题：成立吗？这里的是什么数？你是怎么理解的？ 预设答案：不一定成立，因为当时，无意义，当时，成立. 结论：当时，. 设计意图：引导学生探讨实数和数轴上的点的对应关系.实现数与形的结合，为后续的学习打基础. 环节三：应用新知 【例1】自由下落物体下落的距离s（m）与下落时间t（s）的关系为s=4.9 t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将s=19.6代入公式 s=4.9t2， 得t2=4，所以t==2（s）. 即铁球到达地面需要2 s. 讲述：结果是求4的算数平方根. 【例2】若，求的值. 解：因为 又因为 所以 解得m=1，n= 3, 所以m+n=1+(3)= 2. 小结：几个非负数的和为0，则每个数均为0. 到目前为止，我们学习了表示非负数的式子有：|a|≥0；a2 ≥ 0；当a ≥ 0 时，. 设计意图：对于总结已经学过非负数的式子，教师提问学生进行回答.既是对知识的回顾，又能增强新旧知识的联系，启发学生思考. 环节四：应用新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.判断： （1）5是25的算术平方根（ √ ）； （2）6是36的算术平方根（ × ）； （3）0的算术平方根是0（ √ ）； （4）0.01是0.1的算术平方根（ × ）； （5）5是25的算术平方根（ × ）. 2. 9的算术平方根是（ ） A.3 B. 3 C.81 D. 81 3. 的算术平方根是( ) A.2 B.2 C. D. 答案：2.A 3.C 4.求下列各数的算术平方根. (1)100 (2) (3)0.0001 解:(1)∵10²=100，∴100的算术平方根是10，即=10. (2)∵ ， ∴的算术平方根是，即=. (3)∵0.01²=0.0001， ∴ 0.0001的算术平方根是0.01， 即. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 学科网（北京）股份有限公司 $