第22章相似三角形练习 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

第22章相似三角形练习 一、单选题（共40分） 1.(本题4分)如图，在ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，且DE∥BC.若 治则哭 =（) BC D B A.月 B.3 c.4 D 2.(本题4分)如图，已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1,若DF=2,则AC的长为() A.1 B.2 C.4 D.8 3.(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别是0(0,0)，A2,1, B(1,2),以原点0为位似中心，在第三象限画△0A'B'与△0AB位似，若△0A'B'与△04B 的相似比为2：1，则点A的对应点的坐标为() A.（-2,-1) B.（-4,-2 C.(-1,-2) D.（-2,-4 4.(本题4分)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和为48cm, 那么较小三角形的周长是() A.14cm B.18cm C.30cm D.34cm 5.(本题4分)如图，ABC中，LA=65°，AB=6,AC=3,将ABC沿下图中的虚线 试卷第1页，共2页 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是() A X 659 65d A B 65以 B C D 6.(本题4分)已知4=5=C=2,则a++C的值是(） be ac ab abc A.2 B.3 C.4 D.6 7.(本题4分)如图，在ABC中，AB=3,BC=6,BD平分∠4BC,则 AD 的值为() A.2 B.1.5 C.3 D.5 8.(本题4分)勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活 中到处可见黄金分割的美.如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段AB的黄金分割点 (AC>BC),已知AB=10cm,则AC长为() A.(5-V5)cmB.(5+V5)cm c.(5+55)cmD.(55-5)cm 9.(本题4分)如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE,将AABE沿BE翻 折，得到。ABE,连接A'C,A'D,则下列结论不正确的是() 试卷第1页，共2页 A.A'D∥BE B.A'C=24D C.△A'CD的面积=△A'DE的面积 D.四边形A'BED的面积=△A'BC的面积 10.(本题4分)将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结 论错误的是() M 折叠 再折叠、 展开 A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN C.AN=BO=INO MN DE PO 2 D. DE-PO-BC 二、填空题（共24分） 11.(本题4分)若2=3，则+b的值为 b 12.（本题4分)如图，在ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,若DE= BC3 ，则gE SABC D E 13.(本题4分)如图，在ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE,CE、BA的延长线相 交于点F,若AB=2,则AF= 试卷第1页，共2页 14.(本题4分)在平面直角坐标系中，把ABC以原点0为位似中心放大，得到△A'B'C'.若 点A和它的对应点A的坐标分别为3,7)，（-9，-21)，则ABC与△A'B'C'的相似比 为 15.(本题4分)如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上，支 撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离 为 D C B 16.(本题4分)如图，△ACD中，AD=√10，CD=√2，BC⊥AC于点C,AC=2BC,则BD的 最大值为 B 三、解答题（共56分） 17.(本题8分)已知a:b=3:2. (①)求a+b的值， a (2)若a+2b=21,求a、b的值. 18.(本题10分)如图，在△ABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为BC上的 点，DE交AF于G，B=3,AE=5,求： 试卷第1页，共2页 E (4c AF (2)AC的长. 19.(本题12分)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6 ,CF=2,求证：△ABE∽△ECF. A D B E 20.(本题12分)如图所示，在4×4的正方形方格中，ABC和△DEF的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上. B D E (1)填空：∠ABC= BC= (2)判断ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论 21.(本题14分)如图1，口ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD, BC上，且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点. 图1 图2 图3 (1)求证：OE=OF; 试卷第1页，共2页 (2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF. （i)如图2，若HE∥AB,求证：HF∥AD; (i)如图3，若GABCD为菱形，且MD=2AM,∠EHF=60,求4C的值。 BD 试卷第1页，共2页 《第22章 相似三角形练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C D A D D D 1．A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 2．C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 7．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是构造相似三角形．过点作交延长线于点， 得到，由平分，，等量代换可得，得到，由平行可得，从而可得的值． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即的值为． 故选：A ． 8．D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 11．4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 12． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 13．1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 15．/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 17．(1) (2)， 【分析】（1）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案； （2）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 本题考查比例，在用比例的基本性质进行相关计算时，常用值法，根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示相应的字母，再代入求值． 【详解】（1）， 设，， ； （2）， 设，， ， ，解得， ，． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 19．见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 20．(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为； ； （2）解：． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，， ， ，． ∴ ． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 21．(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $