精品解析：云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第一次联考数学试题

昆明市第一中学2026届高三年级第一次联考 数学试卷 审题人：全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知集合，则A的子集的个数有（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4. 若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（　　） A. B. C. D. 5. 向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 若则（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 10. 设△ABC中角A，B，C所对应的边分别为，且，则以下说法中正确的有（　　） A. △ABC为钝角三角形 B. 若a确定，则的面积确定 C. D. 11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A、B两点，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，则下列选项中正确的是（　　） A. 以DE为直径的圆经过点F B. C. 的长度可以为6 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在处有极小值，则______. 13. 记为数列的前项和，若，，则____ 14. 函数满足，若，则____ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 （1）依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； （2）从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 16. 已知等差数列的公差为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若求数列的前n项和， 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且． （1）证明： （2）已知四点共面，求的长． 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数； （2）若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 19. 已知椭圆：的四个顶点中有三个顶点可以构成等边三角形，其面积为.直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，设直线，，的斜率分别为（其中）记的面积为，以，为直径的圆的面积为 （1）求曲线的标准方程； （2）若恰好构成等比数列． ①证明为定值； ②求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2026届高三年级第一次联考 数学试卷 审题人：全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接计算即可. 【详解】样本数据从小到大排列为4，8，12，16，20，计算位置：， 因为4为整数，所以第80百分位数为. 故选：D． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件得到，再由除法运算即可求解. 【详解】由题意，则， 故选：C． 3. 已知集合，则A的子集的个数有（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】解指数不等式求出集合，然后求解子集个数即可. 【详解】集合，则的子集的个数有个. 故选：D． 4. 若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，半焦距为，由条件列方程可求，再根据关系求结论. 【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以， 故选：B 5. 向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得向量，根据向量与共线，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则，可得， 因为向量与共线，可得，解得. 故选：C． 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即， 故当时，. 故选：A 7. 已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆上点，根据题意得到方程，化简得，，代入圆方程，解得，由解得，当时，对应的点只有1个，不合题意，当时，对应的点有2个，满足要求. 【详解】设圆上点，则有，化简得， 因为，所以，代入圆方程得，解得， 其中舍去，故， 又，即，解得， 当时，，此时，解得，即对应的点只有1个，不合题意， 当时，，此时，故对应的点有2个，满足要求. 故选：B 8. 若则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求得，存在，使，得到在上不是单调函数，可判定A、B错误；再设，求得，得到在上单调递减，得到，进而可判定C不正确，D正确. 【详解】设，可得，令，则， 所以在上单调递增，且， 所以存在，使， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上不是单调函数，无法判断与的大小，故选项A、B错误； 设，可得， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以， 所以C不正确，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 设△ABC中角A，B，C所对应的边分别为，且，则以下说法中正确的有（　　） A. △ABC为钝角三角形 B. 若a确定，则的面积确定 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理可设，，，对于A，结合大边对大角可得最大，利用余弦定理可求，由此判断的范围即可，对于B，由条件a确定，可得确定，由此可得结论，判断B，对于C，由结合二倍角公式求，判断C，对于D，由条件求，再结合同角关系求，再利用二倍角公式求，由此判断D. 【详解】由正弦定理得：， 可设，，， 对于A，因为，所以角最大， 且， 所以为锐角，所以为锐角三角形，故错误； 对于B，若确定，则确定，故也确定， 又，，所以， 所以的面积为定值，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为 ， ，， 所以，， 所以， ， ， 所以，故D选项正确． 故选：BCD. 11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A、B两点，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，则下列选项中正确的是（　　） A. 以DE为直径的圆经过点F B. C. 的长度可以为6 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，验证是否恒为零即可；对于B，结合平面向量和余弦定理求出和的表达式并进行比较即可；对于C，根据弦长公式求出的表达式并分析即可；对于D，求出的表达式进行比较即可． 【详解】对于A，当直线的斜率不存在时，，此时F在以DE为直径的圆上，当斜率存在时，设直线的斜率为k，以及、、、， 则直线的直线方程为， 所以，， 也即，联立可得，由韦达定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，同理得，因为不一定相等，所以不恒成立，故B错误； 对于C，由联立直线方程与抛物线方程得，由韦达定理得，， 根据弦长公式，即的长度不可能为6，故C错误； 对于D，由抛物线定义得，，，结合韦达定理得，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在处有极小值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据，求的取值，再代入验证，即可求解. 【详解】，因为在处有极小值，所以， 即，解得或； 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极大值；故不成立， 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，所以. 故答案为：3 13. 记为数列的前项和，若，，则____ 【答案】243 【解析】 【分析】根据与的关系，利用，求出数列的通项公式，进而求出 【详解】，当时，有. 当时，有. 故，即，. 又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列. 因此. 当时，. 故答案为：243. 14. 函数满足，若，则____ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到，得出函数是周期为6的周期函数，再由，求得，结合周期性，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 可得，所以函数是周期为6的周期函数， 又由，所以，则， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 （1）依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； （2）从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 【答案】（1）不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关； （2）的分布列为: 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据公式计算，结合独立性检验判断即可； （2）由题知的可能取值为0，1，2，求出对应概率，列出分布列计算期望即可． 【小问1详解】 零假设：该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别无关． ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 即不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关. 【小问2详解】 由题意的可能取值为0，1，2． ，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 16. 已知等差数列的公差为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若求数列的前n项和， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，联立方程组，求得的值，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）知，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，等差数列的公差为，且， 则，且， 联立方程组，解得，则， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 则 所以数列的前n项和. 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别是上的点，且． （1）证明： （2）已知四点共面，求的长． 【答案】（1）证明：连接与，因为底面是正方形，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）连接与，根据题意，分别证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，求得平面的一个法向量，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，所以， 又因为，则知分别是和上的三分点， 可得， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以，即，解得， 所以的长为. 【点睛】 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数； （2）若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 【答案】（1）； （2） ①； ②因为或， 而， 所以，而， 所以， 令，所以，所以在上单调递减， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义和函数在处切线的概念，可求的值. （2）①问题转化为有两个不同的解求参数的取值范围； ②先结合①的结论，确定的取值范围，在根据得到的表达式，通过对函数单调性的分析，可求的取值范围. 【小问1详解】 因为在处的切线斜率为0， 所以，即；此时切点坐标为，所以. 【小问2详解】 ①因为， 当时，在单调递增，只有一解，显然不符合题意； 当时，设，则. 由；由. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 因为函数存在两个极值点. 所以需有两解，所以为必要条件，即为必要条件， 当时，时，时，， 分别在及各有一零点， 综上：. ②略. 19. 已知椭圆：的四个顶点中有三个顶点可以构成等边三角形，其面积为.直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，设直线，，的斜率分别为（其中）记的面积为，以，为直径的圆的面积为 （1）求曲线的标准方程； （2）若恰好构成等比数列． ①证明为定值； ②求的范围． 【答案】（1） （2） ①如图： 由题意知，设直线的方程为，， 联立得， 又因为，由成等比数列， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以为定值. ② 【解析】 【分析】（1）根据条件，列方程，可求，从而得椭圆方程. （2）①设直线，联立方程组，利用韦达定理，根据求出的值即可. ②将面积和表示出来，利用①的结果，算出为定值，然后求出的面积为S的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 由于，若椭圆的四个顶点中有3个可以构成等边三角形，则这3个点是短轴的两个端点以及长轴的一个端点， 由题意得: . 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②设点到直线的距离为， 则. 又因为，所以， 所以 为定值， 所以 当且仅当时等号成立，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $