1.1探索勾股定理 同步练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.1探索勾股定理 同步练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．已知，，是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，则 D．在中，若，则 2．如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（ ） A．1 B． C．2 D．4 3．如图， 在中， ， ， ， 分别以， 为圆心， 以大于线段长度的一半为半径作弧．两弧相交于点，．连接，交于点，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　） A． B．π C． D．π 5．在中，，若，则的面积为（　　） A．6 B．1 C．2 D．2 6．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状改变而变化．当是直角三角形时，对角线的长为（    ） A．5 B． C． D．4 7．如图，和均为直角三角形，且，，，点E是中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 8．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知一等腰三角形有两边长分别是10cm和12cm，则底边上的高为 . 10．古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为和，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为，则此长方形的面积为 ． 11．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 12．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为 ． 13．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为 ． 14．小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O，A，B，C，D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为 cm． 三、解答题 15．在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： （1）已知，，求c的长； （2）已知，，求a的长； 16．如图，在中，于点，，，．求与的长． 17．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置． （1）若，求的度数； （2）若； ①求的长； ②的面积为______． 18．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 参考答案 1．【答案】C 【分析】如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．依此即可作出选择． 【详解】A、已知a、b、c是三角形的三边，无法确定a2+b2=c2，故选项错误； B、在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，故选项错误； C、在Rt△ABC中，∠C=90°，所以AC2+BC2=AB2，故选项正确； D、在Rt△ABC中，∠B=90°，所以AB2+BC2=AC2，故选项错误． 故选C． 2．【答案】C 【分析】由勾股定理结合正方形的面积公式求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9， ，， ， 故选C． 3．【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用线段的垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：在 中，， ， 由作图可知， 垂直平分线段， ， 的周长． 故选 B． 4．【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AB，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2， ∴BC＝AC＝1， 由勾股定理得，AB＝， ∴两个月形图案的面积之和＝×π×（）2+×π×（）2+×1×﹣×π×12＝， 故选A． 5．【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，勾股定理．利用完全平方公式可得，再由勾股定理可得即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 则的面积为． 故选A 6．【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴，即， 当为直角三角形时，有两种情况： 若为最长边时，，虽然是直角三角形，但不合题意，舍去； 若为最长边时，，此时为直角三角形，且在范围之内，符合题意． 故选C． 7．【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 故选B． 8．【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选C． 9．【答案】8cm或cm 【分析】将腰作为10cm或12cm分两种情况用勾股定理即可求得. 【详解】腰为10cm，底边为12cm. 三角形为等腰三角形，所以底边上的高也为中线，底边的一半为6cm， 底边上的高, 腰为12cm，底边为10cm. 三角形为等腰三角形，所以底边上的高也为中线，底边的一半为5cm， 底边上的高. 故答案为8cm或cm. 10．【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，再根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，，，， ， ． 11．【答案】9 【分析】首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 12．【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的面积之和等于；依此类推，经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，进而得问题答案，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【详解】解：如图： 设直角三角形的三条边分别是，，． 根据勾股定理，得， 即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 所有正方形的面积之和为； 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方形的面积正方形的面积 正方形的面积 ， 所有正方形的面积之和为， …， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 13．【答案】110 【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解． 【详解】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50， ∴2ab＝50， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110． 14．【答案】 【分析】利用证明得到，然后根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ∵，， ∴， ∴． 15．【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理计算c的长； （2）利用勾股定理计算a的长． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ． 16．【答案】的长为25，的长为15． 【分析】根据勾股定理求出即可；根据勾股定理求出，求出即可． 【详解】解：，，，， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中， 由勾股定理得：， ． 答：的长为25，的长为15． 17．【答案】（1）的度数为 （2）①的长为6；② 【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得． （2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴； （2）①∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴的长为6； ②由①得， ∴， ∴ 18．【答案】（1）米 （2）14米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； （2）解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $