1.4 利用三角形全等测距离 课件 2025-2026学年鲁教版(五四制)七年级数学上册

该初中数学课件围绕“利用三角形全等测距离”这一核心知识点展开，从池塘两端距离测量的实际问题导入，通过八路军战士巧用全等三角形原理炸毁碉堡的经典案例，自然引出几何推理与转化思想的应用，构建起现实情境、数学建模与逻辑证明之间的学习支架，层层递进地引导学生理解如何将不可直接测量的线段转化为可测线段。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以真实历史情境激发学生好奇心，借助“转角测距”“标杆法”“对称构造”等典型例题培养几何直观和推理能力，如第16页中通过构造直角三角形并利用ASA判定实现距离转换，体现严谨的逻辑链条。教学设计注重问题驱动与实践操作，既提升学生解决实际问题的能力，又强化符号意识与模型观念，帮助教师高效落实新课标要求，促进学生深度学习与高阶思维发展。

利用三角形全等测距离 学习目标 1.数学抽象：利用三角形全等解决实际问题时，能从具体情境中梳理出三角形全等的数学模型，建立实际问题与三角形全等知识的联系，实现实际问题到数学问题的转化。 2.逻辑推理：在解决实际问题的过程中，运用三角形全等的判定方法和性质进行有逻辑的思考，形成清晰的推理链条，并用规范的数学语言表达推理步骤，提升严谨性。 3.数学建模：面对实际问题，构建三角形全等的数学模型，通过判定三角形全等解决线段相等、角相等等实际问题，体会数学建模在沟通数学与现实生活中的作用。 4.直观想象：借助实际问题中的图形，观察分析其中的三角形全等关系，直观理解解决思路，增强对实际问题中图形关系的空间想象能力。 5.数学运算与数据分析：解决实际问题时，提取关键信息，分析三角形全等条件，运用相关知识推理；总结解决不同问题的方法，提高信息处理和归纳能力。 重难点 •重点：灵活运用三角形全等知识解决实际问题，理解数学与实际生活的密切联系。 •难点：正确将实际问题转化为三角形全等的数学问题，在解决中进行有条理的思考并规范表达。 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意： 先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC.连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？ 导入新课 引入 在抗日战争期间，为了炸毁 与我军阵地隔河相望的日本鬼子的 碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。 你知道他用什么办法吗？ 【想一想】 A H A' H' B B' 这位聪明的八路军战士的方法如下： 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。 ？ 理由：在△AHB与△A'H'B'中， ∠A=∠A' AH=A'H' ∠H=∠H' △AHB≌△A'H'B'（ASA） BH=B'H' A H A' H' B B' ？ 【小结】如何求未知线段？ 途径：利用三角形全等 方法：转化思想 A H A' H' B B' ？ 好高的纪念碑呀！相当于几层楼高呢？ 想一想想一想 想到办法了，要站在路中间。 他在干吗呢？ O B B’ A A’ 我知道了，相当于八层楼高。 你能用所学的知识说说这样做的理由吗？ 典例分析 B AD⊥BC 17 随堂练习 一、选择题。 1.如图所示,AB,CD表示两根长度相等的铁条,若O是AB,CD的中点,经测量AC=15 cm,则容器的内径是 (　 　) A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm D 2.如图,要测河的宽度AB的距离,可以从AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,过点D作DE⊥BF,且A,C,E三点在同一直线上.若测得DE=15米,则AB=15米,这是根据△ABC≌△EDC得来的,那么两个三角形全等的依据是(　 　) A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS A 3.如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是(　 　) A.选①去 B.选②去 C.选③去 D.选④去 D 二、填空题。 1.教室里有几盆花,如图①,要想测量这几盆花两旁的A,B两点间的距离不方便,因此,选点A,B都能到达的一点O,如图②,连接BO并延长BO到点C,使CO=BO,连接AO并延长AO到点D,使DO=AO,那么C,D两点间的距离就是A,B两点间的距离. 理由:在△COD和△BOA中, ∴△COD≌△BOA(　 　).∴CD=　 　.∴只要测出C,D两点间的距离就可知A,B两点间的距离.  SAS AB 2.如图所示,A,B在一条河的两侧,若BE=DE,∠B=∠D=90°,CD=160 m,则河宽AB等于　 　m.  160 三、解答题。 1.小明制作的风筝形状如图所示,他根据DE=DF,EH=FH,不用测量就知道∠E=∠F,请你运用所学知识给予证明. 解: 连接DH.在△DEH和△DFH中, ∴△DEH≌△DFH(SSS) ∴∠E=∠F. 2.如图所示,要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB.延长BA到点D,使∠ACD=∠ACB,这时测得的AD的长就是水池宽AB的长,试说明理由. 解:∵AC⊥AB,∴∠BAC=∠DAC=90°. 在△ABC和△ADC中,∠BAC=∠DAC, AC=AC,∠ACB=∠ACD, ∴△ABC≌△ADC(ASA). ∴AB=AD. 3.如图,A,B两个建筑物分别位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过点D作DE∥AB,使E,C,A三点在同一直线上,则DE的长就是A,B之间的距离,请你说明理由. 解:∵DE∥AB,∴∠A=∠E, 又∵∠ACB=∠ECD,BC=CD, ∴△ABC≌△EDC(AAS), ∴DE=AB. 1.已知，如图所示，△ABC和△ECD均为等腰直角三角形，其中∠ACB和∠DCE均为90度，且点D位于边AB上。请判断BD与AE的长度关系，并给出相应的解释。 解:BD=AE.理由: ∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE.∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD, ∴∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中, ∵ ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD. 2.如图所展示的，湖畔有两根电线杆A和B，我们计划在这两根电线杆之间架设一条电话线。为了确定A和B之间的距离，我们需要进行测量。然而，直接测量A和B的距离是不可行的。请利用你所学的知识和技巧，设计一个测量方案来计算A和B之间的距离，并阐述你的理由。 解:方案:先在平地上取一个可以直接到达A点和B点的C点,连接AC并延长到点D,使CD=AC,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,则DE的长度即AB的长度.(方案不唯一)　 理由:∵AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC, ∴△ACB≌△DCE(SAS),∴DE=AB. 拓展提高 5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理. 拓展提高 【解】因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C， BM=CM， ∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离. 拓展提高 5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理. 拓展提高 【解】因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C， BM=CM， ∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离. 1.本节课学习了什么内容？ 2.使用了哪些数学方法？ 3.用了什么数学思想？ 4.你对学习本节课知识有什么体会? 谈谈收获 复习本课知识。 完成习题册的达标测试部分。 预习下节课的学案。 作业: 1．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N间的距离．如果△PQO≌△NMO，那么只需测出其长度的线段是(　　) A．PO B．PQ C．MO D．MQ 2．如图是一个三角形平架，已知AB＝AC，在BC的中点挂一个重锤，自然下垂，调整架身使点A在重锤柄上，AD与BC的位置关系是________． 3．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发，沿与AB成90°角方向，向前走50 m到C处立一根标杆，然后保持方向不变，继续朝前走50 m到D处，在D处转90°沿DE方向再走17 m到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B之间的距离为________m. 4．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度是x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x. 解：可设计如图所示的工具，其中O为AC，BD的中点， ∵在△AOB和△COD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝CO，,∠AOB＝∠COD,BO＝DO，,))， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴AB＝CD，所以测量出C，D之间的距离，CD的长就是A、B间的距离． ∵AB＝a－2x， ∴x＝eq \f(a－AB,2)＝eq \f(a－CD,2). $