第十三章 三角形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、单选题 1．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10 3．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在中，平分，交于点D，若，，的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（ ） A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 9．如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④．    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．周末，王磊和表弟到公园玩，玩耍中不慎将一块木板做的三角形广告牌弄坏了，如图所示是广告牌的残余部分.王磊向公园值班的叔叔承认了错误，并主动要求重新做一块一模一样的广告牌，量得 ， ，这块广告牌另外一个角的度数是________. 12．在△ABC中，已知BC边上的高AD=8 cm，BD=15 cm，CD=6 cm，则△ABC的面积为　　　　.  13．如图，在中，高，交于点.若 ，则 度. 14．如图，垂足为，交于点，，，则 ． 15．已知 的三边长分别为 ， ， ，化简 的结果是 ． 16．已知n为整数,若一个三角形的三边长分别是4n+31,n-13,6n,则所有满足条件的n值的和为　　　　.  17．如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ． 18．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 19．如图，在中，点是与的平分线的交点，的延长线交于点． （1） 若 ，求的度数； （2） 若 ，求的度数； （3） 请直接写出与之间的数量关系（不必说明理由）． 20．在三角形ABC中,AD是角平分线,∠B＜ (1)如图(1),AE是高,∠B=35°,∠C=65°,求 的度数; (2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于F,试探究 与 的大小关系,并证明你的结论; (3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于F,则 与 的大小关系是____(直接写出结论,不需证明). 21．若三边均不相等的三角形三边，，满足为最长边，为最短边，则称它为“不均衡三角形”.例如：一个三角形三边长分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”. （1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为  （填序号）. ，，；，，； ，，；，，. （2）已知“不均衡三角形”三边长分别为，16，为整数，求的值. 22．将三角尺放置在上（点在内），如图（1）所示，三角尺的两边，恰好经过点和点.探究与是否存在某种数量关系. 图（1） 图（2） （1）特例探索：若 ，则  度,  度； （2）类比探索：写出，，之间满足的数量关系，并说明理由； （3）变式探索：如图（2），改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边，仍恰好经过点和点，求，，之间满足的数量关系，并说明理由. 参考答案 1．【答案】A 【分析】根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选A． 2．【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能组成三角形，此项不符题意； B、，不能组成三角形，此项不符题意； C、，能组成三角形，此项符合题意； D、，不能组成三角形，此项不符题意； 故选C． 3．【答案】D 【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】 如图，根据两直线平行，内错角相等， ∴∠1=45°， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴∠α=∠1+30°=75°． 故选D． 4．【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选B． 5．【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角的性质得，， ∵，， ∴， 故选B． 6．【答案】B 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，根据角平分线的定义可得出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选B. 7．【答案】D 【分析】利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选D． 8．【答案】C 【分析】根据锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．以及三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故选项错误； C．正确； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误． 故选C． 9．【答案】A 【分析】设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含和的代数式表示出来，从而求出的面积即可． 本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 设，，则， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 10．【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质和三角形外角的性质可得，易得，即可证明，故①正确；由平行线的性质和角平分线的性质可得，，易得，故②正确；首先证明，结合三角形内角和定理可得，进而证明，故③正确；首先证明 ④首先证明，结合，，，易得，进而可证明，故④正确． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选D． 11．【答案】 【解析】由三角形的内角和等于 ，可得另外一个角的度数是 . 12．【答案】36 cm2或84 cm2 【详解】思路引导： 当AD在△ABC内部时，如图(1) 当AD在△ABC外部时，如图(2) 图(1) 图(2) ∵BC=BD+CD=21 cm， ∴S△ABC=BC·AD=×21×8=84(cm2) ∵BC=BD-CD=9 cm， ∴S△ABC=BC·AD=×9×8=36(cm2) 13．【答案】75 【解析】因为，是的高，所以 ，所以 ， ，所以 .故答案为75. 14．【答案】 【分析】根据题意求得，根据对顶角得出，然后根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ 15．【答案】 【解析】 的三边长分别是 ， ， ， ， ， ， ， . 16．【答案】48 【详解】①若n-13<6n≤4n+31,则解得即<n≤,所以正整数n有1个,为15;②若n-13<4n+31≤6n,则解得即≤n<18,所以正整数n有2个,为16和17.综上所述,满足条件的n值的和为15+16+17=48.故答案为48. 17．【答案】/度 【分析】先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴ 18．【答案】 【分析】易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解：为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为. 19．【答案】见详解 【解析】（1） 因为点是与的平分线的交点，所以，，所以 ，所以 ． （2） 因为 ，所以 ，所以 .因为是与的平分线的交点，所以 ，所以 ． （3） . 因为点是与的平分线的交点，所以，，所以，所以． 20．【答案】见详解 【详解】(1)因为AD平分 ,所以 因为AE⊥BC,所以 ,所以 因为 ,所以 (2) 理由:如图(1), 过A作AG⊥BC于G.因为EF⊥BC,所以AG∥EF,所以 由(1)可得, ,所以 (3)如图(2),过A作AG⊥BC于G.因为EF⊥BC,所以AG∥EF,所以 由(1)可得, ,所以 ,故答案为 21．【答案】（1） ①因为，不满足三角形三边关系，所以长度为，，的小木棍不能组成“不均衡三角形”；②因为，所以长度为，，的小木棍能组成“不均衡三角形”；③不满足“三边均不相等”这一条件，所以长度为，，的小木棍不能组成“不均衡三角形”；④因为，所以长度为，，的小木棍不能组成“不均衡三角形”.故答案为②. （2） 分三种情况讨论：①当，即时，，解得.因为，所以，故不合题意；②当，即时，，解得，所以.因为为整数，所以.经检验，当时，可构成三角形；③当，即时，，解得，所以.因为为整数，所以或13或14，都可以构成三角形.综上所述，的值为10或12或13或14. 22．【答案】（1） 90 40 （2） .理由： ， ， ， （3） ，理由:设交于，如图. ，，即，. 【解析】 （1） 【解】 ， ， ， ，故答案为 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $