精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期培优班9月月考（开学考）数学试题

汕头市潮阳实验学校2025~2026学年度第一学期 高二培优班9月月考（入学考）数学试卷（B） 命题人：江新详 审题人：朱海涛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行六面体中，设则（ ） A. B. C. D. 3. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 4. 汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 92.5 B. 95 C. 97.5 D. 100 5. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 7. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则事件与事件相互独立 10. 已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ） A B. C. D. 11. 已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， 平面 C. ，，有 D ，，有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 13. 已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为________________． 14. 已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 四、解答题： 本题共5小题， 第15小题13分， 第16、17小题15分， 第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为促进学生对数学文化认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 16. 在中，角所对的边分别是，已知的外接圆半径，. （1）求角； （2）求的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 18. 设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”． （1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由； （2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为； （3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围． 19. 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市潮阳实验学校2025~2026学年度第一学期 高二培优班9月月考（入学考）数学试卷（B） 命题人：江新详 审题人：朱海涛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，又， 所以． 故选：B 2. 如图，平行六面体中，设则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的加减运算可得. 【详解】因为  ，  ，  ， 所以  ， 故选：A 3. “关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 4. 汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 92.5 B. 95 C. 97.5 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质及中位数的概念，即可求解． 【详解】根据题意可得前几组的频率依次为0.12，0.28，0.4， 所以中位数在内，且为． 故选：B． 5. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 6. 已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C 7. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 详解】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据对立事件的定义即可判断，对于B根据交事件的性质即可判断，对于C先求，进而得，根据概率的乘法公式即可判断，对于D利用独立事件的定义即可判断. 【详解】对于A：由，若，则事件与事件不是对立事件， 若，则事件与事件互为对立事件，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：若 ，所以，即， 所以，所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程. 【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称， 在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示： 显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线； 又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确； 利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为， 又到切线的距离为1，即，解得或； 当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确； 由对称性可知，切线与直线平行， 易知，所以直线的方程为， 可设的方程分别为， 由两平行线间距离公式可得，解得， 即切线的方程分别为，； 整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误； 故选：ABC 11. 已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， 平面 C. ，，有 D. ，，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求各点坐标，根据两点结论公式求，判断A，求平面的法向量，直线的方向向量，证明两向量垂直，判断B，由求，，判断C，令，确定，关系，由此判断D. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则正方体各顶点坐标为，，，，，，，， 因为，，所以点Q坐标为， 又因为，，， 所以点坐标为， 对于A，当时，点，点， 则，故A错误； 对于B，当时，点， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得，， 所以为平面的法向量， ，，所以， 又平面，所以平面，故B正确; 对于C，，，， 当时，恒成立，当时，令，得， 所以，，有，故C正确； 对于D，，，， 令，即，， 因为，所以， 所以，，有，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线．若，则实数的值为________________． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13. 已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出过的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出半径的值. 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分， 所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为. 所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径， 即. 故答案为：. 14. 已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值, 【详解】设，则， 如下图所示： 取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理， 因为，则， 即，所以，，① ，即， 所以，，② 联立①②可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案：. 四、解答题： 本题共5小题， 第15小题13分， 第16、17小题15分， 第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 【答案】（1）； （2）众数、平均数依次为62分、65分； （3）学生甲能得到奖励，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图求样本数据的众数和平均数即可； （3）根据已知求出对应分位数，判断甲的分数所在的位置，即可得结论. 【小问1详解】 由直方图知，所以； 【小问2详解】 平均值为：分，众数为：分； 小问3详解】 成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 16. 在中，角所对的边分别是，已知的外接圆半径，. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由外接圆半径可得，结合正弦定理可得，由余弦定理可求出角C; （2）将结合外接圆半径将边用角A,B表示，再由（1）可知，进而用角来表示，结合三角函数的图象与性质即可求出范围. 【小问1详解】 由的外接圆半径，则，可得， . 由正弦定理得. 由余弦定理得， ， . 【小问2详解】 由(1)可得， ， ， 即. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【小问1详解】 因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 18. 设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”． （1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由； （2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为； （3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数与的零点，再利用给定定义验证即得. （2）求出函数的零点，利用单调性结合设出的唯一零点，再利用充要条件的定义推理得证. （3）借助复合函数单调性确定函数与的单调性，并求出零点，再由定义列出不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，，则，解得，即， 函数的零点，因此， 所以与是“零点近距函数”. 【小问2详解】 函数，由，得或， 函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增， 依题意，函数有唯一零点，则， 函数与是“零点近距函数”等价于， 所以与是“零点近距函数”的充要条件为. 【小问3详解】 函数，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上都单调递增， 函数在上单调递增，而，因此； 函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而，因此，由与是“零点近距函数”，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 19. 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标； （ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离. 【小问1详解】 由题意得，则，设， 则， 化简得 【小问2详解】 （i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $