精品解析：广东省珠海市文园中学2025--2026学年九年级上学期开学考数学试卷

珠海市文园中学2025年暑假学情自我反馈 九年级数学试卷 说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分100分，考试时间为60分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组为（ ） A B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； ，故是勾股数，符合题意； 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 6. 在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数分别为6，5，4，7，6，8，则这6位同学投篮进球数的中位数为（ ） A. 5次 B. 5．5次 C. 6次 D. 7次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据由小到大排列为4，5，6，6，7，8， ∴中位数为． 故选C． 7. 已知点在一次函数的图象上，则k等于（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查待定系数求函数的解析式，把点代入一次函数即可得出k的值．代入点的坐标时要细心求解是本题的关键． 【详解】解：把点代入一次函数得：， 解得：， 故选：D． 8. 已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，开口向下的二次函数满足其解析式中二次项系数为负数，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则一次函数与一次函数的图象的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 由题得，推出一次函数图象经过第一、二、四象限，继而得到一次函数与一次函数的图象的交点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象不经过第四象限， ， 一次函数图象经过第一、二、四象限， ， 一次函数与一次函数的图象的交点在第一象限， 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移． 【详解】解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，已知，则的度数为__________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接，得出为等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， 为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， 在中，， 是直角三角形，且， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点作延长线于点，，，，，在中，由此勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 16. 如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 【详解】在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 三、解答题（本大题共5小题，17、18题各7分；19题8分；20、21题各12分．共46分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算乘法，再合并同类二次根式即可得． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 18. 如图所示的遮阳伞，其示意图如图，伞柄垂直于水平地面，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨cm，，分别是伞骨上两个定点．当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上且平行于地面，此时cm．两个身体宽度cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【答案】他们会被垂直滴下的雨水淋到 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理来求解．先证明三角形全等得出相关角度和边的关系，再利用勾股定理求出的长度，最后与两人宽度和间隔之和比较判断是否会被淋到． 【详解】解：如图 ∵伞柄垂直于水平地面，伞骨cm， ∴平分, ∴， 在和中， ， ∴≌()， ∴，， ∵点，，在同一条直线上 ∴ ∴， 在中：cm，cm， ∴cm， ∴cm， ∵． ∴他们会被垂直滴下的雨水淋到． 19. 某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图． （1）求抽取的20名学生测试得分的平均数与众数； （2）若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）， （2）估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，众数，熟练掌握平均数，众数的求法是解题的关键． （1）根据平均数，众数的求法，即可求解； （2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以即可． 【小问1详解】 解： 平均数为：； 这组数据中7分出现的次数最多，则众数为． 【小问2详解】 解：（人） 答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人． 20. 某商店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）A，B两种雨伞的单价分别是50元，35元 （2）应购买13把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键． （1）设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为元，根据购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，列一元一次方程，求解即可； （2）设购买m把A种雨伞，总费用为W元，根据此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，列一元一次不等式，求出取值范围，再表示出与的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，A种雨伞购买数量，进一步求出最小费用即可． 【小问1详解】 解：设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为元， 根据题意，得， 解得， （元） 答：A，B两种雨伞的单价分别是50元，35元． 【小问2详解】 设购买m把A种雨伞，总费用为W元， 则 解得， 故最小整数解为， ． ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W取得最小值，最小值为． 答：应购买13把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元． 21. 如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）请直接写出点的坐标； （2）如图2，平分交于点，求面积； （3）如图3，动点在第一象限或轴上，且点在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；点P的坐标或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，一次函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据矩形性质写出点C的坐标，即可求解． （2）根据勾股定理求得证明，得出，，，进而勾股定理建立方程求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设点．分类讨论：①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，证明，得出此时点；②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点同理，可证，得出的长，即可得出点P的坐标. 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴； 【小问2详解】 解：过点作交于，如图： ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设点． ①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，如图： 等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得， ∴点． ②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图： 同理，可证， ， ， 解得， ， 点； 综上分析可知：点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市文园中学2025年暑假学情自我反馈 九年级数学试卷 说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分100分，考试时间为60分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组为（ ） A. B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 3. 下列运算中正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 6. 在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数分别为6，5，4，7，6，8，则这6位同学投篮进球数的中位数为（ ） A 5次 B. 5．5次 C. 6次 D. 7次 7. 已知点在一次函数的图象上，则k等于（ ） A. 6 B. C. 2 D. 8. 已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则一次函数与一次函数的图象的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 将直线向上平移个单位长度，平移后直线解析式为______． 13. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 14. 如图，在四边形中，已知，则的度数为__________． 15. 如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为_____． 16. 如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，17、18题各7分；19题8分；20、21题各12分．共46分） 17. 计算： 18. 如图所示的遮阳伞，其示意图如图，伞柄垂直于水平地面，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨cm，，分别是伞骨上两个定点．当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上且平行于地面，此时cm．两个身体宽度cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 19. 某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图． （1）求抽取20名学生测试得分的平均数与众数； （2）若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数． 20. 某商店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小？最小费用是多少元？ 21. 如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）请直接写出点的坐标； （2）如图2，平分交于点，求的面积； （3）如图3，动点在第一象限或轴上，且点在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $