精品解析：广东省揭阳市揭西县兴贤实验学校2023-2024学年上学期期中质检九年级数学科目试卷

2023－2024学年度第一学期期终质检 九年级数学科目试卷 说明： 1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在答卡相应位置上作答，不按要求作答的答案无效．不能使用改正纸和涂改液． 3、考试结束时，将答卡收回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. a取任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 2. 一个几何体如图水平放置，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握主视图的定义是解题关键． 3. 已知点（-1，y1)，（-3，y2)，（ 3，y3)在反比例函数y=-的图象上，则（ ） A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y3<y2<y1 【答案】D 【解析】 【分析】k＜0，在每个象限内，y随x值的增大而增大，（-1，y1）与（-3，y2），在第二象限，（3，y3）在第四象限，即可解题． 【详解】解：∵k=-2＜0， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大， ∴点（-1，y1）与（-3，y2）在第二象限，点（3，y3）在第四象限， ∴当x=3时，y3＜0， ∵-3＜-1， ∴y1＞y2＞0， ∴y3＜y2＜y1， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　） A. B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD=， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5， 故选C． 点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键． 5. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是　　 A. 20个 B. 16个 C. 15个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】设红球有x个，根据题意得， 3：（3+x）＝1：5， 解得x＝12， 经检验：x＝12是原分式方程的解， 所以估计盒子中红球的个数大约有12个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 6. 两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求出AB＝4，再证出∠ACD＝∠B，然后由锐角三角函数定义求解即可． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB＝，∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD是斜边AB上的高， ∴CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是证明∠ACD＝∠B． 8. 共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ） A. 1.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图像可知，当时，x的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键． 10. 如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：在△ABC中，中线AE、BD相交于点F， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，＝，故①正确； ∴△CDE∽△CAB， ∴，，故②错误； ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∴，故③正确； ∵CD＝DA，， ∴S△CDE＝S△ADE，， ∴＝，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理得到，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，∵， ， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，当B为的中点，且面积为2，则k值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于．根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值． 【详解】解：∵点B为的中点，且面积为2， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60º，E是CD上一点，将△ADE折叠，折痕为AE，点D的对应点为点D’，AD’与BC交于点F，若F为BC中点，则∠AED=______. 【答案】75º 【解析】 【分析】如图（见解析），连接AC，易证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得. 【详解】如图，连接AC 在菱形ABCD中， 是等边三角形 F为BC中点 （等腰三角形三线合一的性质），即 （两直线平行，同旁内角互补） 又由折叠的性质得： 在中，由三角形的内角和定理得： 故答案为：. 【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键. 15. 已知，，为非零实数，且，则的值为______. 【答案】－1或2 【解析】 【详解】∵， ∴，，， ∴得： ∴. 当时，； 当时，； ∴k的值是－1或2. 16. 将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的平移，熟练掌握反比例函数图象的平移是解题的关键；根据图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为； 故答案为． 三、解答题（本大题4小题，其中17－18题各4分，19－20题各6分，共20分） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及零次幂，熟练掌握特殊三角函数值及零次幂是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值及零次幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 18. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要 考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用配方法求解方程是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解方程． 【详解】解： ∴． 19. 如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点． （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　 　，　 　），点C′的坐标为（　 　，　 　），S△A′B′C′：S△ABC=　 　． 【答案】 （1）如图所示：△A′B′C′即为所求； （2）﹣1，0；1，2；1：4． 【解析】 【分析】(1)利用△A′B′C′与△ABC位似且位似比为1:2，可将对应点坐标乘以即可； (2)利用所画图形得出对应点坐标后，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：（1）由图可得A(-2，0)，B(4，0)，C(2，4)，则A’(-1，0)，B’(2，0)，C’(1，2)； （2）A′（﹣1，0），C′（1，2）， S△A′B′C′：S△ABC=1：4． 故答案为﹣1，0；1，2；1：4． 【点睛】本题考查了三角形位似的概念. 20. “学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分． （1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？ （2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率． 【答案】（1）他获得的积分是2分的概率最大； （2）两局积分之和恰好是4分的概率是． 【解析】 【分析】（1）根据首局四个人得分分别为3，2，2，1，可求得获得2分的概率最大； （2）把两次得分情况用列表表示出来并求和，用他前两局积分之和恰好是4分的情况数，除以总情况数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分可能是3分，2分，2分或1分，他获得的积分是2分的概率最大； 【小问2详解】 解：由题意列表： 首局 第二局 3 2 2 1 2 5 4 4 3 1 4 3 3 2 1 4 3 3 2 1 4 3 3 2 所有可能情况一共有16种， 两局积分之和恰好是4分的情况有5种， ∴两局积分之和恰好是4分的概率是． 【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，正确理解题意并列表或画出树状图是解题的关键． 四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22－23各10分，共28分） 21. 如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得，在B处测得，若米，求河两岸之间的距离（，结果精确到0.1米） 【答案】河两岸之间的距离为54.6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形性质以及勾股定理，本题属于中等题型．过点A作于点E，过点B作于点D，然后根据含30度角的直角三角形性质以及勾股定理分别求出、后即可求出两岸之间的距离． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点D， ∵，， ∴， ∵米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米； 答：河两岸之间的距离为54.6米． 22. 如图，线段 CD∥AB，AD与BC交于点E． （1）求证；； （2）过点E作EF∥AB，交AC于点F，如果AB=5，EF=2，求CD的长． 【答案】（1） 证明：∵CD∥AB， ∴∠B＝∠BCD，∠BAE＝∠D， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得∠B＝∠BCD，∠BAE＝∠D，则可判定△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质得，即可得； （2）根据平行线的性质得∠EFC＝∠BAC，∠CEF＝∠B，可判定△CEF∽△CBA，根据相似三角形的性质得，则，等量代换得EF∥CD，则，可判定△AEF∽△ADC，根据相似三角形的性质得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC，∠CEF＝∠B， ∴△CEF∽△CBA， ∴， ∴， ∵ CD∥AB，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴，， ∴△AEF∽△ADC， ∴， ∴， ∴CD=． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 23. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20； （2）能，理由： 设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）略 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点M（），则称点M为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x2=3x，写出该一元二次方程的奇特点M的坐标； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的奇特点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的奇特点M始终在直线y＝3kx﹣2（k﹣2）上，若存在请算出b，c的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M的定义，即可求解； （2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M的定义，可得奇特点M的坐标为 ，再由过点M向x轴和y轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于 的方程，解出即可； （3）将直线解析式变形，可得直线过定点 ，从而得到一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根为 ，即可求解． 【详解】解：（1） ，整理得： ，即， 解得： ， ∴奇特点M的坐标为 ； （2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0， ∴ ， 解得： ， ∵m＜0， ∴ ， ∴奇特点M的坐标为 ， ∵过点M向x轴和y轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴ ，解得： ； （3）存在，理由如下： ∵ ， ∴当 ，即 时， ， ∴直线y＝3kx﹣2（k﹣2）过定点 ， ∵一元二次方程x2+bx+c＝0的奇特点M始终在直线y＝3kx﹣2（k﹣2）上， 一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根为 ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 25. 【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度第一学期期终质检 九年级数学科目试卷 说明： 1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在答卡相应位置上作答，不按要求作答的答案无效．不能使用改正纸和涂改液． 3、考试结束时，将答卡收回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. a取任意实数 2. 一个几何体如图水平放置，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点（-1，y1)，（-3，y2)，（ 3，y3)在反比例函数y=-的图象上，则（ ） A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y3<y2<y1 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　） A. B. 2 C. 5 D. 10 5. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是　　 A. 20个 B. 16个 C. 15个 D. 12个 6. 两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（　　） A. B. C. D. 8. 共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ） A. 1.2 B. C. D. 9. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 12. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，当B为的中点，且面积为2，则k值为_____． 14. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60º，E是CD上一点，将△ADE折叠，折痕为AE，点D的对应点为点D’，AD’与BC交于点F，若F为BC中点，则∠AED=______. 15. 已知，，为非零实数，且，则的值为______. 16. 将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为_____． 三、解答题（本大题4小题，其中17－18题各4分，19－20题各6分，共20分） 17. 计算： 18. 用配方法解方程：． 19. 如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点． （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　 　，　 　），点C′的坐标为（　 　，　 　），S△A′B′C′：S△ABC=　 　． 20. “学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分． （1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？ （2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率． 四、解答题（本大题3小题，其中21题8分，22－23各10分，共28分） 21. 如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得，在B处测得，若米，求河两岸之间的距离（，结果精确到0.1米） 22. 如图，线段 CD∥AB，AD与BC交于点E． （1）求证；； （2）过点E作EF∥AB，交AC于点F，如果AB=5，EF=2，求CD的长． 23. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点M（），则称点M为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x2=3x，写出该一元二次方程的奇特点M的坐标； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的奇特点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的奇特点M始终在直线y＝3kx﹣2（k﹣2）上，若存在请算出b，c的值，若不存在请说明理由． 25. 【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $