精品解析： 北京市三帆中学2025～2026学年上学期九年级开学考数学试卷

北京三帆中学2026届暑假学习反馈 初三数学 注意： （1）考试时间100分钟； （2）请将答案填写在答题纸相应的位置上． 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A. 3，3，3 B. ，， C. 2，3，4 D. 8，16，17 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 6. 某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE＝AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？( ) A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组对边平行的四边形是梯形 C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形 8. 如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，连接，，．设，，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 直线向上平移5个单位后的直线解析式是_________________． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 12. 如图，在中，，点是边的中点，若，则的长为___________． 13. 如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 14. 下列表格中表示是的函数的有___________（填序号）． ① 0 2 0 6 1 2 3 ② 0 1 1 2 3 4 5 ③ 4 2 0 5 56 3 25 ④ 2020 2021 2022 2023 2024 29 28 28 28 29 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，是分别是线段，上的动点，连接，．若，，则的最小值为___________． 16. 在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是___________（填序号）． 三、解答题（共52分，第17~22题每题6分，第23，24题每题8分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线交于点．若，求的值． 20. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 23. 在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 24. 如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、． （1）依题意补全图形； （2）判断的形状，并证明； （3）用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 四、附加题（共10分，第25题2分，第26题8分） 25. 如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且ABEF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为_____． 26. 在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：图形上任意一点，图形上任意一点，称平行于的中位线构成的图形是图形和图形关于原点的“中位形”．已知点，图形是以原点为中心且边与坐标轴平行的正方形，边长为． （1）点和点关于原点的“中位形”的长度是___________； （2）若点和线段关于原点的“中位形”与图形有公共点，求的取值范围； （3）当时，图形沿直线平移得到图形，若图形和线段关于原点的“中位形”与图形没有公共点，请直接写出图形的中心的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京三帆中学2026届暑假学习反馈 初三数学 注意： （1）考试时间100分钟； （2）请将答案填写在答题纸相应的位置上． 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，被开方数里含有能开得尽方的因数，故该选项不符合题意； C、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、符合最简二次根式的条件，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A. 3，3，3 B. ，， C. 2，3，4 D. 8，16，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断三边能否组成直角三角形时，要看较小两边的平方和是否等于较大边的平方，满足则是直角三角形，不满足则不是．根据勾股定理的逆定理进行判断即可得． 【详解】解：A、三边相等，构成等边三角形，故不符合题意； B、，能组成直角三角形，故符合题意； C、，不能组成直角三角形，故不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加、乘、除运算．根据二次根式加、乘、除运算法则计算即可作答． 【详解】解：A、，本项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本项不符合题意； C、，本项符合题意； D、，本项不符合题意； 故选：C． 4. 已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数中y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选C． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．首先将常数项移到方程右边，再对左边进行配方，通过添加合适的常数使左边成为完全平方式，右边同步运算即可得到答案． 【详解】 移项得， 配方得， ∴． 故选：C． 6. 某校合唱比赛、共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的性质．原始数据去掉最高分和最低分后，分析各统计量是否变化．中位数在去掉对称的两个极值后保持不变，而平均数、众数、方差均可能改变． 【详解】解：平均数：总和减少，故平均数可能变化． 众数：若被去掉的最高分或最低分是原众数，则众数改变． 中位数：原始6个数据的中位数为第3、4位数的平均值；去掉最高和最低分后，剩余4个数据的中位数为第2、3位数的平均值．由于原第3、4位数仍位于剩余数据中间，故中位数不变． 方差：数据分布改变，方差可能变化． 故选C． 7. 如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE＝AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？( ) A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组对边平行的四边形是梯形 C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C， ∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即 DE=AC，∠ADE=∠DAC，AD=AD， ∴△ADE≌△DAC（SAS）．∴∠E=∠C， ∴∠B=∠E，AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形． 故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确． 故选C． 8. 如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，连接，，．设，，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 对于①，根据矩形的性质可得，得到，再根据，即得，即可判断①正确； 对于②，先证明，得到，然后根据勾股定理，可证明，再添项配方即可证明②正确； 对于③和④，先证明，利用三角形三边关系可得，即可证明④正确；将④的结论适当变形，即可判断③错误． 【详解】解：对于①， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， ，，， ， ， 在和中，，， 在中，， ， ， ， ②正确； 对于③和④， 由②可知， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 所以④正确； ， ， ， ， 即 ③错误； 所以所有正确结论的序号是①②④． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 直线向上平移5个单位后的直线解析式是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数平移的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意知直线向上平移5个单位后的直线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数平移的性质．熟练掌握一次函数平移的性质是解题的关键． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1． 12. 如图，在中，，点是边的中点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：在中，，， ， 点是边的中点， ． 故答案为：． 13. 如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形，是对角线的交点， ， 故答案为：． 14. 下列表格中表示是的函数的有___________（填序号）． ① 0 2 0 6 1 2 3 ② 0 1 1 2 3 4 5 ③ 4 2 0 5 56 3 25 ④ 2020 2021 2022 2023 2024 29 28 28 28 29 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查函数的定义，解题的关键是熟练掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，逐个判断即可； 【详解】解：①中，当时，y有1和2两个值，不满足y的唯一性，所以①不是函数． ②中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，所以②是函数． ③中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，所以③是函数． ④中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，所以④是函数． 故表示是的函数的有②③④． 故答案为：②③④． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，是分别是线段，上的动点，连接，．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短问题，菱形的性质，勾股定理，作E关于的对称点，则，当时，最小，结合勾股定理及菱形的性质求解即可．能够确定的最小值是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 作E关于的对称点，连接，则， ， 四边形是菱形， 菱形关于城轴对称， 在线段上， 当时，最小， 四边形是菱形，，，，，， ∴， ∴， 菱形的面积为：， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是___________（填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②当代入，得到，当代入，得到，如图所示： 所以一次函数的图象与线段没有公共点，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点； 故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点． 故④错误； 故答案为：①③； 三、解答题（共52分，第17~22题每题6分，第23，24题每题8分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）将括号内的每个数除以，先计算二次根式的除法，然后再计算加减法即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线交于点．若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数综合，关键是注意绝对值方程的解法． （1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ， ， 设直线为， 直线经过原点，且与直线交于点， ， 直线为； 【小问2详解】 解：当时，代入，得到， ， ， 点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线交于点， ，， ， ， ， 或． 20. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点． ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点，先求出，，再根据勾股定理求出、、，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ，是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在，， ． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）把点代入先求出a的值，然后再代入求出b值即可； （2）设直线与交于点D，求出，代入，得，根据时，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，得． 【小问1详解】 解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得， ∴点， 代入， 得， 解得， 【小问2详解】 解：设直线与直线交于点D， 由（1）知，， 代入， 得， 当时，， ∴， 代入， 得， 当直线与直线平行时， 得， ∵时，函数的值小于函数的值，且大于函数的值， ∴． 22. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 23. 在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 【答案】（1），，，； （2）①； ②，建立如图所示的平面直角坐标系，图象如下图为所求： ③，． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式大小比较，二次根式有意义的条件，函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，即可得出答案； （2）①根据二次根式有意义的条件填空即可； ②代入求值，并描点画图即可； ③在图象中找出相应的点，比较纵坐标的差即可． 【详解】解：（1），， ， 又， ， 故答案为：，，，； （2）①， ， 故答案为：； ②当时，， ， 故答案为：2； ③根据图象可判断， ，， 故答案为：，． 24. 如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、． （1）依题意补全图形； （2）判断的形状，并证明； （3）用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形，证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）利用证明，可得，，在通过，可得，由此得出是等腰直角三角形， （3）过点作交延长线于点，证明可得，，是等腰直角三角形，再根据45°直角三角形的边长关系即可证明． 【小问1详解】 解：依题意补全图形 【小问2详解】 是等腰直角三角形 证明：∵正方形 ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵中， 又∵ ∴中， ∴ ∴为等腰直角三角形 【小问3详解】 过点作交延长线于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 四、附加题（共10分，第25题2分，第26题8分） 25. 如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且ABEF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为_____． 【答案】16﹣8 【解析】 【分析】如图，延长GF交AB于点M．由题意可知正方形ABCD被分成8个全等的直角三角形，一个正方形EFGH，根据含30°角的直角三角形的性质得到BM＝BG＝2，MG＝BG＝2，求得AB＝2+2，根据正方形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】答：解：如图，延长GF交AB于点M． 由题意可知正方形ABCD被分成8个全等的直角三角形，一个正方形EFGH， ∵AF＝BG＝4，且ABEF，∠ABG＝60°， ∴BM＝BG＝2，MG＝BG＝2， ∴AB＝2+2， ∴地漏正方形EFGH的面积＝（2+2）2﹣8××2×2＝16﹣8， 故答案为：16﹣8． 【点睛】此题考查了正方形的性质和30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和30°角直角三角形的性质． 26. 在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：图形上任意一点，图形上任意一点，称平行于的中位线构成的图形是图形和图形关于原点的“中位形”．已知点，图形是以原点为中心且边与坐标轴平行的正方形，边长为． （1）点和点关于原点的“中位形”的长度是___________； （2）若点和线段关于原点的“中位形”与图形有公共点，求的取值范围； （3）当时，图形沿直线平移得到图形，若图形和线段关于原点的“中位形”与图形没有公共点，请直接写出图形的中心的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，由“中位形”的定义可得，点和点关于原点的“中位形”为平行于的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出“中位形”的长度； （2）分别取的中点，连接，，，由“中位形”的定义可得，点和线段关于原点的“中位形”为及其内部组成的图形，设图形为正方形，则及其内部组成的图形与正方形有公共点，分别画出正方形边长最大和最小的示意图，再利用正方形和一次函数的性质即可得出答案； （3）设图形为正方形，图形为正方形，分别取的中点，连接，则，，根据正方形和平移的性质可得；考虑图形和线段关于原点的“中位形”与图形恰好有公共点的2种临界情况，画出示意图，利用一次函数的知识求出对应的值，再结合图象即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点和点关于原点的“中位形”为平行于的中位线， ∴“中位形”的长度是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分别取的中点，连接，，， ∵， ∴，，， 由题意得，点和线段关于原点的“中位形”为及其内部组成的图形， 设图形为正方形， ∵点和线段关于原点的“中位形”与图形有公共点， ∴及其内部组成的图形与正方形有公共点， ①当经过点时，正方形的边长有最大值， 此时； ②当正方形的顶点恰好落在线段上时，正方形的边长有最小值， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵图形是以原点为中心且边与坐标轴平行的正方形， ∴点在直线上， 联立，解得， ∴， 此时； ∴综上，的取值范围为； 【小问3详解】 解：设图形为正方形，图形为正方形，分别取的中点，连接， 由（2）得，，， ∵图形沿与直线平移得到图形，图形的中心的横坐标为， ∴图形的中心， ∵图形的边长， ∴，，，， ∴根据平移的性质可得， ∴； ①当线段恰好经过点时，图形和线段关于原点的“中位形”与图形恰好有公共点， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴代入得，， 解得； ②当线段恰好经过点时，图形和线段关于原点的“中位形”与图形恰好有公共点， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴代入得，， 解得； ∵图形和线段关于原点的“中位形”与图形没有公共点， ∴的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、勾股定理、正方形的性质、求一次函数解析式、平移的性质，理解“中位形”的定义是解题的关键．本题属于函数新定义题型，考查了学生的数形结合和分类讨论思想，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $