精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东县第三中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东县第三中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 在实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各项调查适合全面调查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 了解某批次医用口罩的合格率 D. 某品牌灯泡使用寿命 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同位角一定相等 C. 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 6. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 8. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（ ） A. 惊蛰 B. 春分 C. 小满 D. 大寒 9. 通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（ ） A. m，n均为有理数 B. C. D. 10. 定义一种新的运算＆，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 13. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为：、，若线段最短，则a的值为________． 14. 按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为________． 15. 某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有______种购买方案． 16. 若与的两边分别平行，且，，则的度数为________度． 17. 如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为__________． 18. 如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共9道大题，共66分） 19. 计算： 20. 解方程组： 21. 过程性探究 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________． （2）解不等式②，得________． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为：________． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 23. 过程性探究 如图，F是上一点，于点G，H是上一点，于点E，． 求证：． 证明：连接 ，， （________________________）． ________（________________________）， ________（________________________）． 又， ， 即． （________________________）． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中的三个顶点坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． （1）画出； （2）点的坐标是________； （3）的面积是________； （4）已知点P在y轴上，且的面积为9，点P的坐标是________． 25. 农业科技兴趣小组为了解西红柿挂果情况，从丰收一号蔬菜大棚中随机收集部分西红柿秧上小西红柿的个数，整理并制作成如下不完整的统计图表： 个数/个 频数/株 百分比 3 10 20 2 （1）此次调查的样本容量是______，上述表中，______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）若将此次所收集到的数据绘制成扇形统计图，求这一组所在扇形的圆心角度数． 26. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m； (2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围. 27. 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东县第三中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 在实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小，常见的无理数的表示方法有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；用特殊规律的数，例如(相邻的两个之间依次增加一个). 【详解】解：是分数，是有理数， 是整数，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是用特殊字母表示的无限不循环小数，是无理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是有限小数，可以转化成分数，是有理数， 共有个无理数． 故选：C． 2. 如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3. 下列各项调查适合全面调查的是（ ） A. 长江中现有鱼的种类 B. 某班每位同学视力情况 C. 了解某批次医用口罩的合格率 D. 某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的选择， 根据抽查和全面调查的定义逐项判断即可. 【详解】解：因为长江中现有鱼的种类适合用抽样调查，所以A不符合题意； 因为某班每位学生的视力情况需要全面调查，所以B符合题意； 因为了解某批次医用口罩的合格率需要抽样调查，所以C不符合题意； 因为某品牌灯泡使用寿命需要抽样调查，所以D不符合题意. 故选：B. 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同位角一定相等 C. 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查真命题的判断，根据对顶角、同位角、平行线的性质及判定逐一分析各选项是否符合相关定理或定义 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角也相等，故A是假命题； B. 同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故B是假命题； C. 在平面内，过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则无法作平行线，故C是假命题； D. 根据平行线判定定理，同旁内角互补时两直线平行，故D是真命题； 故选：D． 6. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用坐标确定位置等知识．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴叶柄底部点C的坐标为． 故选：B 7. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 8. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（ ） A. 惊蛰 B. 春分 C. 小满 D. 大寒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息．读懂函数图像并从中整理出解题的有关信息是解题的关键． 根据函数图像确定每个节气的白昼市场即可判断． 【详解】解：由示意图可知，惊蛰的白昼时长约为小时，春分的白昼市场为约为小时， 小满的白昼时长约为小时，大寒的白昼时长约为小时， 所以白昼时长超过14小时的节气是小满， 故选：C． 9. 通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（ ） A. m，n均为有理数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 10. 定义一种新的运算＆，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数，根据新定义运算，将不等式转化为绝对值形式，再结合解集整数解的个数确定参数范围． 【详解】解：规定， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ，与 矛盾，无解； 综上，第一个不等式的解集为 ， 由于 ，，故 ， 不等式变为 ，即 ， 解集为 ， 要求恰好有4个整数解，即 ， 因此， 需满足 ，解得 ， 故选B． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据不同象限内点的坐标的特征，得到点所在的象限，熟练掌握各象限内点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即可得到点P的横坐标恒为正数，纵坐标为负数， ∴该点在第四象限， 故答案为：四． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为：、，若线段最短，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中根据点的坐标确定点的位置和垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题关键．点B是一个定点，表示直线上的任意一点，根据垂线段最短确定与直线垂直，然后即可确定a的值． 【详解】解：∵点是一个定点，表示直线上的任意一点，且线段最短， ∴与直线垂直． ∴点A的横坐标与点B的横坐标相等． ∴． 故答案为：． 14. 按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，把的值代入操作步骤计算即可求出输出结果． 【详解】解：把代入运算程序得：． 故答案为：． 15. 某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有______种购买方案． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故答案为：4． 16. 若与的两边分别平行，且，，则的度数为________度． 【答案】30或54##54或30 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补． 根据已知得出或，求出，代入求出即可． 【详解】解：∵与的两边分别平行，且，， 或， 解得：或， 当时，， 当时，． 故答案为：30或54． 17. 如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出与的值，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形得：， ②①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则图中阴影部分面积为． 故答案为：． 18. 如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点坐标的规律探究，找出点坐标的规律是解题的关键． 先找出横坐标的规律，横坐标从开始，7次一循环，每次循环增加10个单位长度；再找出纵坐标的规律，它的纵坐标是7次一循环，据此求解即可． 【详解】∵，，，，，，，， ∴点的横坐标为：1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，，结合图象可以得出，它的横坐标从开始，7次一循环，每次循环增加10个单位长度，，因此，的横坐标是； 点的纵坐标为：，，0，0，，，0，，，0，0，，它的纵坐标从开始，7次一循环，，因此，的纵坐标和的纵坐标相同，是； ∴的坐标为． 三、解答题（本题共9道大题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包含立方根的计算，二次根式的平方运算，绝对值的化简以及乘方的运算，正确求解是解决本题的关键． 根据立方根的计算，二次根式的平方运算，绝对值的化简以及乘方的运算求解即可． 【详解】解：  ． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法或代入消元法求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 该方程组的解为． 21. 过程性探究 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________． （2）解不等式②，得________． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为：________． 【答案】（1） （2） （3） 如图， （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、化系数为1可得出答案． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1可得出答案． （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集， （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由数轴可知，不等式组的解集为：． 22. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 23. 过程性探究 如图，F是上一点，于点G，H是上一点，于点E，． 求证：． 证明：连接 ，， （________________________）． ________（________________________）， ________（________________________）． 又， ， 即． （________________________）． 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握推理方法是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，结合图表和证明过程求解即可． 【详解】证明：连接 ，， （垂直的定义）． （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 又， ， 即． （内错角相等，两直线平行）． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中的三个顶点坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． （1）画出； （2）点的坐标是________； （3）的面积是________； （4）已知点P在y轴上，且的面积为9，点P的坐标是________． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，已知点的平移方式求平移后的坐标，求网格三角形的面积等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）分别将点向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，再顺次连接，即可得到； （2）根据平移后的图形可直接求解； （3）由割补法求解即可； （4）根据求出，即可求解坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积是：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴或， 故答案为：或． 25. 农业科技兴趣小组为了解西红柿挂果情况，从丰收一号蔬菜大棚中随机收集部分西红柿秧上小西红柿的个数，整理并制作成如下不完整的统计图表： 个数/个 频数/株 百分比 3 10 20 2 （1）此次调查的样本容量是______，上述表中，______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）若将此次所收集到的数据绘制成扇形统计图，求这一组所在扇形的圆心角度数． 【答案】（1）50，，15， （2） 补全频数分布直方图如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，求扇形圆心角，样本容量，画直方图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用的株数除以百分比求出样本容量，结合频数与总数、百分数的关系进行作答即可． （2）结合（1）的结果分别作图即可； （3）运用样本估计总体进行作答即可． 【小问1详解】 解：依题意，（个） ∴ ∴ 故答案为：50，，15， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 这一组所在扇形的圆心角度数为． 26. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m； (2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围. 【答案】(1) m＝20；(2) 15≤x≤25 【解析】 【分析】（1）根据处理废水35吨花费370可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用＋第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：(1)∵处理废水35吨花费370，且＝>8，∴m<35, ∴30+8m +12(35－m)＝370，解得：m＝20； (2)设一天生产废水x吨,则 当0< x≤20时，8x+30≤10 x，解得：15≤x≤20， 当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，解得：20<x≤25， 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤25 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【答案】（1），； （2）存在，或； （3）当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可； （2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $