精品解析：河北省唐山市遵化市2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题

河北省唐山市遵化市2020－2021学年九年级上学期期中考试 数学试题 （满分为120分，考试用时为90分钟） Ⅰ卷共42分 一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1－10每小题3分，11－16每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7 2. 已知一组数据，，，，的平均数是3，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 3， B. 3，6 C. 6， D. 6，6 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好，从水池边到圆周，每边相距．设正方形的边长是，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（　　） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 7. 若，面积之比为，则相似比为（ ） A. B. C. D. 8. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A. 200米 B. 200米 C. 220米 D. 100米 11. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 12. 如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为（　　） A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4） 13. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 14. 已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（ ） A. 93 B. 95 C. 94 D. 96 15. 若一组数据的方差比另一组数据的方差大，则 x 的值可以为( ) A. 12 B. 10 C. 2 D. 0 16. 关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是( ) A. －1 B. 1 C. 3 D. 3或－1 Ⅱ卷 共78分 二、填空题（本大题有3个小题，共9分．每小题3分，把答案写在题中横线上）． 17. 为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是______． 18. 已知是关于的方程的一个根，则__________． 19. 某人沿着坡度i=的山坡向上走了300m，则他上升的高度为______ m． 三、解答题（本大题有7个小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 如图，在中，，于点D，于点E．求证：． 22. 如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 23. 某村2018年的人均收入为30000元，2020年的人均收入为36300元． （1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？ 24. 2020年拟继续举办丽水市中学生汉字听写、诗词诵写大赛．经过初赛、复赛，选出了两个代表队参加市内7月份的决赛．两个队各选出的名选手的复赛成绩如图所示． （1）根据图示补全下表； 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 队 队 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的复赛成绩较好； （3）计算两队成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 25. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 26. 如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF 与点H． （1）求证：AF=BD； （2）如果，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市遵化市2020－2021学年九年级上学期期中考试 数学试题 （满分为120分，考试用时为90分钟） Ⅰ卷共42分 一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1－10每小题3分，11－16每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7 【答案】D 【解析】 【分析】找出7位同学投中最多的个数即为众数，将个数按照从小到大的顺序排列，找出第4个数即为中位数． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是8个，出现了3次， ∴众数为8个， 这组数据重新排列为5、5、6、7、8、8、8， 中间位置是第4个数为7， ∴其中位数为7个， 故选D． 【点睛】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2. 已知一组数据，，，，的平均数是3，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 3， B. 3，6 C. 6， D. 6，6 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，2x4-3，2x5-3的平均数是2×3-3，方差是22×，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3， ∴数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，2x4-3，2x5-3的平均数2×3-3=3； ∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是， ∴数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，2x4-3，2x5-3的方差是22×=6； 故选：B． 【点睛】此题考查了方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 4. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：根据题意得， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 5. 如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好，从水池边到圆周，每边相距．设正方形的边长是，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的面积-正方形水池的面积=72m2列方程即可． 【详解】解：根据题意可得 ， 故答案为． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意中的等量关系列出方程． 6. 已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（　　） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1， ∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°， 则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 7. 若，面积之比为，则相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：4， ∴它们的相似比为3：2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 8. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 【答案】C 【解析】 9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：AB=5，则cosA=，故选B． 10. 如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A. 200米 B. 200米 C. 220米 D. 100米 【答案】D 【解析】 【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长． 【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°， ∴BD＝CD＝100米， ∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°， ∴AC＝2×100＝200米， ∴AD＝＝100米， ∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米， 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 11. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 12. 如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为（　　） A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案． 【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′， ∴点P在A′C′上的对应点P′的坐标为：（4，3）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 13. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 故选：B． 14. 已知小华上学期语文、数学、英语三科平均分为92分，他记得语文得了88分，英语得了95分，但他把数学成绩忘记了，你能告诉他应该是以下哪个分数吗？（ ） A. 93 B. 95 C. 94 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，根据平均数计算公式进行求解即可． 【详解】解：分， ∴小华的数学成绩为93分， 故选；A． 15. 若一组数据的方差比另一组数据的方差大，则 x 的值可以为( ) A. 12 B. 10 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】∵的平均数是9，方差是8， 一组数据2，4，6，8，x的方差比数据的方差大， ∴这组数据可能是x（x<0），2，4，6，8或2，4，6，8，x（x>10）， 观察只有A选项符合， 故选A． 16. 关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是( ) A. －1 B. 1 C. 3 D. 3或－1 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0， 解得m=-1或m=3． m=3不符合题意，舍去， 所以它的一次项系数-m=1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． Ⅱ卷 共78分 二、填空题（本大题有3个小题，共9分．每小题3分，把答案写在题中横线上）． 17. 为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是______． 【答案】1500 【解析】 【分析】根据抽取的试卷的本数×每本试卷的份数即可得出答案． 【详解】 ， ∴样本容量是1500， 故答案为：1500． 【点睛】本题主要考查样本容量，掌握样本容量的概念是解题的关键． 18. 已知是关于的方程的一个根，则__________． 【答案】－2或1 【解析】 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于A的方程，即可求得A的值． 【详解】根据题意得：2+A-A2=0 解得A=2或-1． 故答案为：2或-1． 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的根一定满足该方程的解析式． 19. 某人沿着坡度i=的山坡向上走了300m，则他上升的高度为______ m． 【答案】150 【解析】 【分析】先作出直角△ABC，可得AC=300m，BC：AB=1：，然后再解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图所示． ∵BC：AB=1：． ∴∠A=30°． ∵AC=300m， ∴BC=300×sin30°=150（m）． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 三、解答题（本大题有7个小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）用配方法求解即可； （2）先分别求出两个一元一次不等式的解，然后再找出它们的解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴x1=1+，x2=1-； （2）， 由①得x+4≤3x+6， 解得x≥-1， 由②得3x-3＜2x， 解得x＜3， ∴-1≤x＜3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，正确掌握其解法是解题的关键． 21. 如图，在中，，于点D，于点E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，由此即可得证． 【详解】略 22. 如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】 证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【解析】 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 23. 某村2018年的人均收入为30000元，2020年的人均收入为36300元． （1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？ 【答案】（1）10%；（2）39930元 【解析】 【分析】（1）设2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为x，根据2018年及2020年该村人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2021年该村的人均收入=2020年该村的人均收入×（1+增长率），即可求出结论． 【详解】解：（1）设2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为x， 依题意，得：30000（1+x）2=36300， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）． 答：2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为10%． （2）36300×（1+10%）=39930（元）． 答：预测2021年该村的人均收入是39930元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 2020年拟继续举办丽水市中学生汉字听写、诗词诵写大赛．经过初赛、复赛，选出了两个代表队参加市内7月份的决赛．两个队各选出的名选手的复赛成绩如图所示． （1）根据图示补全下表； 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 队 队 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的复赛成绩较好； （3）计算两队成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）A众数85，B平均数83，中位数80；（2）A队；（3），，队选手成绩较为稳定． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图即可求出A队的众数，将B队的分数从小到大排列即可求出B队的中位数，然后根据平均数公式即可求出B队的平均分； （2）结合两队成绩的平均数和中位数即可得出结论； （3）根据方差公式：计算出A、B两队的方差，从而得出结论． 【详解】解：由条形统计图可知：A队的众数为85， 将B队的分数从小到大排列为70,75,80,95,95 ∴B队的中位数为80， B队的平均分为（70＋75＋80＋95＋95）÷5=83 补全图表如下： 两队成绩的平均分一样，但队成绩的中位数高，故队成绩较好 ， ∵， 因此队选手成绩较为稳定． 【点睛】此题考查的是平均数、众数、中位数和方差的意义和求法，掌握平均数、众数、中位数和方差的定义和公式是解决此题的关键． 25. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）AD=4；（2）S△ABC＝14． 【解析】 【分析】（1）由高的定义可得出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由AC的长及cosC的值可求出CD的长，再利用勾股定理即可求出AD的长； （2）由∠B，∠ADB的度数可求出∠BAD的度数，即可得出∠B＝∠BAD，利用等角对等边可得出BD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°． 在Rt△ACD中，AC＝5，cosC＝， ∴CD＝AC•cosC＝3， ∴AD＝＝4． （2）∵∠B＝45°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD＝4， ∴S△ABC＝AD•BC＝×4×（4+3）＝14． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：(1) 通过解直角三角形及勾股定理，求出CD、AD的长；(2) 利用等腰三角形的性质，找出BD的长． 26. 如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF 与点H． （1）求证：AF=BD； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明△ACF≌△DCB即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到AE=AC，GF=GB，由证得得到△EAN∽△BGM，再证明△MBG∽△BDC，由△BDC≌△FAC，得到△EAN∽△ACF，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论. 【详解】（1）在正方形ACDE和正方形CBGF中，AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠BCD=90°， ∴△ACF≌△DCB， ∴AF=BD； （2）在正方形ACDE和正方形CBGF中，AE=AC，GF=GB， ∵， ∴， ∵∠EAN=∠G=90°， ∴△EAN∽△BGM， ∵CD∥BG， ∴∠CDB=∠MBG， ∵∠DCB=∠G=90°， ∴△MBG∽△BDC， ∵△BDC≌△FAC， ∴△EAN∽△ACF， ∴∠AEN=∠CAF， ∵∠AEN+∠ANE=90°， ∴∠CAF+∠ANE=90°， ∴∠AHN=90°， ∴. 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $