精品解析：内蒙古包头市第四中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

包头四中2025-2026学年度第一学期8月月考 高三年级数学试题 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性解不等式，再结合集合并集、交集运算即可判断 【详解】，又因为为增函数， 所以，即， ，又因为为增函数， 所以，即， 所以，. 故选：. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则和虚部的定义得到结果. 【详解】由，， 所以的虚部为. 故选：C. 3. 在中，点、在边上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】 由，可得， 则， 又，，所以. 故选：A 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 【答案】B 【解析】 【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得. 【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍， 此时“进步值”为，“退步值”为，即， 所以，则， 所以天． 故选：B 5. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移求出，分析的单调性和值域，画出即的图象数形结合求解即可. 【详解】由函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，所以， 当时，即单调递增，又，则， 又时，单调递增，又，则， 作出的图象如图，由，则， 解得或，所以实数的取值范围为． 故选：C. 6. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和． 【详解】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类：仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色， 则相当于从四种颜色中取三种颜色染三个区域有种染法； 第二类：用四种颜色染色，即，，中有一组不同色， 则有3种方案不同色或不同色或不同色）， 先从四种颜色中取两种染同色的两组区域有种染法， 剩余两种染在不同色区有种染法，共有种染法． 所以，由分类加法原理得总的染色种数为种． 故选：B． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可. 【详解】由题意，，，所以，则， 所以，由，，设， 则，， 则，解得，，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以． 故选：B． 8. 定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分） 9. 设a，b为实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题可得，，利用对数的运算法则依次判断选项即可. 【详解】因为，，所以，． 对于A，．则A正确， 对于B，，则B不正确， 对于C，，则C不正确， 对于D，，则D正确. （另解 利用换底公式的一个推论： ，得）． 故选：AD 10. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线的关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法可求与平面所成角的余弦值，判断B；求出三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球表面积，判断C；利用向量法求点到平面的距离，判断D. 【详解】对于A，连接，因为， 所以为等边三角形，则，而， 所以，故A正确； 以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于B，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由题意知为等边三角形， 的外接圆半径， 三棱柱的外接球半径， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则， 点到平面的距离，故D错误． 故选：AC． 11. 年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”．其来源于雅各•伯努利仿照椭圆的定义稍做改动．他是这样定义双纽线的：在平面内，设两定点、之间距离为，则到两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做双纽线．按照如图所示坐标系研究此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上 C. 若点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出曲线的方程，可判断A选项；求出的值，可得出曲线的方程，利用点与曲线方程的关系可判断B选项；由可判断C选项；化简曲线的方程，利用三角形的面积公式求出的值，然后代入曲线的方程可求出点的轨迹方程，可判断D选项. 【详解】在曲线上任取一点，易知、， 由，即， 整理可得， 即，化简得， 对于A选项，若，则， 此时，曲线的方程为，即，A对； 对于B选项，若上的点到两定点、的距离之积为，则， 此时，曲线的方程为， 因为，故点不在曲线上，B错； 对于C选项，若点在上，则，可得，故，C对； 对于D选项，当时，则，设点，由题意可得，， 则，可得， 曲线的方程为， 将点的坐标代入曲线的方程可得， 整理可得，可得，因为，解得， 故当时，上第一象限内的点满足的面积为，则，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 三､填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算法则求出，将化为，再利用齐次式弦化切即可求得答案. 【详解】， . 故答案为：. 13. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为__________. 【答案】##0.875 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，得到，由，得到当四点共线且点在点之间时等号成立，即可求解. 【详解】由题可知，所以点在抛物线上，则， 解得，所以抛物线，准线方程为， 由题知圆的圆心为，半径为1. 过点作准线的垂线，垂足为，则，又， 当三点共线且点在点之间时等号成立， 所以， 当四点共线且点在点之间时等号成立，所以的最小值为2，此时，则，所以， 所以当取最小值时，. 故答案为： 四､解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． （1）求角C的大小； （2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用两角和正弦公式，再应用诱导公式结合二倍角正弦计算即可； （2）应用等比数列列式再根据正弦定理得出，最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 依题意，， 即，所以， 由知，，从而，故； 【小问2详解】 依题意，， 由正弦定理得：，即 又，则， 所以，从而， 由三角形面积公式得：，即 故． 16. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 【答案】（1）不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比分析. （2）根据的取值情况列出分布列，通过期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：性别因素与锻炼的经常性无关， 因为， 所以，，，，， 则，则， ，，，， 所以， 则， 根据小概率值的独立性检验为6.635，由， 因此可以认为成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系. 【小问2详解】 经常锻炼的学生为50人（男生30人，女生20人），按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女生抽取2人. 则的可能取值为：0，1，2，则： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点，求点的坐标； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，设函数，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．（e是自然对数的底数，） 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数的定义域，求出导数，利用过原点的直线与函数图象相切于点，即得出结论； （2）求导函数，解出导函数大于零，小于零的解集得单调增减区间； （3）根据条件可得等价于在上的最小值不大于在上的最小值，由此求出b的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为，． 设点，当时，， 则，，则， 解得，故点的坐标为． 【小问2详解】 因为，． 所以． 当或时，； 当时，． 故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，． 【小问3详解】 当时，． 由（2）可知在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数， 且，． 因为， 又，所以， 从而，故在上的最小值为． 对任意的，存在，使成立， 等价于在上的最小值不大于在上的最小值． ，． ①当时，在上为增函数， ，与题设矛盾． ②当时，， 由和，得． ③当时，在上为减函数， ，得． 综上，的取值范围是． 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】（1），，（答案不唯一）； （2）是，理由:若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）证明：若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 【解析】 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【小问1详解】 由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头四中2025-2026学年度第一学期8月月考 高三年级数学试题 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点、在边上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 5. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 240 D. 360 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 二､多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分） 9. 设a，b为实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 11. 年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”．其来源于雅各•伯努利仿照椭圆的定义稍做改动．他是这样定义双纽线的：在平面内，设两定点、之间距离为，则到两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做双纽线．按照如图所示坐标系研究此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上 C. 若点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 三､填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则的值为________． 13. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 14. 已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为__________. 四､解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． （1）求角C的大小； （2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 16. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点，求点的坐标； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，设函数，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．（e是自然对数的底数，） 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $