精品解析：四川省绵阳第一中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题（二）

绵阳一中2024-2025学年度高2022级 高三下学期高考数学模拟考试（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先通过解一元二次不等式求出集合，进而判断选项A是否正确；通过集合间的包含关系和交运算可判断选项BD；利用补集运算可判断选项C. 【详解】因为，解得或， 所以或， 由元素和集合的关系可知，，故A错误； 由集合间的包含关系和交集运算可知，B正确，D错误； 由补集运算可知，，故C错误. 故选：B. 2. 关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在上单调递减，在上单调递增 D. 函数是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函数的定义判断D. 【详解】因为函数， 对于选项A：令，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，可知函数为偶函数，故D正确； 故选：C. 3. 已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题． 【详解】设， 因为，所以， 所以，解得：， 所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限. 故选D 【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 4. 已知向量，且，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解. 【详解】， ， ， ， ∴，则. 故选：B 5. 已知直线与互相垂直，垂足为，则为（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线的垂直关系及点在线上计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：B 6. 已知数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式. 【详解】由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故. 故选：B 7. 若对任意的，且当时，都有，则m的最小值是（ ） A. e B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，结合新函数的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以由 ，构造函数， 即当任意的，当时，有， 所以有当时，函数单调递增， 由， 当时，单调递增，当时，单调递减， 于是有， 故选：C 【点睛】关键点睛：根据，由得到，通过构造函数，利用函数的性质是解题的关键. 8. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为：经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为．则以下结论中，正确的是（ ） ①，；②，；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图逐项进行判断即可. 【详解】①：由散点图可知，之间是正相关关系，所以，，故①正确； ②③：由散点图可知，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率，所以，，，故②③正确； ④：由散点图可知，去掉“离群点”后，相关性更强，拟合的效果更好，所以，故④错误； 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个等式其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案. 【详解】A选项， 所以正确； B选项，，，所以错误； C选项， ，所以错误； D选项， 所以正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 【答案】AC 【解析】 【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可. 【详解】对于选项,个体被抽到的概率为，故该选项正确； 对于选项，，解得， 则方差为，故该选项错误； 对于选项,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30， 由于%，其中第6个数为23，故该选项正确； 对于选项,设数据，，…，的均值为， 则数据，，…，的均值为， 因为数据，，…，的标准差为， 所以数据，，…，的标准差为 ，故该选项错误； 故选：AC. 11. 以下四个关于圆锥曲线的命题：则其中正确的说法是（ ） A. 直角坐标系内，到点和到直线距离相等的点的轨迹是抛物线 B. 设A，B为两个定点，若，则动点P的轨迹为双曲线 C. 方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率 D. 若直线和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为2 【答案】CD 【解析】 【分析】利用抛物线和双曲线的定义判断AB，根据方程的解结合椭圆和双曲线的离心率的取值范围判断C；利用直线与圆的位置关系和点与椭圆的位置关系判断D. 【详解】对于A：点在直线上， 所以到点和到直线距离相等的点的轨迹是过点，且与直线垂直的直线，不正确； 对于B：因为为两个定点，若时，才是以为焦点的双曲线，不正确； 对于C：方程，得 ，所以可以作为椭圆和双曲线的离心率，正确； 对于D：若直线和没有交点，则圆心到直线的距离， 则，可得，则点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆相交，所以直线与椭圆有两个交点，正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则其值域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上值域的问题，结合二次函数单调性，即可求得结果. 【详解】解：令，∵，∴， ∴， 又关于对称， 即时，函数取得最小值，即， 即时，函数取得最大值，即， ,. 故答案为：. 13. 与圆外切且与直线相切于点的圆的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设所求圆的方程为，再根据两圆外切以及直线与圆相切列方程，解方程，进而得解. 【详解】将圆化为标准式为，即圆心为（1,0），半径为1. 设所求圆的方程为. 则由题意知，① ，② ，③ 由①②③得，，或，，， 即所求圆的方程为或. 【点睛】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了两圆的位置关系，考查了直线与圆的位置关系；当两圆外切时，圆心距等于两个圆的半径之和，当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于这个圆的半径，且圆心和切点连线与切线垂直. 14. 已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________. 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系可得，解方程即可求出，代入递推关系式可得，证明数列为等差数列，即可求解，根据错位相减法求和即可. 【详解】因为，，(且)，① 当时，，即， 由等比数列的的公比为， 即，解得， 所以， 当时，，即， 解得， 又(，且)，② ①-②可得，， 即，化为， 又， 所以为等差数列，且公差， 则， 所以 ， ， 上面两式相减可得 ， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由递推关系式可得出，再由递推关系式得出为等差数列是解题的关键，求出后利用错位相减法求和，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）若，，求的值； （2）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由，结合的范围以及平方关系得出的值，由结合两角差的余弦公式求解即可； （2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间应该包含在的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数的取值范围. 【详解】（1） 因为，所以，即. 因为，所以 所以. 所以 . （2）. 令， 得， 因为函数在区间上是单调递增函数 所以存在，使得 所以有，即 因为，所以 又因为，所以，则，所以 从而有，所以，所以. 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题. 16. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） （2）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】（1）模型①的小于模型②，选模型②, 当亿元时，科技改造直接收益的预测值为亿元； （2）设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 数学期望为万元 【解析】 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【小问1详解】 由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 17. 如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， （1）当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥的体积； （2）连接MN，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值. 【小问1详解】 如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN， 是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以，， 平面平面ACB，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理知平面ABC，所以SN是三棱锥的高， 由题意知：， 故三棱锥的体积为. 【小问2详解】 连接MN，在中，，，所以， 结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， ∴，，，， ∴，，， 设，分别是面ASB、面CSB的法向量， 则，令，则， ，令，则， 所以，，， ∴与所成的角的余弦值为，正弦值为， 故二面角的正弦值为. 18. 已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数. （1）求点的轨迹. （2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由 （3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围 【答案】（1）；（2）过定点，定点为；（3）. 【解析】 【分析】（1）、由点到直线距离公式和两点间距离公式列出方程，化简即可求出点的轨迹； （2）、分析可知直线的斜率存在，故设直线方程为，将与轨迹的方程联立，得到关于的一元二次方程根据韦达定理写出根与系数的关系， 结合题意求得两点坐标，计算、，由计算得到与的关系，验证即可得出直线经过的定点坐标； （3）、结合（2）中条件写出表达式，根据的取值范围是即可求出面积的取值范围. 【详解】解：（1）、动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，化简得：，即点的轨迹为； （2）、由已知得：直线的斜率存在，设，联立得：， 设，则由韦达定理得：， 因为,则直线，则直线， 延长线交直线于两点，，，则，， 由得，代入化简得：，解得或 当时，直线，直线经过直线,不成立. 当时，直线，检验满足，故经过定点； （3）、由（2）得， 将，代入化简得：， 又，所以，即，故. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）令，由，得，再结合的单调性可求得，然后再利用导数证明当时，即可. 【小问1详解】 当时，， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，无极大值． 【小问3详解】 令， 由得， 令，则在上单调递减， 又，故． 下面证明当时，． 易知． 设，则， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即 设，则， 当时，， 当时，， 故，则，即． 故，则． 故所求的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键构造函数，结合求出的取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳一中2024-2025学年度高2022级 高三下学期高考数学模拟考试（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 2. 关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在上单调递减，在上单调递增 D. 函数是偶函数 3. 已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，且，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与互相垂直，垂足为，则为（ ） A. B. C. 0 D. 4 6. 已知数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的，且当时，都有，则m的最小值是（ ） A. e B. C. 3 D. 8. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为：经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为．则以下结论中，正确的是（ ） ①，；②，；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ②④ D. ②③④ 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个等式其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 11. 以下四个关于圆锥曲线的命题：则其中正确的说法是（ ） A. 直角坐标系内，到点和到直线距离相等的点的轨迹是抛物线 B. 设A，B为两个定点，若，则动点P的轨迹为双曲线 C. 方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率 D. 若直线和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则其值域为___________. 13. 与圆外切且与直线相切于点的圆的方程为__________. 14. 已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）若，，求的值； （2）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围. 16. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； （1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） （2）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 17. 如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， （1）当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数. （1）求点的轨迹. （2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由 （3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $