3.3 一元一次方程的应用（第4课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制六年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的行程问题应用，系统覆盖相遇、追及、环形跑道等类型。课堂导入通过复习列方程步骤搭建基础，新知以沪宁高速相遇问题为例，借助线段图分析数量关系，典例与练习逐步深入，构建从基础到复杂的学习支架。 其亮点在于运用线段图等图示法，结合沪宁高速相遇、环形跑道运动等实例抽象方程，发展模型观念与几何直观。通过追击问题验证、包饺子问题类比等，培养推理意识与应用意识。帮助学生提升问题分析能力，为教师提供系统案例与教学方法，提高教学效率。

3.3一元一次方程的应用 第4课时 第3章一元一次方程 沪教版五四制2024·六年级上册 章节导读 3.1 方程与列方程 3.2 一元一次方程及其解法 3.3一元一次方程的应用 方程的概念 一元一次方程 一元一次方程的解法 多未知量关系问题 多元设元问题 单未知量和差问题 行程问题 学 习 目 标 1 2 3 借助图示法分析行程问题中的数量关系，并列出方程解决问题. 通过列方程解决行程问题或可类比为行程问题的实际问题，体会方程是解决实际问题的有 力工具，发展模型观念. 进一步经历从实际问题中抽象出一元一次方程的过程, 感悟方程思想，发展模型观念． 课堂引入 复习回顾 如何列方程解应用题？ 列方程解应用题的一般步骤 审题 设未知数 列方程 解方程 检验并作答 继续运用方程解决更多的应用问题！ 含有多个未知量 间接设未知数 列方程 实际问题 设未知数 一元一次方程 一元一次方程的解 得到实际问题的解 等式性质 解方程 检验 根据题意，设未知数 直接设未知数 找等量关系 新知探究 问题思考 沪宁高速公路全长约270km，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行.轿车先行54km后，客车再出发.轿车的速度为100km/h，客车的速度为80km/h.问:客车出发后多久两车相遇？ 分析 行程问题基本量之间的关系： 题目中给出的已知量和未知量各是什么？ 已知量：总路程、轿车和客车的速度、轿车先行路程 未知量：客车出发后两车相遇的时间 路程=速度×时间 新知探究 问题思考 沪宁高速公路全长约270km，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行.轿车先行54km后，客车再出发.轿车的速度为100km/h，客车的速度为80km/h.问:客车出发后多久两车相遇？ 客车 80km/h 轿车 100km/h 54km 轿车行驶的第二段路程 客车行驶的路程 上海 南京 270km 分析 轿车第二段路行驶的时间=客车行驶的时间 轿车行驶的第一段路程＋轿车行驶的第二段路程＋客车行驶的路程=两地相距路程 新知探究 问题思考 沪宁高速公路全长约270km，一辆轿车和一辆客车分别从上海和南京两地出发，沿沪宁高速公路相向而行.轿车先行54km后，客车再出发.轿车的速度为100km/h，客车的速度为80km/h.问:客车出发后多久两车相遇？ 解 设客车出发后xh两车相遇. 根据题意，可以列出方程 . 解这个方程，得 答：客车出发后1.2h两车相遇. 在解决刚才问题的过程中得到了哪些结论？ 新知探究 概念 1.明确行程问题中的数量关系： 路程=速度×时间 2.对存在复杂行程(例如：先行、相遇)等问题时，应该认真审题，借助线段图来表示行程加深问题的理解. 例1 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行50km后轿车出发，客车的速度为80km/h，轿车的速度为100km/h，道路的全长为270km，问：经过多久轿车追上客车？ 典例分析 分析 这是个什么类型的行程问题？ 题目中给出的已知量和未知量各是什么？ 已知量：总路程、轿车和客车的速度、客车先行路程 未知量：轿车出发后两车相遇的时间 同向、同起点的追击问题 例1 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行50km后轿车出发，客车的速度为80km/h，轿车的速度为100km/h，道路的全长为270km，问：经过多久轿车追上客车？ 典例分析 分析 轿车 100km/h 50km 客车行驶的第二段路程 轿车一共行驶的路程 上海 80km/h 客车 客车第二段行驶的时间=轿车行驶的时间 客车行驶的第一段路程＋客车行驶的第二段路程=轿车行驶的路程 例1 一辆客车和一辆轿车先后沿相同道路从上海出发去南京，客车先行50km后轿车出发，客车的速度为80km/h，轿车的速度为100km/h，道路的全长为270km，问：经过多久轿车追上客车？ 典例分析 解 设经过xh轿车追上客车. 根据题意，可以列出方程 . 答：经过2.5h轿车追上客车. 答案是正确的吗？ 追击问题需关注不能超过全长！ 例2 小华和妈妈一起包饺子.小华平均每分钟包3.5个饺子，妈妈平均每分钟包6个饺子.小华先包好50个饺子后妈妈开始包.多久后妈妈包的饺子和小华一样多？ 典例分析 分析 这是个什么类型的问题？ 包饺子问题——完成任务问题 把包饺子看作一次长征，那可以转化为行程问题！ 妈妈包的饺子=小明包的饺子 小华第二段包饺子的时间=妈妈包饺子的时间 50个＋小华第二段包饺子的数量=妈妈包饺子的数量 例2 小华和妈妈一起包饺子.小华平均每分钟包3.5个饺子，妈妈平均每分钟包6个饺子.小华先包好50个饺子后妈妈开始包.多久后妈妈包的饺子和小华一样多？ 典例分析 解 设xmin后妈妈包的饺子和小华一样多. 根据题意，可以列出方程 . 解这个方程，得 答：经过20min后妈妈包的饺子和小华一样多. 例3 小华、乐乐在400m长的环形跑道上练习跑步.已知小华的速度为180m/min，乐乐的速度为220m/min. （1）如果两人同时由同一起点反向出发，问：多久后两人第一次相遇？ （2）如果两人是同时由同一起点同向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 典例分析 审题 分析 画图 列式 例3 小华、乐乐在400m长的环形跑道上练习跑步.已知小华的速度为180m/min，乐乐的速度为220m/min. （1）如果两人同时由同一起点反向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 典例分析 分析 这是个什么类型的行程问题？ 反向、同起点的相遇问题 小华跑步的时间=乐乐跑步的时间 小华跑的路程＋乐乐跑的路程=400m 例3 小华、乐乐在400m长的环形跑道上练习跑步.已知小华的速度为180m/min，乐乐的速度为220m/min. （1）如果两人同时由同一起点反向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 典例分析 解 设两人同时由同一起点反向出发，xmin后两人第一次相遇. 答：如果两人同时由同一起点反向出发，1min后两人第一次相遇. 例3 小华、乐乐在400m长的环形跑道上练习跑步.已知小华的速度为180m/min，乐乐的速度为220m/min. （2）如果两人是同时由同一起点同向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 典例分析 分析 这是个什么类型的行程问题？ 同向、同起点的追击问题 乐乐跑步的时间=小华跑步的时间 乐乐跑的路程－小华跑的路程=400m 例3 小华、乐乐在400m长的环形跑道上练习跑步.已知小华的速度为180m/min，乐乐的速度为220m/min. （2）如果两人是同时由同一起点同向出发，问：多久后两人第一次相遇？ 典例分析 解 设两人同时由同一起点同向出发，xmin后两人第一次相遇. 答：如果两人同时由同一起点同向出发，10min后两人第一次相遇. 环形跑道问题 题型一 题型探究 练习1 某跑道一圈长400米，若甲、乙运动员从同一地点同时出发（甲的速度大于乙的速度）．方向相反时，每32秒钟相遇一次，方向相同时，每80秒钟相遇一次．求甲、乙两人的速度． 【分析】本题考查了一元一次方程与行程问题，追及问题，相遇问题，熟练掌握时间，路程，速度三者的关系是解题的关键．分别求出两人的速度和，以及速度差，不妨设甲的速度为，那么乙的速度为，根据两人的速度差列出方程，然后解方程即可． 解：由题意可知，两人速度和为：（米） 两人速度差为：（米） 不妨设甲的速度为，那么乙的速度为， 解得： 那么乙的速度为： 答：甲的速度是 ，乙的速度是． 多次往返问题 题型二 题型探究 练习2甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及逻辑判断，理解题意，列出方程求解是解题关键． 多次往返问题 题型二 题型探究 练习2甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ 【分析】设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙，甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里，根据题意列出方程求解即可； 解：设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙，甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里， 此时甲与乙相距公里， 此处甲接上乙需要的时间是（小时），此时，甲丙距离为（公里）， 甲追上丙需要的时间是（小时）， 甲和乙开车追上丙时，三人的行程所花时间是（小时）， 其中丙步行所用时间（小时），这时三人离起点的距离是（公里）， 则他们每小时前进的路程是（公里） 多次往返问题 题型二 题型探究 练习2甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 【分析】根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上，由第（1）问可知这段时间是小时，结合题意求解即可． 根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上， 由第（1）问可知这段时间是小时， 甲乙丙从出发到再次相聚共用的时间是小时， 因此，即旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人． 销售问题 题型三 题型探究 练习3 已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值；(2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 销售问题 题型三 题型探究 练习3 已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值；(2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；（2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （1）解：∵，∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为，根据题意可得， ∵，∴， 解得：或 ∴的值为或． 销售问题 题型三 题型探究 练习3 (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即，解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即，解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即，解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】由路程、速度、时间关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 课堂小结 想一想 1.本节课学了哪些新知识？ 2.之前学习的内容有怎样的关系？ 3.其中蕴含了什么样的数学思想？ 1.明确行程问题中的数量关系： 路程=速度×时间 2.对存在复杂行程(例如：先行、相遇)等问题时，应该认真审题，借助线段图来表示行程加深问题的理解. 感谢聆听! EV录屏5.2.0软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EV录屏5.2.0软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $