精品解析：重庆市万州第二高级中学2025-2026学年八年级上学期数学入学试题

万州二中初2024－2025学年度（上）初二（上） 入学考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是一元一次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的解，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 1 4. 丰泽区计划打造“海丝文化特色街区”，设计师准备只选用同一种正多边形瓷砖来铺设街区内古厝庭院的地面，要求铺设后不留缝隙不重叠．下列正多边形瓷砖中，不适合该方案的是（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 下列方程变形正确的是（ ）． A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 6. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是嘉琪同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 三个不完全相同的非负整数a，b，c，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去7再取绝对值，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，，，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减7再取绝对值，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果，以此类推，当三个数相等时，停止操作．例如，当时，，，即第二次操作后停止．下列说法： ①当时，经过3次操作后停止； ②当为奇数，且经过三次操作后停止，则一定为偶数； ③若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个凸边形的内角和为，则_____． 12. 小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则____． 13. 已知是的三条边长，化简：__________． 14. 已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为______． 15. 如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是____，三角形的面积是____． 16. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“巴川校庆密码数”，例如：自然数，其中，，所以是“巴川校庆密码数”；则最大的“巴川校庆密码数”是 _________；若一个“巴川校庆密码数”m的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d（a、b、c、d是整数，且），m的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被整除，满足条件的m的最小值是 _________． 三、解答题（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解下列方程（组） ①． ②． （2）已知不等式组： ．求不等式组的解集并将解集表示在数轴上，且直接写出满足这个不等式组的所有偶数解的和． 18. 数学活动课上，张晓同学围绕“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”设计一道题．如图，点E是三角形的边延长线上一点，于点D． （1）尺规作图：过点E作于点G，交于点F（保留画图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）根据所画图形，若，说明与的大小关系，并将下面的证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G（已知）， ∴___________． ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴_________， _________． 又∵（已知）， ∴_________． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． （1）以点为中心将旋转，得到，画出； （2）将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； （3）连接，则的面积为_________． 20. 四月春风和煦，气温适宜，正是放风筝的好时节．某景区提前购买了、两种型号风筝进行销售，已知2只型风筝和1只型风筝共需18元，3只型风筝和2只型风筝共需31元． （1）求、两种型号风筝的进价各多少元？ （2）该景区将型风筝的售价定为每只12元，型风筝的售价定为每只20元．该景区第一天售出型风筝200只，型风筝150只，第二天该景区决定对型风筝打折，型风筝售价不变，结果第二天型风筝售出的数量比第一天少了型风筝售出的数量比第一天多了．若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元，请问型风筝打了几折？ 21. 如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 22. 为了减少疫情带来的损失，某市决定加快复工复产．该市一企业需要运输一批物资，据调查得知：2辆大货车与3辆小货车一次可运输600箱物资；3辆大货车与2辆小货车一次可运输650箱物资． （1）1辆大货车与1辆小货车一次分别可运输多少箱物资？ （2）该企业计划用这两种货车共12辆一次性运输这批物资，每辆大货车运输一次需5000元运费，每辆小货车运输一次需3000元运费．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于53000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需要费用最少，最少费用是多少元？ 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 24. 已知，如图1，直线，为直线上方一点，连接、，与交于点． （1）若，，则____； （2）如图1所示，作的平分线交于点，点为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，，且，求的度数． （3）如图2，在（2）的条件下，，将绕点顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，同时绕着点顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，当旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为（秒），则当其中一条边与的其中一条边互相垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万州二中初2024－2025学年度（上）初二（上） 入学考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中，是一元一次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且为整式方程）逐一判断各选项即可． 【分析】A．含有两个未知数和，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B．中是分式，不是整式方程，因此不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C．中未知数的最高次数为2，是二次方程，故该选项不符合题意； D．化简为，仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 3. 若是方程的解，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程就得到关于a的方程，从而求出a的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是理解方程解的定义，得出关于a的方程，准确计算． 4. 丰泽区计划打造“海丝文化特色街区”，设计师准备只选用同一种正多边形瓷砖来铺设街区内古厝庭院的地面，要求铺设后不留缝隙不重叠．下列正多边形瓷砖中，不适合该方案的是（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了密铺，密铺指用若干内角在顶点处恰好拼成，即能被内角整除，据此判断即可求解，掌握密铺的定义是解题的关键． 【详解】解：、正三角形的内角， ∵， ∴可以密铺，该选项不合题意； 、正四边形的内角， ∵， ∴可以密铺，该选项不合题意； 、正五边形的内角， ∵， ∴不可以密铺，该选项符合题意； 、正六边形的内角， ∵， ∴可以密铺，该选项不合题意； 故选：． 5. 下列方程变形正确的是（ ）． A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形正确，符合题意； D、由，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 6. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设制作大灯盏，小灯盏，由题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设制作大灯盏，小灯盏， 由题意得，， 故选：． 7. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，这是嘉琪同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次就停止（运行一次的结果，运行两次的结果），即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意，得， 解得：． 故选：B． 9. 如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，运用方程思想是解题的关键；设，根据三角形的内角和定理，三角形的外角分别求出，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ，分别是的外角，的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 三个不完全相同的非负整数a，b，c，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去7再取绝对值，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，，，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减7再取绝对值，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果，以此类推，当三个数相等时，停止操作．例如，当时，，，即第二次操作后停止．下列说法： ①当时，经过3次操作后停止； ②当为奇数，且经过三次操作后停止，则一定为偶数； ③若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律探索，绝对值的意义，根据操作规则，分别对三个说法中数的变化、和的奇偶性及操作次数进行分析判断为解题关键，①通过题目中给出的规律进行求解判断即可；②第一次操作过程是一个数减7再取绝对值，另两个数加1，那么每次操作后的奇偶性都会改变，而得到，为偶数；③通过多次操作的规律发现每三次的最大数是一样的，每三次就减少5，当数值较大时，每次操作的总和减少5，当三个数中最大数大于等于7时，成立，这样的循环循环到第1212次操作，再根据实际求出第1217次操作的结果，从而作出判断． 【详解】解：分析①：已知． 第一次操作：因为有两个最大数7，取后面的7进行操作，根据规则，最大数，另两个数，，所以． 第二次操作：最大数是8，，另两个数，，所以． 第三次操作：最大数是5，，另两个数，，所以，经过3次操作后停止，故①正确． 分析②：设为第n次操作后三数之和， 则，，， 第一次操作过程是一个数减7再取绝对值，另两个数加1，那么每次操作后的奇偶性都会改变， 为奇数， 则为偶数， 为偶数， 经过三次操作后停止， ，则为偶数， 一定为偶数，故②正确． 分析③：当时，最大数为2027，总和为6078， 第一次操作，操作后得到，最大数为2027，总和为6073 第二次操作，操作后得到，最大数为2027，总和为6068 第三次操作，操作后得到，最大数为2022，总和为6063 第四次操作，操作后得到，最大数为2022，总和为6058 第五次操作，操作后得到，最大数为2022，总和为6048 第六次操作，操作后得到，最大数为2017，总和为6043 第七次操作，操作后得到，最大数为2017，总和为6038 ， 第次操作，操作后得到，最大数为，总和为， 通过多次操作发现，每三次的最大数是一样的，每三次就减少5，当数值较大时，每次操作的总和减少5，当三个数中最大数大于等于7时，成立， ，解得， 当时，即第1212次操作后，，最大数为7，总和为18， 第1213次操作后，，最大数为7，总和为13， 第1214次操作后，，最大数为7，总和为8， 第1215次操作后，，最大数为2，总和为3， 第1216次操作后，，最大数为5，总和为8， 第1217次操作后，，最大数为3，总和为8， ，故③错误， 综上，正确的个数为2， 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个凸边形的内角和为，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 12. 小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 13. 已知是的三条边长，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 14. 已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，根据一元一次方程的解的情况求参数的范围，根据题意，求出满足题意的整数的值，求和即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的解为非负数， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的整数， ∴满足条件的所有整数a的和为； 故答案为：9． 15. 如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是____，三角形的面积是____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是：在高相等的情况下，面积比等于底边比． 据三角形的面积底高，结合边的比例关系，就能找到各三角形面积的关系，结合三角形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∴在和中，底，高相等， ， 在和中，底，高相等， 设，则， ， 在和中，底，高相等， ， ， ， 在和中，底，高相等， ∴，即， 解得． 故答案为：4 ； ． 16. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“巴川校庆密码数”，例如：自然数，其中，，所以是“巴川校庆密码数”；则最大的“巴川校庆密码数”是 _________；若一个“巴川校庆密码数”m的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d（a、b、c、d是整数，且），m的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被整除，满足条件的m的最小值是 _________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义问题，正确理解题意，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）求最大的数，即求千位上的数字最大时的数．先确定，再根据确定b，c，d的值，从而可得最小的亲密数．（2）根据题意表示将式子化为关于b和c的代数式，根据b是1至9的自然数对：94b+2c 进行分析，分情况讨论3b+2c的值可得结论． 【详解】解：（1）由题意知，，，且a、b、c、d都是自然数， 求最大的“巴川校庆密码数”，当a最大时，即时， ∵，b最大为9， ∴， ∴，， 则最大的“巴川校庆密码数”是：． （2）m的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差表示为： ∵， 由题意得：为整数， 即为的倍数， ∵，b、c为整数，且， ∴， ∴或， ①当时（）， 得， ∴m为； ②若 （）， 则， ∴m为， 故答案为：①②． 三、解答题（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解下列方程（组） ①． ②． （2）已知不等式组： ．求不等式组的解集并将解集表示在数轴上，且直接写出满足这个不等式组的所有偶数解的和． 【答案】（1）①② （2），所有偶数解的和为2，将解集表示在数轴上为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式组并在数轴上表示不等式组的解集，偶数解． （1）①利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这几个步骤解方程即可； ②先化简方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集，并在数轴上表示出来，根据不等式组的解集即可． 【详解】（1）① 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ② 解：由②得，， ，得， 解得，， 把代入①中，得， 解得， ∴原方程组得解为； （2） 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 当时，满足题意的偶数有0，2， 所以，所有偶数解的和为：2． 18. 数学活动课上，张晓同学围绕“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”设计一道题．如图，点E是三角形的边延长线上一点，于点D． （1）尺规作图：过点E作于点G，交于点F（保留画图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）根据所画图形，若，说明与的大小关系，并将下面的证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G（已知）， ∴___________． ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴_________， _________． 又∵（已知）， ∴_________． 【答案】（1） 如图所示： （2） （垂直的定义）；；（两直线平行，同位角相等）；（两直线平行，内错角相等）；（等量代换）． 【解析】 【分析】本题考查作垂线，平行线的判定和性质． （1）按要求作图即可； （2）根据平行线的判定和性质，结合已知过程逐步推导可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． （1）以点为中心将旋转，得到，画出； （2）将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； （3）连接，则的面积为_________． 【答案】（1） 即为所求： （2） 即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点． （1）作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到即为所求； （2）分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）用围成的矩形面积减去其余三个三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到， 【小问2详解】 解：如图2所示，分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到， 【小问3详解】 解：如图，． 20. 四月春风和煦，气温适宜，正是放风筝的好时节．某景区提前购买了、两种型号风筝进行销售，已知2只型风筝和1只型风筝共需18元，3只型风筝和2只型风筝共需31元． （1）求、两种型号风筝的进价各多少元？ （2）该景区将型风筝的售价定为每只12元，型风筝的售价定为每只20元．该景区第一天售出型风筝200只，型风筝150只，第二天该景区决定对型风筝打折，型风筝售价不变，结果第二天型风筝售出的数量比第一天少了型风筝售出的数量比第一天多了．若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元，请问型风筝打了几折？ 【答案】（1）种型号风筝的进价是5元，种型号风筝的进价是8元 （2）8折 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键． （1）设种型号风筝的进价是元，种型号风筝的进价是元，由等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）设型风筝打了折，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种型号风筝的进价是元，种型号风筝的进价是元，则 ， 解得， 答：种型号风筝的进价是5元，种型号风筝的进价是8元； 【小问2详解】 解：设型风筝打了折，则 ， 解得， 答：B型风筝打了8折． 21. 如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的性质的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据可得，根据等量代换可得，再根据平行线的判定方法“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，根据 “两直线平行，同旁内角互补”可得，根据“两直线平行，内错角相等”可得，根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ∴． 22. 为了减少疫情带来的损失，某市决定加快复工复产．该市一企业需要运输一批物资，据调查得知：2辆大货车与3辆小货车一次可运输600箱物资；3辆大货车与2辆小货车一次可运输650箱物资． （1）1辆大货车与1辆小货车一次分别可运输多少箱物资？ （2）该企业计划用这两种货车共12辆一次性运输这批物资，每辆大货车运输一次需5000元运费，每辆小货车运输一次需3000元运费．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于53000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需要费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）1辆大货车一次可运输150箱物资，1辆小货车一次可运输多100箱物资． （2）方案①费用最少，为48000元． 【解析】 【分析】（１）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，根据2辆大货车与3辆小货车一次可运输600箱物资；3辆大货车与2辆小货车一次可运输650箱物资列出方程组求解， （２）设用大货车a辆，则小货车(12-a)辆，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于53000元列不等式组求解，并求出其整数解． 【小问1详解】 设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输多y箱物资， 由题意得： 解得： 答：1辆大货车一次可运输150箱物资，1辆小货车一次可运输多100箱物资． 【小问2详解】 设用大货车a辆，则小货车(12-a)辆， 由题意得： 解得：6≤a<8.5， ∴a的整数解为：6、7、8． ∴有三种运输方案，分别为： ①大货车6辆，小货车6辆，费用为48000元， ②大货车7辆，小货车5辆，费用为50000元， ③大货车8辆，小货车4辆，费用为52000元， 故方案①费用最少，为48000元． 【点睛】本题考查了方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式组． 23. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2），（3）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可； （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）解： 关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于x、y的二元一次方程组中，， 解得：， （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 24. 已知，如图1，直线，为直线上方一点，连接、，与交于点． （1）若，，则____； （2）如图1所示，作的平分线交于点，点为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，，且，求的度数． （3）如图2，在（2）的条件下，，将绕点顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，同时绕着点顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，当旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为（秒），则当其中一条边与的其中一条边互相垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质求出，根据是的外角可求即可； （2）根据，得出，，根据平分，得出，可得，根据平分，得出，可得，根据为的外角，可证，根据，解方程得出，根据，得出，得出即可； （3）有三条边，有两条边，所以可以分6种情况进行讨论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：旋转一周时，整个运动停止， ． ①，此时； ②，此时； ③，此时（舍去）； ④，此时； ⑤，（舍； ⑥，． 综上，的值为或或或． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质，直线垂直，图形旋转性质，掌握平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质，直线垂直，图形旋转性质，根据余角性质列方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $